Análise de materiais piezelétricos compósitos para aplicações em transdutores de ultra-som por Marco Aurélio Brizzotti Andrade - Versão HTML

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MARCO AURÉLIO BRIZZOTTI ANDRADE

ANÁLISE DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS

COMPÓSITOS PARA APLICAÇÕES EM

TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM

Dissertação apresentada à Escola

Politécnica da Universidade de

São Paulo para obtenção do

Título de Mestre em Engenharia

São Paulo

2006

MARCO AURÉLIO BRIZZOTTI ANDRADE

ANÁLISE DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS

COMPÓSITOS PARA APLICAÇÕES EM

TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM

Dissertação apresentada à Escola

Politécnica da Universidade de

São Paulo para obtenção do

Título de Mestre em Engenharia

Área

de

Concentração:

Engenharia

Mecatrônica

Orientador:

Prof. Dr. Julio Cezar Adamowski

São Paulo

2006

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob

responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.

São Paulo, 23 de março de 2006.

Assinatura do autor _____________________________________

Assinatura do orientador_________________________________

FICHA CATALOGRÁFICA

Andrade, Marco Aurélio Brizzotti

Análise de materiais piezelétricos compósitos para aplica-

coes em transdutores de ultra-som / M.A.B. Andrade. -- ed.rev. --

São Paulo, 2006.

171 p.

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo. Departamento de Engenharia Mecatrônica e de

Sistemas Mecânicos.

1.Ultra-som 2.Materiais piezelétricos 3.Materiais compósitos

I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento

de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos II.t.

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Prof. Dr. Julio Cezar Adamowski, que desde a iniciação

científica soube indicar os melhores caminhos para conduzir os trabalhos.

À FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pela

concessão da bolsa de mestrado (processo no 03/10300-0).

Aos meus pais, que mantiveram a ajuda financeira, mesmo depois de eu começar a receber a bolsa de mestrado.

Ao Nicolás Pérez, do Laboratório de Acústica e Ultra-som do Instituto de Física da Universidade da Republica do Uruguai, pela ajuda na elaboração do projeto de pesquisa que resultou concessão da bolsa de mestrado.

Aos meus irmãos, Maurílio e Mateus por terem permitido que eu monopolizasse o computador de casa durante alguns finais de semana.

Ao Dr. Gilder Nader por ter ensinado a utilizar o software ANSYSTM e o analisador de impedância elétrica.

Aos professores Flávio Buiochi e Emílio C. N. Silva pelas sugestões no trabalho.

Aos colegas Ronny, Cícero, Fernando (Stump), Rogério (Sertão), João, Daniel, Mário, Ediguer, Jimmy, Wagner e Nakasone pelas discussões acadêmicas e não

acadêmicas.

Ao técnico Gilberto pela usinagem das peças utilizadas na construção dos

transdutores de ultra-som.

Ao pessoal do laboratório de Fenômenos de Superfície – LFS, especialmente aos funcionários Leandro Justino de Paula e Jovanio Oliveira dos Santos pelo suporte e apoio na utilização da máquina de corte.

Às agências de fomento CNPq e FINEP/CTPETRO.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é analisar materiais piezelétricos compósitos com conectividade 1-3 e 2-2 para aplicações em transdutores de ultra-som na faixa de MHz utilizando modelos matemáticos e verificações experimentais. O estudo de um material piezelétrico compósito pode ser feito através de seus três principais tipos de modos de vibração: modo planar, modo de espessura e modo lateral. Neste trabalho, é utilizado o método dos elementos finitos para modelar os modos planares, de espessura e laterais de um compósito, e modelos analíticos para modelar o modo de espessura e o modo lateral. A modelagem do modo de espessura de um transdutor de ultra-som é feita a partir de um modelo analítico unidimensional. A modelagem unidimensional de um transdutor de ultra-som é feita através do cálculo das propriedades efetivas do material piezelétrico compósito. Essas propriedades são utilizadas no modelo da matriz distribuída para prever a impedância elétrica de um compósito e a resposta impulsiva de um transdutor de ultra-som. Com o objetivo de validar os modelos, foram construídos um material piezelétrico compósito com conectividade 1-3 e outro com conectividade 2-2 através da técnica “dice-and-fill”, utilizando cerâmica de PZT-5A e resina epóxi. O compósito com conectividade 1-3

foi utilizado na construção de um transdutor de ultra-som. Os resultados teóricos da impedância elétrica e da resposta impulsiva são comparados com os obtidos

experimentalmente. A impedância elétrica experimental é obtida através de um analisador de impedâncias, enquanto que a resposta impulsiva experimental do eco do transdutor é medida acoplando o protótipo do transdutor a um tarugo de acrílico.

Devido à periodicidade do compósito foi feito um estudo teórico da propagação de ondas mecânicas em meios periódicos, mostrando que existem determinadas faixas de freqüências que não se propagam no material. Foi verificado que esta

periodicidade é responsável pela diminuição das amplitudes dos modos radiais de um material piezelétrico compósito quando comparados com os modos radiais de um disco de cerâmica piezelétrica. Também foram feitos ensaios em tanque de imersão para determinar as propriedades mecânicas de amostras de epóxi e amostras de tungstênio e epóxi em função da fração de volume de tungstênio na amostra.

ABSTRACT

The objective of this work is to analyze piezoelectric composite materials

with 1-3 and 2-2 connectivity for applications in ultrasonic transducers in the megahertz frequency range. The analysis is done through mathematical models and experimental validation. The analysis of piezoelectric composite materials can be done through the study of its three main vibrational modes: planar mode, thickness mode, and the lateral mode. In this work, it is used the Finite Element Method to model the planar, thickness and the lateral modes of the composite, and it is used analytical models to model the thickness and the lateral modes. The modeling of the thickness mode of an ultrasonic transducer is obtained through an unidimensional analytical model. The unidimensional modeling of the transducer is done by

calculating the effective properties of the piezoelectric composite material. The effective properties are used in a distributed matrix model to calculate the electrical impedance of the composite and the impulse response of an ultrasonic transducer. To validate the models, a 1-3 and a 2-2 piezoelectric composite were built using the

“dice-and-fill” technique. These composite were constructed using a piezoelectric ceramic of PZT-5A and epoxy. The piezoelectric composite with 1-3 connectivity was used in the fabrication of an ultrasonic transducer. The theoretical results of the electrical impedance and the impulse response are compared with the experimental results. The experimental electrical impedance is measured by using an impedance analyzer, and the experimental impulse response is measured by coupling the ultrasonic transducer prototype to an acrylic block. Due to the periodicity of the composite, it was analyzed the behaviour of mechanical waves in periodic media, showing that there are frequency ranges that the waves cannot propagate. It was verified that the periodicity is responsible for the suppression of the radial modes in a piezoelectric composite when compared with the radial modes of a disk of

piezoelectric ceramic. It is also conducted measurements in a water filled tank to determine the mechanical properties of samples of epoxy, and Tungsten/epoxy composites as a function of the volume fraction of Tungsten.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

LISTA DE SÍMBOLOS

1. INTRODUÇÃO ................................................................................... 1

1.1. Objetivos......................................................................................... 4

1.2. Organização do Trabalho................................................................ 4

2. PIEZELETRICIDADE ...................................................................... 8

2.1. Introdução ....................................................................................... 8

2.2. Materiais Elásticos.......................................................................... 8

2.3. Materiais Dielétricos..................................................................... 10

2.4. Materiais Piezelétricos.................................................................. 11

2.5. Notação Reduzida......................................................................... 12

2.6. Efeitos de Simetria........................................................................ 14

2.6.1. Material Isotrópico ................................................................. 15

2.6.2. Material Piezelétrico de Classe de Simetria 6mm.................. 23

3. ONDAS MECÂNICAS ..................................................................... 28

3.1. Propagação de Ondas Mecânicas em Sólidos .............................. 28

3.1.1. Propagação de Ondas Mecânicas em Materiais Isotrópicos .. 29

3.1.2. Representação da Velocidade em Meios Anisotrópicos........ 30

3.1.3. Propagação de Ondas Mecânicas em Materiais Piezelétricos33

3.2. Propagação de Ondas Mecânicas em Fluidos .............................. 37

3.3. Fenômenos de Transmissão.......................................................... 39

3.3.1. Incidência Normal .................................................................. 40

3.3.2. Incidência Oblíqua ................................................................. 42

3.4. Ondas de Lamb ............................................................................. 44

4. TRANSDUTORES DE ULTRA-SOM............................................ 52

4.1. Introdução ..................................................................................... 52

4.2. Modelagem do Transdutor............................................................ 53

4.2.1. Material Piezelétrico .............................................................. 54

4.2.2. Material não Piezelétrico........................................................ 60

4.2.3. Aplicações do Modelo da Matriz Distribuída ........................ 62

4.2.4. Modelagem de Perdas em Materiais Piezelétricos................. 67

4.3. Parâmetros Importantes em Materiais Piezelétricos .................... 68

5. MATERIAIS PIEZELÉTRICOS COMPÓSITOS........................ 69

5.1. Introdução ..................................................................................... 69

5.2. Construção de Materiais Piezelétricos Compósitos ..................... 70

5.3. Modelagem Unidimensional de um Material Piezelétrico

Compósito 1-3 ..................................................................................... 71

5.4. Modelagem Unidimensional de um Material Piezelétrico

Compósito 2-2 ..................................................................................... 76

6. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................... 82

6.1. Introdução ..................................................................................... 82

6.2. Princípio Variacional .................................................................... 82

6.3. Elementos Finitos ......................................................................... 84

6.4. Impedância Elétrica de um Material Piezelétrico......................... 86

7. SIMULAÇÕES E VERIFICAÇÕES EXPERIMENTAIS ........... 87

7.1. Introdução ..................................................................................... 87

7.2. Caracterização de Resinas Epóxi.................................................. 87

7.3. Caracterização de Misturas de Tungstênio e Epóxi ..................... 91

7.4. Modelagem Unidimensional de Materiais Piezelétricos .............. 96

7.5. Modelagem de Materiais Piezelétricos Através do Método dos

Elementos Finitos ................................................................................ 98

7.6. Construção e Modelagem Unidimensional de Materiais

Piezelétricos Compósitos 1-3 ............................................................ 102

7.7. Modelagem de Materiais Piezelétricos Compósitos 1-3 Utilizando

o Método dos Elementos Finitos ....................................................... 106

7.8. Construção e Modelagem Unidimensional de Materiais

Piezelétricos Compósitos 2-2 ............................................................ 124

7.9. Modelagem de Materiais Piezelétricos Compósitos 2-2 Utilizando

o Método dos Elementos Finitos ....................................................... 128

7.10. Determinação da Freqüência de Ressonância do Primeiro Modo

Lateral de Materiais Piezelétricos Compósitos 2-2 Utilizando um

Modelo Analítico ............................................................................... 135

7.11. Construção e Modelagem de Transdutores Piezelétricos

Compósitos ........................................................................................ 141

7.12. Ondas em Materiais Periódicos ................................................ 145

7.13. Modos Planares em um Material Piezelétrico Compósito ....... 153

8. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ............................. 159

8.1. Conclusões .................................................................................. 159

8.2. Trabalhos Futuros ....................................................................... 160

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................. 162

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Metodologia utilizada neste trabalho para estudar materiais

piezelétricos compósitos ......................................................... 6

Figura 1.2. Metodologia utilizada neste trabalho para estudar

transdutores de ultra-som........................................................ 7

Figura 2.1. Orientação das tensões em um elemento de volume

infinitesimal ............................................................................ 9

Figura 2.2. Transformação de coordenadas ............................................ 14

Figura 2.3. Representação gráfica de um material de classe de simetria

6mm....................................................................................... 23

Figura 3.1. Deslocamento das partículas em uma onda: (a) posição de

equilíbrio; (b) onda longitudinal; (c) onda de cisalhamento

com polarização na direção x1; (d) onda de cisalhamento com

polarização na direção x2 ...................................................... 30

Figura 3.2. Curvas do inverso da velocidade em função da direção de

propagação para onda longitudinal e de cisalhamento no

plano x1x2 .............................................................................. 31

Figura 3.3. Curvas do inverso da velocidade em função da direção de

propagação para onda longitudinal e duas de cisalhamento,

sendo a cisalhamento 1 com polarização na direção x2 e a

cisalhamento 2 com polarização no plano x1x3..................... 32

Figura 3.4. Superfície do inverso da velocidade em função da direção de

propagação para onda longitudinal em um material isotrópico

............................................................................................... 32

Figura 3.5. Curvas do inverso da velocidade em função da direção de

propagação para onda longitudinal e duas ondas de

cisalhamento, sendo a cisalhamento 1 com polarização na

direção x2 e a cisalhamento 2 com polarização no plano x1x3

para o PZT-5A ...................................................................... 36

Figura 3.6. Superfície do inverso da velocidade em função da direção de

propagação em uma cerâmica piezelétrica de material PZT-

5A: (a) longitudinal; (b) cisalhamento 1; (c) cisalhamento 2

............................................................................................... 36

Figura 3.7. Reflexão e transmissão de uma onda acústica numa interface

entre dois meios .................................................................... 40

Figura 3.8. Incidência oblíqua de uma onda longitudinal sobre uma

interface líquido-sólido ......................................................... 42

Figura 3.9. Incidência oblíqua de uma onda longitudinal sobre uma

interface sólido-sólido........................................................... 43

Figura 3.10. Placa de material isotrópico................................................ 44

Figura 3.11. Velocidade de propagação das ondas de Lamb numa placa

de alumínio de espessura 2 d ................................................. 49

Figura 3.12. Deslocamento das partículas em uma onda de Lamb: (a)

posição de equilíbrio; (b) onda de Lamb simétrica; (c) onda

de Lamb anti-simétrica.......................................................... 51

Figura 4.1. Típica construção de um transdutor de ultra-som

monoelemento....................................................................... 53

Figura 4.2. Representação de um material piezelétrico como um sistema

de três portas: (a) Material piezelétrico; (b) Sistema de três

portas..................................................................................... 54

Figura 4.3. Superfície utilizada para calcular a relação entre a corrente I3

e o deslocamento elétrico D3 ................................................ 56

Figura 4.4. Representação de um material não piezelétrico como um

sistema de duas portas: (a) Material não piezelétrico; (b)

Sistema de duas portas .......................................................... 60

Figura 4.5. Gráfico do módulo da impedância elétrica em função da

freqüência para um material piezelétrico no vácuo .............. 63

Figura 4.6. (a) Transdutor de ultra-som; (b) Modelagem do transdutor

operando no modo de transmissão através do modelo da

matriz distribuída .................................................................. 64

Figura 4.7. (a) Transdutor de ultra-som; (b) Modelagem do transdutor

operando no modo de recepção através do modelo da matriz

distribuída ............................................................................. 66

Figura 4.8. Transdutores piezelétricos operando em modo transmissão-

recepção em um meio de propagação com impedância

acústica Zl.............................................................................. 67

Figura 5.1. Representação de um material piezelétrico com

conectividade 1-3 .................................................................. 69

Figura 5.2. Geometria dos compósitos dos tipos 0-3, 2-2 e 1-3 ............. 70

Figura 5.3. Método de fabricação “dice-and-fill” de materiais

piezelétricos compósitos 1-3................................................. 71

Figura 5.4. Célula unitária de um material piezelétrico compósito 1-3.. 74

Figura 5.5. Material piezelétrico compósito com conectividade 2-2...... 77

Figura 5.6. Comparação entre as velocidades de propagação para um

material piezelétrico compósito 1-3 e 2-2 ............................ 79

Figura 5.7. Impedância acústica para um material piezelétrico compósito

1-3 e 2-2 em função da fração de volume da cerâmica no

compósito.............................................................................. 80

Figura 5.8. Comparação entre o coeficiente de acoplamento

eletromecânico do modo de espessura de um material

piezelétrico compósito 1-3 e 2-2........................................... 81

Figura 7.1. Aparato experimental utilizado para calcular as velocidades

longitudinal e de cisalhamento ............................................. 88

Figura 7.2. Sinais adquiridos na presença e na ausência da amostra de

epóxi...................................................................................... 90

Figura 7.3. Densidade para a mistura de Tungstênio e epóxi ................. 93

Figura 7.4. Velocidade de propagação para a mistura de Tungstênio e

epóxi...................................................................................... 93

Figura 7.5. Impedância acústica para a mistura de Tungstênio e epóxi . 94

Figura 7.6. Atenuação das amostras de Tungstênio e epóxi obtidas

experimentalmente à 1 MHz................................................. 95

Figura 7.7. Impedância elétrica de um disco de cerâmica piezelétrica de

20 mm de diâmetro e 2 mm de espessura ............................. 96

Figura 7.8. Comparação entre o módulo da impedância elétrica teórica e

experimental de um disco de cerâmica piezelétrica de 20 mm

de diâmetro e 2 mm de espessura ......................................... 97

Figura 7.9. Comparação entre a fase da impedância elétrica teórica e

experimental de um disco de cerâmica piezelétrica de 20 mm

de diâmetro e 2 mm de espessura ......................................... 98

Figura 7.10. Modelo axi-simétrico de uma cerâmica piezelétrica circular

de material PZT-5A de 2 mm de espessura e 20 mm de

diâmetro ................................................................................ 99

Figura 7.11. Comparação entre o módulo da impedância elétrica obtida

pelo método dos elementos finitos e a obtida

experimentalmente de um disco de cerâmica piezelétrica de

20 mm de diâmetro e 2 mm de espessura ........................... 100

Figura 7.12. Comparação entre a fase da impedância elétrica obtida pelo

método dos elementos finitos e a obtida experimentalmente

de um disco de cerâmica piezelétrica de 20 mm de diâmetro e

2 mm de espessura .............................................................. 101

Figura 7.13. Vibração da cerâmica piezelétrica de 2 mm de espessura e

20 mm de diâmetro ............................................................. 101

Figura 7.14. Célula unitária do material piezelétrico compósito 1-3 ... 102

Figura 7.15. Fotografia do material piezelétrico compósito 1-3 .......... 103

Figura 7.16. Impedância elétrica de um disco de material piezelétrico

compósito 1-3 de 20 mm de diâmetro e 1,854 mm de

espessura ............................................................................. 104

Figura 7.17. Comparação entre o módulo da impedância elétrica teórica

e experimental de um disco de material piezelétrico

compósito 1-3 de 20 mm de diâmetro e 1,854 mm de

espessura ............................................................................. 105

Figura 7.18. Comparação entre a fase da impedância elétrica teórica e

experimental de um disco de material piezelétrico compósito

1-3 de 20 mm de diâmetro e 1,854 mm de espessura......... 105

Figura 7.19. Célula unitária de um material piezelétrico compósito 1-3

............................................................................................. 107

Figura 7.20. Impedância elétrica de um material piezelétrico compósito

............................................................................................. 108

Figura 7.21. Coeficiente de acoplamento eletromecânico de um material

piezelétrico compósito 1-3.................................................. 108

Figura 7.22. Impedância acústica de um material piezelétrico compósito

1-3 ....................................................................................... 109

Figura 7.23. Velocidade de propagação de um material piezelétrico

compósito 1-3 ..................................................................... 109

Figura 7.24. Impedância elétrica de um material piezelétrico compósito

com altura L = 2 mm e fração de volume δ = 0,3086: (a) a =

0,8 mm; (b) a = 1,0 mm; (c) a = 1,2 mm............................ 111

Figura 7.25. Modos de vibração de um material piezelétrico compósito

com altura L = 2 mm, fração de volume δ = 0,3086, e a = 1

mm: (a) não deformado; (b) modo de espessura; (c) primeiro

modo lateral; (d) segundo modo lateral .............................. 112

Figura 7.26. Material piezelétrico compósito com altura L = 2 mm,

fração de volume δ = 0,3086, e a = 1 mm: (a) Impedância

elétrica; (b) Sonograma – Amplitude; (c) Sonograma – Fase

............................................................................................. 114

Figura 7.27. Material piezelétrico compósito com altura L = 2 mm,

fração de volume δ = 0,3086, e a = 1 mm: (a) Impedância

elétrica; (b) Sonograma – Amplitude; (c) Sonograma – Fase

............................................................................................. 115

Figura 7.28. Material piezelétrico compósito com altura L = 2 mm,

fração de volume δ = 0,3086, e a = 2 mm: (a) Impedância

elétrica; (b) Sonograma – Amplitude; (c) Sonograma – Fase

............................................................................................. 116

Figura 7.29. Material piezelétrico compósito com altura L = 2 mm,

fração de volume δ = 0,3086, e a = 2 mm: (a) Impedância

elétrica; (b) Sonograma – Amplitude; (c) Sonograma – Fase

............................................................................................. 117

Figura 7.30. Freqüência de ressonância dos dois primeiros modos laterais

em função de a para L fixo em 2 mm e δ = 0,3086 ............ 119

Figura 7.31. Freqüência de ressonância dos dois primeiros modos laterais

em função de a para L fixo em 2 mm e δ = 0,3086 ............ 119

Figura 7.32. Freqüência de ressonância do primeiro modo de espessura e

dos dois primeiros modos laterais em função de L para um

material piezelétrico compósito 1-3 com a fixo em 1 mm e δ

= 0,3086 .............................................................................. 121

Figura 7.33. Gráfico utilizado para obter as freqüências de ressonâncias

dos dois primeiros modos laterais de um material piezelétrico

compósito 1-3 ..................................................................... 122

Figura 7.34. Freqüência de ressonância dos dois primeiros modos laterais

em função de L para um material piezelétrico compósito 1-3

com a fixo em 1 mm e δ = 0,3086..................................... 122

Figura 7.35. Freqüência de ressonância do primeiro modo de espessura e

dos dois primeiros modos laterais em função de L para um

material piezelétrico compósito 1-3 com a fixo em 1 mm e δ

= 0,0494 .............................................................................. 123

Figura 7.36. Freqüência de ressonância dos dois primeiros modos laterais

em função de L para um material piezelétrico compósito 1-3

com a fixo em 1 mm e δ = 0,0494...................................... 124

Figura 7.37. Célula unitária do material piezelétrico compósito 2-2 ... 125

Figura 7.38. Fotografia do material piezelétrico compósito 2-2 .......... 125

Figura 7.39. Impedância elétrica obtida experimentalmente de um

material piezelétrico compósito 2-2 com dimensões laterais

de 12,35 mm por 12,35 mm, e altura de 0,866 mm............ 126

Figura 7.40. Comparação entre o módulo da impedância elétrica teórica

e experimental de um material piezelétrico compósito 2-2

com dimensões laterais de 12,35 mm por 12,35 mm, e altura

de 0,866 mm ....................................................................... 127

Figura 7.41. Comparação entre a fase da impedância elétrica teórica e

experimental de um material piezelétrico compósito 2-2 com

dimensões laterais de 12,35 mm por 12,35 mm, e altura de

0,866 mm ............................................................................ 127

Figura 7.42. Célula unitária de um material piezelétrico compósito 2-2

............................................................................................. 128

Figura 7.43. Coeficiente de acoplamento eletromecânico de um material

piezelétrico compósito 2-2.................................................. 129

Figura 7.44. Impedância acústica de um material piezelétrico compósito

2-2 ....................................................................................... 130

Figura 7.45. Velocidade de propagação de um material piezelétrico

compósito 2-2 ..................................................................... 130

Figura 7.46. Modos de vibração num compósito com conectividade 2-2

............................................................................................. 131

Figura 7.47. Modelo em estado plano de deformação de uma cerâmica

piezelétrica de material PZT-5A de 2 mm de espessura e 20,5

mm de comprimento ........................................................... 131

Figura 7.48. Modelo em estado plano de deformação de um material

piezelétrico compósito 2-2 de 2 mm de espessura e 20,5 mm

de comprimento e fração de volume de cerâmica δ = 0,5 .. 132

Figura 7.49. Material piezelétrico de espessura 2 mm e comprimento

20,5 mm: (a) Impedância elétrica; (b) Sonograma –

Amplitude; (c) Sonograma – Fase ...................................... 133

Figura 7.50. Material piezelétrico compósito 2-2 com altura L = 2 mm, fração de volume δ = 0,5, e a = 1 mm: (a) Impedância

elétrica; (b) Sonograma – Amplitude; (c) Sonograma – Fase

............................................................................................. 134

Figura 7.51. Freqüência de ressonância do primeiro modo de espessura e

do primeiro modo lateral em função de L para um material

piezelétrico compósito 2-2 com a fixo em 1 mm e δ = 0,4 135

Figura 7.52. Curva da velocidade em função da direção de propagação

para onda longitudinal no PZT-5A ..................................... 136

Figura 7.53. Curva da velocidade em função da direção de propagação

para onda de cisalhamento com polarização no plano x1x3 no

PZT-5ª ................................................................................. 137

Figura 7.54. Comparação entre as velocidades de propagação das ondas

de Lamb (modo simétrico S0) em placas de PZT-5A e epóxi

GY 279/ HY 951 de espessura 2 d....................................... 138

Figura 7.55. Aproximação de um compósito 2-2 por uma placa composta

biengastada.......................................................................... 138

Figura 7.56. Subdivisão da placa em duas partes ................................. 139

Figura 7.57. Representação esquemática do protótipo de transdutor de

ultra-som ............................................................................. 141

Figura 7.58. Fotografia do protótipo de transdutor de ultra-som ......... 142

Figura 7.59. Modelagem do protótipo de transdutor de ultra-som

utilizando o modelo da matriz distribuída .......................... 143

Figura 7.60. Comparação entre a resposta impulsiva teórica e

experimental para o protótipo de transdutor de ultra-som.. 144

Figura 7.61. Comparação entre a função de transferência teórica e

experimental para o protótipo de transdutor de ultra-som.. 145

Figura 7.62. Representação esquemática de um material periódico..... 146

Figura 7.63. Modelo da matriz distribuída para um material periódico147

Figura 7.64. Função de transferência de uma onda que se propaga em um

meio periódico: (a) N = 1; (b) N = 5; (c) N = 50 ................ 148

Figura 7.65. Curva de dispersão para um material periódico ............... 149

Figura 7.66. Curva de dispersão para um material periódico ............... 150

Figura 7.67. Comparação entre os stopbands: (a) modelo da matriz

distribuída utilizando 50 células unitárias; (b) teoria de

Floquet ................................................................................ 151

Figura 7.68. Influência da diferença de impedância entre os dois

materiais num meio periódico, sendo Z1 = 30 MRayls e: (a)

Z2 = 5 MRayls; (b) Z2 = 10 MRayls; (c) Z2 = 20 MRayls .. 152

Figura 7.69. Largura dos stopbands em função da impedância acústica da fase 2 de um meio periódico .......................................... 153

Figura 7.70. Impedância elétrica de um material piezelétrico compósito

2-2 para diferentes valores de impedância acústica do

polímero Zp: (a) Zp = 2,82 MRayls; (b) Zp = 5 MRayls; (c) Zp

= 15 MRayls; (d) Zp = 30 MRayls ...................................... 156

Figura 7.71. Impedância elétrica e stopband de um compósito 2-2 com impedância acústica do polímero igual a 2,82 MRayls ...... 157

Figura 7.72. Impedância elétrica e stopband de um compósito 2-2 com impedância acústica do polímero igual a 5 MRayls ........... 157

Figura 7.73. Impedância elétrica e stopband de um compósito 2-2 com impedância acústica do polímero igual a 15 MRayls ......... 158

Figura 7.74. Impedância elétrica e stopband de um compósito 2-2 com impedância acústica do polímero igual a 30 MRayls ......... 158

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1. Notação reduzida.................................................................. 12

Tabela 2.2. Transformação de coordenadas............................................ 15

Tabela 3.1. Propriedades mecânicas do alumínio................................... 49

Tabela 5.1. Propriedades do PZT-5A ..................................................... 79

Tabela 5.2. Propriedades mecânicas do polietileno ................................ 80

Tabela 7.1. Coeficientes do Polinômio da equação (7.2) ....................... 89

Tabela 7.2. Propriedades mecânicas das resinas Epóxi .......................... 91

Tabela 7.3. Propriedades mecânicas do Tungstênio ............................... 92

Tabela 7.4. Propriedades do material piezelétrico compósito 1-3 com

fração de volume de cerâmica de 72,25% .......................... 104

Tabela 7.5. Propriedades do material piezelétrico compósito 2-2 com

fração de volume de cerâmica de 70% ............................... 126

Tabela 7.6. Comparação entre as freqüências de ressonância do primeiro

modo lateral de um material piezelétrico compósito 2-2

obtidas a partir do método dos elementos finitos e do modelo

proposto............................................................................... 140

Tabela 7.7. Propriedades dos materiais utilizados na modelagem de um

meio periódico .................................................................... 147

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

A/D

Conversor

analógico-digital

HP4194A

Analisador de impedância elétrica

MEF

Método dos Elementos Finitos

PZT-5A

Titanato zirconato de chumbo

RPM

Rotações por minuto

LISTA DE SÍMBOLOS

‘ (sobrescrito)

Novo sistema de coordenadas

ai

Componente de aceleração

a

'

ij

Cosseno do ângulo entre x e x

i

j

A Área

A0, A1, ...

Ondas de Lamb (modos anti-simétricos)

c Velocidade de propagação da onda

cc

Velocidade de propagação da onda de cisalhamento

cl Velocidade

de

propagação da onda longitudinal

cijkl

Componente elástica de rigidez

d distância

dijk

Constante Piezelétrica

D (sobrescrito)

A deslocamento elétrico constante

Di

Deslocamento elétrico

eijk

Constante

piezelétrica

E Módulo de Young

E (sobrescrito)

A campo elétrico constante

Ei Campo

elétrico

fr

freqüência de ressonância

fa

freqüência de anti-ressonância

fi

Componente de força

gijk

Constante

piezelétrica

G

Módulo de elasticidade transversal

hijk

Constante

piezelétrica

H Entalpia

elétrica

I Corrente

elétrica

Ji

Densidade de Corrente

k

Número de onda

kc

Número de onda da onda de cisalhamento

kl

Número de onda da onda longitudinal

kt

fator de acoplamento eletromecânico do modo de espessura

ki

Componente do número de onda

Kij

Permissividade

elétrica

relativa ou constante dielétrica

l distância

L Lagrangeana

m massa

ni

Vetor unitário que aponta para o sentido de propagação da onda

O Origem do sistema de coordenadas

p Pressão

P Pressão

total

P0

Pressão de equilíbrio

Pi Polarização

Q Carga

elétrica

Qe

Fator de qualidade elétrica

Qm

Fator de qualidade mecânica

R

Coeficiente de Reflexão

s Condensação

sijkl

Componente elástica de flexibilidade

S Superfície

S (sobrescrito)

A deformação constante

S0, S1, ...

Ondas de Lamb (modos simétricos)

Sij, Sp

D eformação

t (sobrescrito) Matriz

transposta

t Instante

de

tempo

T (sobrescrito)

A tensão mecânica constante

Tij, Tp

Tensão mecânica

T Coeficiente

de

Transmissão

ui

Componente de deslocamento

Ui

Amplitude de deslocamento

vi