Controle de uma plataforma de movimento de um simulador de vôo por Mauricio Becerra Vargas - Versão HTML

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Mauricio Becerra Vargas

CONTROLE DE UMA PLATAFORMA DE MOVIMENTO

DE UM SIMULADOR DE VÔO

Tese apresentada à Escola de Engenharia de São

Carlos, da Universidade de São Paulo, como

parte dos requisitos para obtenção do título de

Doutor em Engenharia Mecânica. Área de con-

centração: Aeronaves.

Orientador: Prof. Tit. Eduardo Morgado Belo

São Carlos

- Outubro/2009 -

“À minha família, com Amor e Gratidão.”

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Eduardo Morgado Belo pela orientação, amizade e confiança depositada na

realização deste trabalho durante estes anos.

A todos meus amigos de laboratório: Edson, Luciane, Daniela, Paulo, Elizangela, Naga,

Andreia e Hernan pela sua amizade.

A nossos funcionários Claudio, Gisele e Carlinhos pela sua colaboração e amizade.

A todos os professores que de certa forma contribuiram na realização desta pesquisa.

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo suporte finan-

ceiro.

E a todos que direta ou indiretamente contribuiram na realização deste trabalho.

iii

iv

Agradecimentos

Sumário

Resumo

xi

Abstract

xiii

Lista de Figuras

xv

Lista de Tabelas

xix

Lista de Símbolos

xxi

1

Introdução

1

1.1

Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Controle de Posição

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Controle de Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Controle Não Convencional de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.4

Trabalhos realizados na Universidade de São Paulo-USP . . . . . . . .

11

1.2.5

Simuladores de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Objetivos e contribuição do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

v

vi

Sumário

2

Aspectos Gerais sobre Simuladores de Vôo

19

2.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Importância dos Simuladores de Vôo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

Classificação dos Simuladores de Vôo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.1

Simuladores de Engenharia (Projeto do Veículo) . . . . . . . . . . . .

20

2.3.2

Simuladores de Pesquisa (Projeto de Simulação) . . . . . . . . . . . .

21

2.3.3

Simuladores de Treinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.4

Simuladores de Entretenimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Componentes e Funcionamento de um Simulador de Vôo . . . . . . . . . . . .

22

2.5

Percepção de Movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5.1

O Sistema Visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.2

O Sistema Vestibular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Canais Semicirculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Órgãos Otólitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.6

Simulação de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.7

Algoritmo de Sensação de Movimento - Filtro Wash-Out . . . . . . . . . . . .

27

2.7.1

Tipos de Filtros Wash-Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8

O simulador de vôo da Universidade de Toronto - UTIAS . . . . . . . . . . . .

30

3

Descrição do Mecanismo de Movimento

33

3.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Plataforma de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Dinâmica da Plataforma de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Sumário

vii

3.3.1

Matriz de Rotação ℜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3.2

Análise Cinemática de um Atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Análise de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Análise de Velocidade

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Análise de Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3.3

Análise Dinâmica de um Atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3.4

Análise Cinemática e Dinâmica da Plataforma

. . . . . . . . . . . . .

47

3.3.5

Equações Dinâmicas em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . .

48

3.3.6

Equações Dinâmicas em Coordenadas das Juntas . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Sistema de Acionamento Eletromecânico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.4.1

Atuador Electromecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.4.2

Modelagem do Atuador Electromecânico . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.5

Modelo dinâmico em coordenadas cartesianas considerando a dinâmica do atu-

ador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.6

Cinemática inversa e cinemática direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.7

Espaço de trabalho da base de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.8

Singularidades da matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4

Modelo Dinâmico da Aeronave

67

4.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.2

Modelo Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.3

Aceleração linear e velocidade angular sentidas pelo piloto . . . . . . . . . . .

73

5

Algoritmo de movimento -Washout Filter

75

viii

Sumário

5.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.2

Conceito de força específica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.3

Sistemas de Referência do Algoritmo de Movimento . . . . . . . . . . . . . .

76

5.4

Algoritmo de movimento clássico - washout filter . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.4.1

Canal de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.4.2

Canal de Coordenação de Inclinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.4.3

Canal de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6

Sistema de Controle do Mecanismo de Movimento

85

6.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

6.2

Estratégias de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

6.2.1

Controle baseado na dinâmica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.2.2

Compensação imperfeita do controle baseado na dinâmica inversa . . .

91

6.2.3

Projeto da malha externa baseado na teoria de Lyapunov . . . . . . . .

93

6.2.4

Projeto da malha externa baseado na teoria de controle H

. . . . . . .

95

Seleção das funções de ponderação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2.5

Característica das matrizes da equação dinâmica da plataforma . . . . .

98

6.3

Avaliação do Sistema de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.3.1

Função Descritiva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.3.2

Limiar dinâmico - Dynamic Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.3

Histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.4

Nível de Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.5

Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Sumário

ix

7

Resultados

109

7.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2

Limiar dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3

Função descritiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4

Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8

Considerações Finais

127

8.1

Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.2

Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Bibliografia

131

A Fundamentos Matemáticos

137

A.1 Função Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.2 Controlabilidade e observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A.3 Transformação Linear Fracional LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.4 Algoritmo H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B Especificações da plataforma de movimento

143

B.1 Parâmetros Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B.2 Propriedades de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C Especificações do atuador electromecânico

147

x

Sumário

Resumo

BECERRA-VARGAS, M. Controle de uma plataforma de movimento de um simulador de vôo.

Tese (Doutorado) — Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São

Carlos, 2009.

Este trabalho apresenta o desenvolvimento e as análises de técnicas de controle aplicadas

a uma base de movimento de um simulador de vôo. Nos primeiros capítulos são abordados

aspectos relacionados com a simulação de movimentos. Uma breve descrição da dinâmica da

aeronave e o desenvolvimento do algoritmo de movimento (washout filter), são apresentados. O

modelo dinâmico da base de movimento é desenvolvido baseado num manipulador paralelo de

seis graus de liberdade chamado de Plataforma de Stewart acionado eletricamente. As equações

de movimento do atuador eletromecânico são incluidas no modelo dinâmico da plataforma.

O controle baseado na dinâmica inversa é uma alternativa para abordar o controle de sis-

tema mecânicos não lineares como a plataforma de Stewart. Porém, essa técnica considera o

conhecimento exato do modelo dinâmico do sistema, portanto, a dinâmica não modelada, as in-

certezas paramétricas e as perturbações externas podem degradar o desempenho do controlador.

Além disso, o custo computacional pago pelo cálculo do modelo dinâmico realizado online é

muito alto.

Nesse contexto, duas estratégias de controle foram aplicadas na malha externa da estrutura

de controle baseada na dinâmica inversa para o controle de aceleração na presença de incerte-

zas paramétricas e da dinâmica não modelada, os quais foram introduzidas intencionalmente no

processo de aproximar o modelo dinâmico com o objetivo de simplificar a implementação do

controle baseado na dinâmica inversa. Na primeira estratégia, o termo robusto de controle foi

projetado, provando a estabilidade do sistema linearizado por meio da teoria de estabilidade de

Lyapunov. Este controle apresenta o fenômeno conhecido como chattering e então foi adotada

uma função de saturação para substituir a lei de controle. Na segunda estratégia, o termo ro-

busto de controle foi projetado considerando um problema de rejeição de distúrbio via controle

H , onde o controlador considera as incertezas como distúrbios afetando o sistema linearizado

resultante da aplicação do controle baseado na dinâmica inversa.

Finalmente, três tipos de testes foram realizados para avaliar o sistema de controle: função

descritiva, limiar dinâmico e algumas manobras da aeronave calculadas a partir do modelo

dinâmico e transformadas através do algoritmo de movimento. As duas estratégias de controle

foram comparadas.

Palavras - chave: controle baseado na dinâmica inversa, controle H , teoria de estabilidade

de Lyapunov, algoritmo de sensação de movimento, simulador de vôo, plataforma de Stewart.

xi

xii

Resumo

Abstract

BECERRA-VARGAS, M. Control of a flight simulator motion base. Thesis (Doctor) — School

of Engineering of São Carlos, University of São Paulo, São Carlos, SP, Brazil, 2009.

This work presents the development and analysis of control techniques applied to a flight

simulator motion base. The first chapters deal with subjects related to motion simulation. A

brief description of the aircraft dynamic model and the development of the motion algorithm

(washout filter) are presented. The motion base dynamics is derived based on a six degree of

freedom parallel manipulator driven by electromechanical actuators. The six degree of freedom

parallel manipulator is called Stewart platform. The motion equations of the electromechanical

actuators are included in the motion base dynamics.

Inverse dynamics control is an approach to nonlinear control design, nonetheless, this tech-

nique is based on the assumption of exact cancellation of nonlinear terms, therefore, parametric

uncertainty, unmodeled dynamics and external disturbances may deteriorate the controller per-

formance. In addition, a high computational burden is paid by computing on-line the complete

dynamic model of the motion-base. Robustness can be regained by applying robust control

tecniques in the outer loop control structure.

In this context, two control strategies were applied in the outer loop of the inverse dynamics

control structure linearized system for robust acceleration tracking in the presence of parame-

tric uncertainty and unmodeled dynamic, which are intentionally introduced in the process of

approximating the dynamic model in order to simplify the implementation of this approach, the

inverse dynamic control.

Both control strategies consist of introducing an additional term to the inverse dynamics

controller which provides robustness to the control system. In the first strategy, the robust

control term was designed proving the stability of the linearized system in the presence of

uncertainties, using the Lyapunov stability theory. This control term presents a phenomenon

known as chattering. Therefore, a saturation function was adopted to replace the control law.

In the second strategy, the robust term was designed for a disturbance rejection problem via H∞

control, where the controller considers the uncertaities as disturbances affecting the linearized

system resulting from the application of the inverse dynamic control.

Finally, describing function, dynamic threshold and some maneuvers computed from the

washout filter were used to evaluate the performance of the controllers. Both approaches were

compared.

Keywords: inverse dynamic control, H control, Lyapunov stability, washout filter, flight

simulator, Stewart platform.

xiii

xiv

Abstract

Lista de Figuras

2.1

Estrutura geral de um simulador de vôo (ADVANI, 1998) . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Sistema Vestibular (SENSORY. . . , 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

Estrutura do Sistema de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4

Filtro Wash-out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.5

Filtro Wash-out de Controle Ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.6

Simulador de vôo do UTIAS (REID et al., 2005)

. . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.7

Sistema de controle do simulador de vôo do UTIAS (GRANT, 1986)

. . . . .

31

3.1

Plataforma de Stewart - UPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2

Sistemas de coordenadas da plataforma de Stewart

. . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

Ângulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4

Diagrama vetorial para um atuador da plataforma de Stewart . . . . . . . . . .

37

3.5

Sistemas de coordenadas do atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.6

Definição dos eixos na junta universal do atuador . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.7

Diagrama de forças e momentos no atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.8

Diagrama de forças e momentos na plataforma de Stewart . . . . . . . . . . . .

48

3.9

Atuador eletromecânico (PARKER, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.10 Servo-Atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

xv

xvi

Lista de Figuras

3.11 Modelo do atuador eletromecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.12 Seções transversais dos espaços de trabalho a partir da posição neutra . . . . .

60

3.13 Restrições de acelerações da plataforma de movimento em função da frequência

63

3.14 Destreza da plataforma de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.1

Sistemas de coordenadas de referência da aeronave . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2

Eixos de Estabilidade e Eixos de Vento

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.3

Sistema de coordenadas na cabeça do piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.1

Sistemas de coordenadas do algoritmo de movimento . . . . . . . . . . . . . .

77

5.2

Algoritmo de movimento - washout filter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.3

Resposta no canal de translação X a uma entrada degrau de aceleração, sem

coordenação de inclinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.4

Componentes da aceleração devido à gravidade em uma inclinação coordenada

82

5.5

Resposta no canal de translação X a uma entrada degrau de aceleração, in-

cluindo a coordenação de inclinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

6.1

Controle em espaço das juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.2

Controle em espaço cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.3

Controle baseado na dinâmica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.4

Compensação imperfeita - controle baseado na dinâmica inversa . . . . . . . .

92

6.5

Estrutura padrão para análise do controlador H

. . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.6

Identifição do sistema não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7

Entrada degrau para o dynamic threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.8

Componentes da força específica da aeronave na origem do sistema {Pa} . . . 106

6.9

Componentes da velocidade angular da aeronave

. . . . . . . . . . . . . . . . 106

Lista de Figuras

xvii

6.10 Componentes da aceleração linear após filtro washout no centróide da plata-

forma móvel (origem do sistema {Ps}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.11 Variação dos ângulos de Euler após filtro washout do simulador de vôo (sistema

{Ps}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.12 Deslocamento linear desejado - após filtro washout no centróide da plataforma

(origem do sistema {Ps}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.13 Ângulos de Euler desejados - após filtro washout do simulador de vôo (sistema

{Ps} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.1

Limiar dinâmico - Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2

Limiar dinâmico - H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3

Função descritiva - coordenadas de translação - Lyapunov . . . . . . . . . . . . 113

7.4

Função descritiva - coordenadas de orientação - Lyapunov

. . . . . . . . . . . 113

7.5

Função descritiva - coordenadas de translação - H

. . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6

Função descritiva - coordenadas de orientação - H

. . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7

Funções Crosstalks - Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.8

Funções Crosstalks - H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.9

Erros de acompanhamento de aceleração linear - Lyapunov . . . . . . . . . . . 120

7.10 Erros de acompanhamento de aceleração linear - H

. . . . . . . . . . . . . . 120

7.11 Erros de acompanhamento de velocidade angular (ângulos de Euler) - Lyapunov 121

7.12 Erros de acompanhamento de velocidade angular (ângulos de Euler) - H

. . . 121

7.13 Respostas a manobras (amplificação) - H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.14 Torque, força e velocidade angular dos atuadores eletromecânicos - Manobra

de decolagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

xviii

Lista de Figuras

7.15 Torque, força e velocidade angular dos atuadores eletromecânicos - Manobra

de oscilação em arfagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.16 Torque, força e velocidade angular dos atuadores eletromecânicos - Manobra

de oscilação em rolagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.1 Transformações Lineares Fracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B.1 Distribuição das juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C.1 Curva de potência do motor elétrico (PARKER, 2006) . . . . . . . . . . . . . . 149

C.2 Atuador eletromecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Lista de Tabelas

3.1

Limites do espaço de trabalho

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2

Limites de velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.1

Entradas de aceleração senoidal para os graus de liberdade de translação . . . . 102

6.2

Entrada de velocidade senoidal para os graus de liberdade de orientação . . . . 102

B.1 Parâmetros geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

C.1 Parâmetros do motor e do atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

C.2 Desempenho do atuador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

xix

xx

Lista de Tabelas

Lista de Símbolos

Modelagem Dinâmica

Matriz de Rotação.

{B}

Sistema de coordenadas de referência, representado por XB, YB e ZB.

φ , θ , ψ

Ângulos de Euler.

b

Posição da junta na plataforma base em relação ao sistema inercial {B}.

p

Posição da junta na plataforma móvel em relação ao sistema móvel {P}.

qp

ℜp.

qp

Matriz assimétrica associada ao vetor qp.

S

Vetor comprimento do atuador.

L

Comprimento do atuador.

ω

Velocidade angular da plataforma móvel em relação ao sistema inercial {B}.

α

Aceleração angular da plataforma em relação ao sistema inercial {B}.

t

Posição do centroide da plataforma móvel em relação ao sistema inercial {B}.

W

Velocidade angular do atuador em relação ao sistema inercial {B}.

A

Aceleração angular do atuador em relação ao sistema inercial {B}.

ˆx

Vetor unitário.

ad, au

Aceleração do centro de gravidade do cilindro e haste do atuador no sistema

inercial {E}.

Id, Iu

Matriz de inércia do cilindro e da haste do atuador no sistema inercial {E}.

Cu

Coeficiente viscoso de atrito na junta universal.

Cs

Coeficiente viscoso de atrito na junta esférica.

xxi

xxii

Lista de Símbolos

Cp

Coeficiente viscoso de atrito na junta prismática.

R

Posição do centro de gravidade da plataforma (incluindo a carga)

no sistema inercial {B}.

I

Matriz de inércia da plataforma no sistema inercial {B}.

M

Massa da plataforma (incluindo a carga).

q

coordenadas cartesianas (posição e orientação) da plataforma.

Jl,

Matriz Jacobiana.

ω

θm

Ângulo de rotação do eixo do rotor do motor elétrico do atuador.

τm, τl

Torque de motor e torque de carga do motor elétrico do atuador.

ia

Corrente na bobina do motor elétrico do atuador.

ωa (αa)

velocidade (aceleração) angular da aeronave no sistema do corpo {A}.

aCG