Equações diferenciais funcionais com retardamento e impulsos em tempo variável via equações... por Suzete Maria Silva Afonso - Versão HTML

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Suzete Maria Silva Afonso

Orientadora: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson

Coorientador: Prof. Dr. Everaldo de Mello Bonotto

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de

Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para

obtenção do título de Doutor em Matemática. VERSÃO

REVISADA.

USP – São Carlos

Março de 2011

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi

e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Maria Silva Afonso, Suzete

M293e

Equações diferenciais funcionais com retardamento

e impulsos em tempo variável via equações

diferenciais ordinárias generalizadas / Suzete Maria

Silva Afonso; orientadora Márcia Cristina Anderson

Braz Federson -- São Carlos, 2011.

120 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em

Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e

de Computação, Universidade de São Paulo, 2011.

1. Equações Diferenciais Funcionais. 2. Equações

Diferenciais Ordinárias Generalizadas. I. Cristina

Anderson Braz Federson, Márcia , orient. II. Título.

Às pessoas mais importantes da minha

vida, Humberto, Vanda e Odila (em

memória), papai, mamãe e "vozinha".

Agradecimentos

Minha incomparável gratidão ao soberano Deus por despertar em mim o amor pela matemática e

a vontade de ser professora a cada manhã... Pela força visível durante cada minuto de apreensão e

dificuldade... Pelo amor que me faz acreditar num futuro que vai além do que eu me limitei a sonhar para

mim.

Agradeço aos meus pais, Humberto e Vanda, por apoiarem as minhas escolhas, por entenderem a

distância que se faz necessária para o meu crescimento profissional, pelas orações, pelos telefonemas,

pelas visitas e pelas recepções amorosas na minha sempre casa... Por cada palavra de incentivo, pela

paciência infinita e pela credibilidade que faz a minha vontade de ser melhor a cada dia tender a +∞.

A minha saudosa e incrível avó, Odila, agradeço pelo exemplo de mulher forte e determinada que me

deixou e pela educação que me proporcionou em vida.

Agradeço aos meus irmãos, Humberto e Soraya, pelo incentivo sempre, pelo carinho a cada encontro,

pela música e por cuidarem dos nossos pais. Ao meu sobrinho, Bento, agradeço por cada espera na janela

e pelos "beijos da sorte" que foram mais do que especiais durante esse tempo do Doutorado. A tia Cicina,

sou grata por ter me incentivado a estudar desde a infância.

Agradeço aos meus orientadores, profa. Dra. Márcia Federson e prof. Dr. Everaldo Bonotto,

pela valiosa contribuição na minha formação, pelas palavras de apoio e de incentivo e, também, pelas

broncas construtivas. Além disso, agradeço-vos pela paciência e pela amizade que fizeram a diferença

neste período. Gostaria de registrar também a minha gratidão pela profa. Dra. Luciene Gimenes da

Universidade Estadual de Maringá, por ter me acompanhado numa parte deste trabalho, dando-me apoio

científico e até emocional.

Agradeço as minhas mais do que amigas MMIs, Jaqueline Rocha, Maria Eugênia, Mariana Pinheiro

e Yuri Ki, pelos reencontros regados de muitas risadas, pelos e-mails e telefonemas, pelas conversas no

gtalk e no skype... Sou infinitamente grata pelo conjunto não enumerável de vezes em que pude contar

com palavras e gestos de carinho de vocês.

3

Agradeço aos amigos de Saquarema, de Campos dos Goytacazes e de Niterói, pela torcida, pelos

retiros espirituais e pela força transmitida através de e-mails carinhosos, em especial, aos amigos, Adri-

ana, Aluizio, Álvaro, Diego, Griseuda, Irmã Karol, Jefferson, Laura, Luciana, Luiz Alberto, Marcel,

Reginaldo, Selene Ferreira, Thaís Barreto, Verônica e Vladimir.

Agradeço a cada membro do Grupo de Oração Universitário da USP, pelo apoio espiritual e pela

amizade em Deus durante a minha estada em São Carlos. Em especial, agradeço aos amigos Evelise

Corbalan, Fernando de Oliveira e Rita de Cássia pelo carinho inolvidável.

Agradeço aos amigos e colegas do ICMC, Alisson, Ana Paula, André Furtado, Cleber de Medeira,

Eduard, Fernando Micena, Flank, Giselle, Iris, Jaque, Kleyber, Ligia, Marcos Pimenta, Nazira, Patricia

Hilario, Paulo Carvalho, Pedro Henrique, Taciana e Vinicius Arakawa, pelas discussões matemáticas e

não matemáticas, pelos momentos de descontração na USP e fora da USP e pelo companheirismo durante

estes três anos de estudo.

Agradeço as amigas de (São Carlos USP), Carolina Damasceno, Fátima, Flávia, Kelly, Raquel

Parrelli, Sandrea e Selene, pela força e por ouvirem meus problemas do Doutorado com a maior paciência

do mundo.

Agradeço aos professores doutores da Universidade Federal Fluminense, Jorge Delgado, Kátia Frensel

e Nivaldo Medeiros, pelo incentivo inesquecível durante a graduação. Também agradeço ao prof. Dr.

Nilson Bernardes da Universidade Federal do Rio de Janeiro, meu orientador durante o Mestrado, pela

importante contribuição na minha vida acadêmica.

Finalmente, agradeço a FAPESP pelo suporte financeiro durante a execução deste trabalho.

Resumo

O objetivo deste trabalho é investigar propriedades qualitativas das soluções de equações diferenciais

funcionais com retardamento e impulsos em tempo variável (EDFRs impulsivas) através da teoria de

equações diferenciais ordinárias generalizadas (EDOs generalizadas).

Nossos principais resultados dizem respeito a estabilidade uniforme, estabilidade uniforme assin-

tótica e estabilidade exponencial da solução trivial de uma determinada classe de EDFRs com impulsos

em tempo variável e limitação uniforme de soluções da mesma classe. A fim de obtermos tais resulta-

dos para EDFRs com impulsos em tempo variável, estabelecemos novos resultados sobre propriedades

qualitativas das soluções de EDOs generalizadas. Assim, portanto, este trabalho contribui para o desen-

volvimento de ambas as teorias de EDFRs com impulsos e de EDOs generalizadas.

Os resultados novos apresentados neste trabalho estão contidos nos artigos [1], [2] e [3].

Abstract

The purpose of this work is to investigate qualitative properties of solutions of retarded functional

differential equations (RFDEs) with impulse effects acting on variable times using the theory of gene-

ralized ordinary differential equations (generalized ODEs).

Our main results concern uniform stability, uniform asymptotic stability and exponential stability

of the trivial solution of a certain class of RFDEs with variable impulses and uniform boundedness of

the solutions of the same class. In order to obtain such results for RFDEs with variable impulses, we

establish new results about qualitative properties of solutions of generalized ODEs. In this manner, we

contribute with new results not only to the theory of RFDEs with impulses but also to the theory of

generalized ODEs.

The new results presented in this work are contained in the articles [1], [2] and [3].

Sumário

Introdução

11

1 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

15

1.1 A Integral de Kurzweil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Propriedades qualitativas de soluções de EDOs generalizadas

33

2.1 Estabilidade variacional da solução trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2 Estabilidade exponencial variacional da solução trivial . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3 Limitação uniforme de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3 EDFRs com impulsos em tempo variável e EDOs generalizadas

49

3.1 Descrição da classe de EDFRs impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2 Correspondência entre EDFRs impulsivas e EDOs generalizadas . . . . . . . . . . .

53

4 Propriedades qualitativas de soluções de EDFRs impulsivas via EDOs generalizadas

71

4.1 Estabilidade da solução trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.1.1

Comentários e observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.2 Estabilidade exponencial da solução trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.3 Limitação uniforme de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.3.1

Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5 Apêndice: Propriedades qualitativas de soluções de EDFRs

101

9

5.1 Noções e resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Estabilidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1

Teoremas de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.2

Teoremas de Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 Limitação de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10

Introdução

A teoria das equações diferenciais funcionais com retardamento (EDFRs) é um ramo das equações

diferenciais funcionais. O interesse em EDFRs está em que, para muitos fenômenos naturais, notada-

mente físicos e biológicos, a aplicação do princípio de causalidade envolve um lapso de tempo entre

causa e efeito. Desta forma, os modelos determinísticos mais realistas são frequentemente descritos por

equações que envolvem retardos.

Paralelamente ao estudo das EDFRs, estamos interessados nos efeitos impulsivos sobre a dinâmica

dos modelos que vamos estudar. Os impulsos representam variações do estado em lapsos de tempo tão

pequenos que podem ser consideradas instantâneas. Estas variações correspondem às descontinuidades

de primeira espécie das soluções ou de suas derivadas.

Neste trabalho, vamos considerar problemas como o seguinte problema de valor inicial

 ˙ y( t) = f ( t, y

t ) ,

t = τ k( y( t)) , t ≥ t 0 ,

y ( t) = I

(I)

k ( y ( t)) ,

t = τ k( y( t)) , k = 1 , 2 ,...,

yt = φ ,

0

onde t 0 0 e a função inicial φ é regrada e contínua à esquerda, definida em [ −r, 0], com r > 0. Consi-

deraremos que, para cada solução y : [ t 0 − r, +∞) R n de (I), a aplicação t → f ( t,yt) é localmente Lebesgue integrável. Vamos considerar, também, que os operadores de impulso Ik( x), k = 0 , 1 , 2 ,...

sejam funções contínuas de R n em R n e que

y( t) = y( t+) − y( t−) = y( t+) − y( t) = Ik( y( t)) , k = 0 , 1 , 2 ,..., isto é , y é contínua à esquerda.

Vamos assumir condições do tipo “Carathéodory” e do tipo “Lipschitz” para a integral indefinida

de f e para os operadores de impulsos Ik. Grosseiramente falando, condições impostas sobre a integral

11

12

indefinida e não sobre a função f propriamente dita permitem, por exemplo, que a função f tenha muitas

descontinuidades e, mesmo assim, é possível obtermos bons resultados, desde que sua integral indefinida

tenha um "bom comportamento". Isto pode ser feito, pois podemos tratar as EDFRs num "ambiente"

apropriado dentro de uma classe de equações diferenciais ordinárias (EDOs) generalizadas (veja [10] e

[27]).

Em relação às superfícies τ k, k = 1 , 2 ,..., vamos considerar que τ k ∈ C(R n, (0 , +∞)), k = 1 , 2 ,..., 0 < τ1( x) < τ2( x) < ..., para cada x ∈ R n, τ k( x) +∞ quando k → +∞ uniformemente em x ∈ R n, e que as curvas integrais do sistema (I) encontram tais superfícies somente um número finito de vezes.

Note que o problema impulsivo acima trata de impulsos variáveis e, portanto, não conhecemos de

antemão os momentos onde ocorrerão os saltos das soluções pelos operadores de impulso.

Neste trabalho, vamos investigar propriedades qualitativas das soluções de EDFRs com impulsos em

tempo variável, através da teoria das EDOs generalizadas usando, também, funcionais de Lyapunov.

Inicialmente, no Capítulo 1, apresentamos a teoria de EDOs generalizadas necessária para obtermos

os nossos resultados, enquanto que, no Capítulo 2, estudamos propriedades qualitativas das soluções de

EDOs generalizadas, a saber estabilidade variacional e estabilidade exponencial variacional da solução

nula de uma determinada classe de EDOs generalizadas, e limitação uniforme de soluções da mesma

classe. Convém mencionarmos que os conceitos de estabilidade exponencial variacional e limitação

uniforme para EDOs generalizadas são novos e foram por nós introduzidos nos trabalhos [1] e [3], assim

como os resultados obtidos nesta direção.

No terceiro capítulo, descrevemos uma classe de EDFRs com impulsos em tempo variável para a qual

pretendemos investigar propriedades qualitativas das soluções. Prosseguimos, no Capítulo 3, mostrando

como se dá a correspondência entre esta classe de EDFRs impulsivas e uma classe de EDOs gene-

ralizadas. Na verdade, esta correspondência se dá entre a solução única de um problema de valor inicial

para EDFRs impulsivas e a solução única de um problema de valor inicial para a EDO generalizada

associada. Para impulsos pré-fixados, tal correspondência pode ser encontrada em [8]. Aqui, nós es-

tendemos a correspondência para EDFRs com impulsos em tempo variável e EDOs generalizadas. Esta

correspondência nos permitiu obter resultados mais gerais do que os existentes na literatura.

No Capítulo 4, estudamos propriedades qualitativas das soluções da classe de EDFRs com impulsos

descrita no Capítulo 3. Estabelecemos novos resultados sobre estabilidade uniforme e estabilidade assin-

tótica uniforme para a solução nula da classe de EDFRs com impulsos que consideramos. Tais resultados

generalizam outros. Por exemplo, nosso Teorema 4.9 generaliza o Teorema 1 de [25]. O Teorema 4.10,

Introdução

13

na sequência, generaliza [25], Teorema 3, [26], Teorema 1, e também [22], Teorema 3.2. Também, rea-

lizamos um estudo sobre estabilidade exponencial da solução trivial da classe de EDFRs com impulsos

e, inspirados no artigo [11], estabelecemos um novo resultado que generaliza os Corolários 3.1 e 3.2

daquele artigo. Finalizamos o Capítulo 4 apresentando resultados sobre limitação uniforme e limitação

eventual uniforme de soluções de EDFRs com impulsos, que generalizam os resultados de [29], por

exemplo. Mencionamos que os resultados deste capítulo estão descritos nos artigos [1], [2] e [3].

Incluímos, no apêndice deste trabalho, fatos conhecidos da teoria de EDFRs, como resultados sobre

propriedades qualitativas das soluções, a fim de que o leitor perceba as diferenças entre tais resultados e

os resultados obtidos para a teoria de EDFRs com ação impulsiva.

CAPÍTULO

1

Equações Diferenciais Ordinárias

Generalizadas

Neste capítulo, introduziremos algumas definições básicas e apresentaremos alguns resultados im-

portantes sobre EDOs generalizadas que serão de grande valia ao longo do trabalho.

Dividimos este capítulo em duas seções. A primeira seção será dedicada à teoria básica da integral

de Kurzweil. Na segunda seção, apresentaremos as fundamentais EDOs generalizadas, que são definidas

a partir da integral de Kurzweil.

As principais referências para este capítulo são [12] e [27].

1.1 A Integral de Kurzweil

Consideremos um intervalo fechado [ a, b] R, onde < a < b < +∞.

Uma divisão marcada do intervalo [ a, b] R é uma coleção finita

j, [ sj− 1 ,sj]) : j = 1 , 2 ,...,k ,

onde a = s 0 ≤ s 1 ≤ ... ≤ sk = b é uma divisão de [ a,b] e τ j ∈ [ sj− 1 ,sj], j = 1 , 2 ,...,k.

Uma divisão parcial marcada do intervalo [ a, b] R é uma coleção finita

j, j, γ j]) : j = 1 , 2 ,...,m ,

15

16

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

onde a ≤ β j ≤ ξ j ≤ γ j ≤ β j+1 ξ j+1 γ j+1 ≤ b, para j = 1 ,...,m.

Note que toda divisão marcada é uma divisão parcial marcada.

Um calibre em [ a, b] é qualquer função δ : [ a, b] (0 , +∞). Dado um calibre δ em [ a, b], uma divisão parcial marcada d = (τ j, j, γ j]) de [ a,b] será dita δ -fina se, para todo j, tivermos

j, γ j] ⊂ t ∈ [ a,b] : t − τ j < δ (τ j) .

No que segue, X denotará um espaço de Banach e · denotará sua norma.

Agora, apresentaremos a definição da integral de Kurzweil, devida ao matemático tcheco Jaroslav

Kurzweil (veja [21]).

Definição 1.1. Uma função U : [ a, b] × [ a, b] → X será dita Kurzweil integrável sobre o intervalo [ a, b] , se existir um elemento I ∈ X tal que para todo ε > 0 , existe um calibre δ em [ a, b] tal que

k

∑[ Uj,sj) −Uj,sj− 1)] −I < ε ,

j=1

para toda divisão marcada δ -fina

d = {j, [ sj− 1 ,sj]) , j = 1 ,...,k} = {s 0 , τ1 ,s 1 ,..., τ k,sk}

de [ a, b] . Neste caso, escrevemos I = b

a DU , t) . Definimos

b

a DU , t) = − a

b DU , t) , quando

b < a, e b

a DU , t) = 0 , quando b = a. A unicidade da integral é fácil de ser verificada.

Cabe mencionar que, no Capítulo 1 de [27], há uma descrição detalhada deste tipo de integração para

o caso em que X = R n.

O próximo resultado trata da integrabilidade em subintervalos de [ a, b], a qual também é uma pro-

priedade das integrais de Bochner e de Riemann.

Teorema 1.2 ([27], Teorema 1.10). Se U : [ a, b] × [ a, b] → X for Kurzweil integrável sobre [ a, b] , então a integral d

c DU , t) existirá, para cada subintervalo [ c, d] de [ a, b] .

Outras propriedades das integrais de Bochner e de Riemann também valem para a integral de Kurzweil,

como a propriedade usual de aditividade em subintervalos adjacentes. Vejamos o próximo resultado cuja

prova encontra-se em [27], Teorema 1.11.

1.1 A Integral de Kurzweil

17

Teorema 1.3 ([27], Teorema 1.11). Sejam c ∈ ( a, b) e U : [ a, b] × [ a, b] → X uma função. Se as integrais c

a DU , t) e

b

c DU , t) existirem, então a integral

b

a DU , t) existirá e a igualdade

b

c

b

DU,t) =

DU,t) +

DU,t)

a

a

c

será válida.

O resultado que enunciaremos abaixo é conhecido como Lema de Saks-Henstock. Uma prova deste

pode ser encontrada em [27], Lemma 1.13, para X = R n. A demonstração para X sendo um espaço de

Banach arbitrário é análoga.

Lema 1.4 (Saks-Henstock - [27], Lema 1.13). Seja U : [ a, b] ×[ a, b] → X Kurzweil integrável sobre [ a, b] .

Dado ε > 0 , seja δ uma função calibre em [ a, b] tal que

k

b

∑[ Uj,sj) −Uj,sj− 1)]

DU,t) < ε

(1.1)

j=1

a

para toda divisão marcada δ -fina d = {j, [ sj− 1 ,sj]) , j = 1 , 2 ,...,k} de [ a,b] . Se a ≤ β1 ξ1 γ1 β2 ξ2 γ2 ≤ ... ≤ β m ≤ ξ m ≤ γ m ≤ b

representar uma divisão parcial marcada δ -fina {j, j, γ j]) , j = 1 , 2 ,...,m} de [ a,b] , isto é, ξ j ∈ j, γ j] j − δ (ξ j) , ξ j + δ (ξ j)) , j = 1 , 2 ,...,m, então teremos

m

γ j

Uj, β j) −Uj, γ j)

DU,t)

< ε .

(1.2)

j=1

β j

Como consequência do Lema de Saks-Henstock, temos o resultado abaixo.

Corolário 1.5. Seja U : [ a, b] × [ a, b] → X Kurzweil integrável sobre [ a, b] . Dado ε > 0 , seja δ a função calibre em [ a, b] da Definição 1.1. Seja , v] um subintervalo fechado de [ a, b] . Então,

(i) ( v − γ) < δ (γ) implica

v

U , v) −U , γ)

DU ,t) < ε;

γ

(ii) ( v − γ) < δ ( v) implica

v

U ( v, v) −U ( v, γ)

DU ,t) < ε .

γ

18

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

Demonstração. ( i) Segue do fato que (γ , , v]) é uma divisão marcada δ -fina de [γ , v] e do Lema de

Saks-Henstock. Um argumento análogo se aplica a ( ii).

O próximo teorema diz que a integral de Kurzweil contém suas extensões de Cauchy (integrais

impróprias). Para maiores detalhes, veja [16], página 67, e também [27] .

Teorema 1.6 ([27], Teorema 1.14). Se U : [ a, b] × [ a, b] → X for uma função tal que para todo c ∈ [ a, b) , U é Kurzweil integrável sobre [ a, c] e o limite

c

lim

DU,t) −U( b, c) + U( b, b) = I ∈ X

c→b−

a

existir, então a função U será Kurzweil integrável sobre [ a, b] e teremos

b DU,t) = I.

a

Analogamente, se a função U for Kurzweil integrável sobre [ c, b] para todo c ∈ ( a, b] e o limite

b

lim

DU,t) + U( a, c) −U( a, a) = I ∈ X

c→a+

c

existir, então a função U será Kurzweil integrável sobre [ a, b] e teremos

b DU,t) = I.

a

Se U : [ a, b] × [ a, b] → X for Kurzweil integrável sobre [ a, b], a função definida por

s

s ∈ [ a, b] −→

DU,t) ∈ X,

a

ou seja, a integral indefinida de U poderá não ser contínua. Veja o próximo lema.

Lema 1.7 ([27], Teorema 1.16). Sejam U : [ a, b] × [ a, b] → X uma função Kurzweil integrável sobre [ a, b]

e c ∈ [ a, b] . Então

s

c

lim

DU,t) −U( c, s) + U( c, c) =

DU,t)

(1.3)

s→c

a

a

e

b

b

lim

DU,t) −U( c, s) + U( c, c) =

DU,t) .

(1.4)

s→c

s

c

O próximo resultado generaliza o Teorema 1.35 encontrado em [27], para o caso das funções a

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

19

valores em espaços de Banach. Para uma prova, veja [12], Teorema 1.13.

Teorema 1.8 ([12], Teorema 1.13). Seja U : [ a, b] × [ a, b] → X uma função Kurzweil integrável sobre

[ a, b] . Se V : [ a, b] × [ a, b] R for Kurzweil integrável sobre [ a, b] e se existir uma função calibre θ em

[ a, b] tal que

|t − τ | U,t) −U, τ) ( t − τ)[ V ,t) −V , τ)]

para todo t ∈ θ (τ) , τ + θ (τ)) , então a desigualdade

b

b

DU,t)

DV ,t)

a

a

será válida.

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

Vamos considerar um conjunto Ω = O × [ a, b], onde O é um subconjunto aberto de X e [ a, b] R.

Seja G : Ω → X uma função a valores em X definida para ( x,t) Ω. Lembramos ao leitor que

estamos considerando X como sendo um espaço de Banach.

Definição 1.9. Uma função x : [α , β ] → X será dita solução da EDO generalizada

dx = DG( x,t)

(1.5)

dτ

no intervalo , β ] [ a, b] , se ( x( t) ,t) para todo t ∈ , β ] e se a igualdade s 2

x( s 2) − x( s 1) =

DG( x(τ) ,t)

(1.6)

s 1

for válida para quaisquer s 1 ,s 2 , β ] .

A integral do lado direito da igualdade em (1.6) deve ser entendida como sendo a integral de Kurzweil.

Observação 1.10. Com a notação da Definição 1.9, seja U ,t) = G ( x (τ) ,t) . Observe que, na definição da integral b

a DG ( x (τ ) , t) (Definição 1.1), existem somente diferenças da forma

U j,sj) −U j,sj− 1) = G( xj) ,sj) − G( xj) ,sj− 1) , 20

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

onde d = (τ j, [ sj− 1 ,sj]) é uma divisão marcada δ -fina do intervalo [ a,b] . Por conseguinte, se adicionar-mos a G ( x,t) uma função variando somente em x, as soluções de (1.5) não mudarão. De fato, note que,

dada uma função F : X → X, temos

b D[ G( x(τ) ,t) −F( x(τ))] = ∑[( G( xj) ,sj) −F( xj))) ( G( xj) ,sj− 1) −F( xj)))] =

a

b

= ∑[ G( xj) ,sj) − G( xj) ,sj− 1)] =

DG( x(τ) ,t) .

a

Desta forma, se x : [α , β ] → X for solução da EDO generalizada

dx = D[ G( x,t)+ F( x)] ,

(1.7)

dτ

então x será solução da EDO generalizada (1.5) no intervalo , β ] . E a afirmação recíproca também

se verifica. Em particular, subtraindo G ( x, 0) de G ( x,t) , obtemos uma representação normalizada G 1 de G satisfazendo G 1 ( x, 0) = 0 , para todo x ∈ O.

Dada uma condição inicial ( x,t 0) Ω, usaremos a seguinte definição de solução de um problema de

valor inicial para a equação (1.5).

Definição 1.11. Uma função x : [α , β ] → X será dita solução da EDO generalizada (1.5) com condição

inicial x( t 0) = x no intervalo , β ] [ a,b] , se t 0 , β ] , ( x( t) ,t) para todo t ∈ , β ] e se a igualdade

v

x( v) − x =

DG( x(τ) ,t)

t 0

for válida para todo v ∈ , β ] .

A seguir, introduziremos uma classe especial de funções G : Ω → X para a qual será possível obter

informações mais específicas sobre as soluções da EDO generalizada (1.5). Convém mencionarmos que,

devido à relevância dos resultados existentes a respeito de soluções da classe de EDOs generalizadas

relacionada à essa classe de funções, exibiremos as demonstrações dos resultados expostos nesta sub-

seção.

Suporemos, ao longo deste capítulo, que h seja uma função real não decrescente definida em [ a, b].

Definição 1.12. Diremos que uma função G : Ω → X pertence à classe F (Ω , h) , se

G( x,t 2) − G( x,t 1) ≤ |h( t 2) − h( t 1) |

(1.8)

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

21

para quaisquer ( x,t 2) , ( x,t 1) e se

G( x,t 2) − G( x,t 1) − G( y,t 2) + G( y,t 1) ≤ x − y |h( t 2) − h( t 1) |

(1.9)

para quaisquer ( x,t 2) , ( x,t 1) , ( y,t 2) , ( y,t 1) .

O próximo resultado generaliza o Lema 3.9 de [27] para o caso em que funções assumem valores em

X.

Lema 1.13 ([27], Lema 3.9). Suponha que G : Ω → X satisfaça a condição (1.8). Se , β ] [ a, b] e

x : [α , β ] → X for tal que ( x( t) ,t) para todo t ∈ , β ] e se a integral β

α DG( x(τ ) , t) existir, então

para quaisquer s 1 ,s 2 , β ] , a desigualdade

s 2 DG( x(τ) ,t) ≤ |h( s 2) −h( s 1) |

(1.10)

s 1

será válida.

Demonstração. Pela condição (1.8),

|t − τ | G( x(τ) ,t) − G( x(τ) , τ) ≤ |t − τ ||h( t) − h(τ) |

para quaisquer t, τ , β ].

Tomando V ,t) = h( t), a integral β

α DV , t) =

β

α dh( t) existe no sentido de Lebesgue e vale

s 2 dh( t) = h( s 2) −h( s 1)

s 1

para quaisquer s 1 ,s 2 , β ]. Pelo Teorema 1.8, obtemos a seguinte relação

s 2

s 2

DG( x(τ) ,t)

DV ,t) .

s 1

s 1

Portanto,

s 2 DG( x(τ) ,t) ≤ |h( s 2) −h( s 1) |

s 1

para quaisquer s 1 ,s 2 , β ].

As definições seguintes serão utilizadas ao longo deste capítulo.

22

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

Definição 1.14. Uma função f : [ a, b] R será dita função escada finita , se existir uma divisão finita

a = β0 < β1 < ... < β m = b tal que em cada intervalo aberto i− 1 , β i) ,i = 1 , 2 ,...,m, a função é identicamente igual a uma constante ci ∈ R .

Definição 1.15. Uma função f : [ a, b] R será dita função regrada no intervalo [ a, b] , se os limites laterais f ( s−) = lim f ( s + ρ) e f ( s+) = lim f ( s + ρ) existirem para todo s ∈ ( a, b] e s ∈ [ a, b) , ρ 0

ρ 0+

respectivamente.

É sabido que toda função regrada em [ a, b] é limitada neste intervalo e é o limite uniforme de funções

escada finitas. É sabido, também, que toda função de variação limitada em [ a, b] é regrada em [ a, b]. Veja

[17], por exemplo.

O próximo resultado implicará que as soluções de (1.5) são de variação limitada, se G satisfizer a

condição (1.8).

Lema 1.16 ([27], Lema 3.10). Suponha que G : Ω → X satisfaça a condição (1.8). Se , β ] [ a, b] e

x : [α , β ] → X for uma solução de (1.5), então valerá a desigualdade

x( s 1) − x( s 2) ≤ |h( s 2) − h( s 1) |,

(1.11)

para quaisquer s 1 ,s 2 , β ] .

Demonstração. O resultado segue diretamente do Lema 1.13 e da definição de solução da EDO genera-

lizada, Definição 1.9.

Denotaremos a variação em [α , β ] R de uma função x : R → X por varβα x. O Lema 1.16 implica a

seguinte propriedade das soluções de (1.5).

Corolário 1.17 ([27], Corolário 3.11). Suponha que G : Ω → X satisfaça a condição (1.8). Se , β ]

( a, b) e x : [α , β ] → X for uma solução de (1.5), então x será de variação limitada em , β ] e

varβα x ≤ h(β ) − h(α) < +∞ .

(1.12)

Além disso, todo ponto em , β ] no qual a função h é contínua também será um ponto de continuidade

da solução x : [α , β ] → X.

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

23

Demonstração. Consideremos α = s 0 < s 1 < ... < sk = β uma divisão arbitrária do intervalo [α , β ] . A desigualdade (1.11) implica que

k

k

x( sj) −x( sj− 1) ∑[ h( sj) −h( sj− 1)] = h(β) −h(α) ,

j=1

j=1

uma vez que todas as hipóteses do Lema 1.16 estão satisfeitas. Passando o supremo sobre todas as

divisões de [α , β ], obtemos (1.12).

Claramente, a segunda afirmação segue da desigualdade (1.11).

Também temos o resultado seguinte.

Lema 1.18 ([27], Lema 3.12). Se x : [α , β ] → X for uma solução de (1.5) e G : Ω → X satisfizer a

condição (1.8) , então

x(σ +) − x(σ ) = lim x( s) − x(σ ) = G( x(σ ) , σ +) − G( x(σ ) , σ ) (1.13)

s→σ +

para σ , β ) e

x(σ ) − x) = x(σ ) lim x( s) = G( x(σ ) , σ ) − G( x(σ ) , σ ) (1.14)