Equações diferenciais funcionais com retardamento e impulsos em tempo variável via equações... por Suzete Maria Silva Afonso - Versão HTML

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s→σ

para σ , β ] , onde

G( x, σ +) = lim G( x, s) , para σ , β )

s→σ +

e

G( x, σ ) = lim G( x, s) , para σ , β ] .

s→σ

Demonstração. A função h possui limites laterais em todos os pontos do intervalo [α , β ], visto que h é

de variação limitada em [α , β ]. Pela condição (1.8), os limites G( x, σ +) e G( x, σ ) existem. Portanto, os limites laterais correspondentes da função G( x, σ ) : [α , β ] → X existem para todo x ∈ O.

Pela definição de uma solução de (1.5), temos a igualdade abaixo

σ

x(σ ) − x( s) =

DG( x(τ) ,t)

s

24

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

para α ≤ s < σ β . Pelo Teorema 1.7, temos

s

lim x(σ ) − x( s) = lim

DG( x(τ) ,t) = lim [ G( x( s) , σ ) − G( x( s) , s)]

(1.15)

σ →s+

σ →s+ σ

σ →s+

e a relação (1.13) está satisfeita.

A prova da relação (1.14) segue de forma análoga.

O próximo lema garante a existência da integral β

α DG( x(τ ) , t) quando x for uma função escada

finita.

Lema 1.19 ([27], Corolário 3.15). Se G ∈ F (Ω , h) e x : [α , β ] → X for uma função escada finita, então

existirá a integral

β DG( x(τ) ,t) .

α

Demonstração. Se x for uma função escada finita, então existirá uma divisão α = s 0 < s 1 < ... < sk = β

de [α , β ] tal que x( s) = c j ∈ X para s ∈ ( sj− 1 ,sj), j = 1 , 2 ,...,k onde cj é constante para todo j =

1 , 2 , . . . , k. Suponhamos que ( x( s) , s) Ω para todo s ∈ , β ] . Pela definição da integral de Kurzweil, é claro que se s j− 1 < σ1 < σ2 < sj, a integral σ2

σ DG( x(τ ) , t) existirá e

1

σ2 DG( x(τ) ,t) = G( cj, σ2) −G( cj, σ1) .

σ1

Tomemos σ0 ( sj− 1 ,sj). Temos

σ0

lim

DG( x(τ) ,t) + G( x( s j− 1) ,s) − G( x( sj− 1) ,sj− 1) =

s→s+ j− 1

s

= lim [ G( c j, σ0) − G( cj,s) + G( x( sj− 1) ,s) − G( x( sj− 1) ,sj− 1)] =

s→s+ j− 1

= G( c j, σ0) − G( cj,sj− 1+) + G( x( sj− 1) ,sj− 1+) − G( x( sj− 1) ,sj− 1) .

Portanto, pelo Teorema 1.6, a integral σ0

s

DG( x(τ) ,t) existe e é igual ao limite calculado acima.

j− 1

Analogamente, podemos constatar que a integral sj

σ DG( x(τ ) , t) existe e vale

0

s j DG( x(τ) ,t) = G( cj,sj−) −G( cj, σ0) −G( x( sj) ,sj−)+ G( x( sj) ,sj) .

σ0

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

25

Portanto, pelo Teorema 1.3, obtemos a existência da integral sj

s

DG( x(τ) ,t) e

j− 1

s j DG( x(τ) ,t) = G( cj,sj−) −G( cj, σ0) −G( x( sj) ,sj−)+ G( x( sj) ,sj)+

s j− 1

+ G( c j, σ0) − G( cj,sj− 1+) + G( x( sj− 1) ,sj− 1+) − G( x( sj− 1) ,sj− 1) =

= G( c j,sj−) − G( cj,sj− 1+) + G( x( sj− 1) ,sj− 1+)

−G( x( s j− 1) ,sj− 1) − G( x( sj) ,sj−) + G( x( sj) ,sj) .

Repetindo este argumento para todo intervalo [ s j− 1 ,sj], j = 1 , 2 ,...,k, e usando novamente o Teo-

rema 1.3, obtemos a existência da integral β

α DG( x(τ ) , t) como também a igualdade

β

k

DG( x(τ) ,t) = ∑[ G( cj,sj−) − G( cj,sj− 1+)]+

α

j=1

k

+ ∑[ G( x( sj− 1) ,sj− 1+) − G( x( sj− 1) ,sj− 1) − G( x( sj) ,sj−) + G( x( sj) ,sj)] .

j=1

Deste modo, a prova está completa.

A seguir, provaremos a existência da integral β

α DG( x(τ ) , t) quando x for uma função regrada.

Teorema 1.20 ([12], Teorema 1.26). Seja G ∈ F (Ω , h) . Se x : [α , β ] → X, com , β ] [ a, b] , for o limite uniforme de uma sequência ( xk) k∈ N de funções escada finitas xk : [α , β ] → X tais que ( x( s) ,s)

e ( xk( s) ,s) para todo k ∈ N e todo s ∈ , β ] , então a integral βα DG( x(τ) ,t) existirá e a igualdade β

β

DG( x(τ) ,t) = lim

DG( xk(τ) ,t)

α

k→∞ α

será válida.

Demonstração. Para cada k ∈ N, a integral β

α DG( xk(τ ) , t) existe, pelo Lema 1.19.

Dado ε > 0, seja k 0 N tal que, para k ≥ k 0, tenhamos

ε

xk( s) − x( s) <

, s ∈ , β ] ,

2[ h(β ) − h(α)]

26

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

e seja δ um calibre em [ a, b] tal que, para k ≥ k 0, tenhamos

m

β

ε

[ G( xki) ,ti) − G( xki) ,ti− 1)]

DG( xk(τ) ,t) < 2

i=1

α

para toda divisão marcada δ -fina d = {t 0 τ1 ≤ t 1 ≤ ... ≤ tm− 1 τ m ≤ β } de [α , β ] . Então para todo k ≥ k 0, vale

m

β

∑[ G( xi) ,ti) −G( xi) ,ti− 1)]

DG( xk(τ) ,t)

i=1

α

m

G( xi) ,ti) − G( xi) ,ti− 1) − G( xki) ,ti) + G( xki) ,ti− 1) +

i=1

m

β

+ ∑[ G( xki) ,ti) − G( xki) ,ti− 1)]

DG( xk(τ) ,t)

i=1

α

m

ε

∑[ h( ti) − h( ti− 1)] max xi) − xki) + =

2

i=1

1 ≤i≤n

ε

ε

ε

= [ h(β ) − h(α)] max xi) − xki) + < + = ε ,

1 ≤i≤n

2

2

2

o que finaliza a prova.

O resultado abaixo é uma consequência do Teorema 1.20 para funções regradas e generaliza o

Corolário 3.16 encontrado em [27], para o caso de funções a valores em espaços de Banach.

Corolário 1.21 ([27], Corolário 3.16). Se G ∈ F (Ω , h) e x : [α , β ] → X, , β ] [ a, b] , for uma função regrada (em particular, uma função de variação limitada) em , β ] tal que ( x( s) , s) para todo s ∈ , β ] , então a integral

β DG( x(τ) ,t)

α

existirá.

Demonstração. Toda função regrada é o limite uniforme de funções escada finitas. Logo todas as hipóte-

ses do Teorema 1.20 estão satisfeitas, donde segue o resultado.

Na sequência, apresentaremos um resultado que trata da existência local e unicidade de soluções de

(1.5) com condição inicial. Veremos que a prova deste decorre do Teorema do Ponto Fixo de Banach,

também conhecido como Teorema da Contração Uniforme (veja [19], página 300), que será enunciado

abaixo.

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

27

Teorema 1.22 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Seja X um espaço de Banach com norma · X. Se

uma aplicação f : X → X for uma contração uniforme, ou seja, se existir 0 β < 1 tal que

f ( x) − f ( y) X ≤ β x − y X, para quaisquer x,y ∈ X,

então existirá um único ponto x∗ ∈ X tal que

f ( x∗) = x∗.

Teorema 1.23 (Existência e Unicidade - [8], Teorema 2.15). Seja G : Ω → X uma função pertencente à

classe F(Ω , h) , onde h : [ a, b] R é uma função não decrescente e contínua à esquerda em ( a, b] . Então para todo ( x,t 0) satisfazendo

x+ = x + G( x,t 0+) − G( x,t 0) ∈ O,

teremos ( x+ ,t 0) e existirá um > 0 tal que, no intervalo [ t 0 ,t 0 + ∆] , existirá uma única solução x : [ t 0 ,t 0 + ∆] → X da EDO generalizada (1.5) satisfazendo x( t 0) = x.

Demonstração. Inicialmente, suponhamos que t 0 seja um ponto de continuidade da função h, ou seja,

1

que h( t 0+) = h( t 0). Suponhamos que ∆ > 0 seja tal que [ t 0 ,t 0 + ∆] [ a,b], h( t 0 + ∆) − h( t 0) < e

2

x − x ≤ |h( t) − h( t 0) | implica que x ∈ O, para t ∈ [ t 0 ,t 0 + ∆].

Denotaremos o espaço de Banach das funções de variação limitada z : [ t 0 ,t 0 +∆] → X por BV ([ t 0 ,t 0 +

∆] , X) com a norma usual da variação dada por

z BV = z( t 0) + vart 0+∆

t

z.

0

Seja Q o conjunto das funções z : [ t 0 ,t 0 + ∆] → X tais que z ∈ BV ([ t 0 ,t 0 + ∆] ,X) e z( t) − x ≤

|h( t) − h( t 0) |, para t ∈ [ t 0 ,t 0 + ∆]. Vamos mostrar que Q é fechado. Para isso, consideremos {zn}n∈ N ⊂ Q

uma sequência tal que zn → z∗. Como

zn − z∗ BV = zn( t 0) − z∗( t 0) + vart 0+∆

t

( z

0

n − z∗) ,

e zn( t) − z∗( t) ≤ zn − z∗ BV , para qualquer t ∈ [ t 0 ,t 0 + ∆], concluímos que zn → z∗ uniformemente.

28

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

Portanto, dado ε > 0, existe n ∈ N tal que

z∗( t) − x ≤ z∗( t) − zn( t) + zn( t) − x ≤ ε + |h( t) − h( t 0) |.

Assim z∗( t) − x ≤ |h( t) − h( t 0) | para qualquer t ∈ [ t 0 ,t 0 + ∆] e, por conseguinte, z∗ ∈ Q, o que implica que Q é fechado.

Como BV ([ t 0 ,t 0 + ∆] ,X) é um espaço de Banach e Q ⊂ BV ([ t 0 ,t 0 + ∆] ,X) é fechado, constatamos que Q é um espaço de Banach.

Para s ∈ [ t 0 ,t 0 + ∆] e z ∈ Q, definamos

s

T z( s) = x +

DG( z(τ) ,t) .

t 0

A integral st DG( z(τ) ,t) existe pelo fato de z ser de variação limitada e G pertencer à classe F (Ω ,h) 0

(veja o Corolário 1.21). Então, pelo Lema 1.13, vale

s

T z( s) − x =

DG( z(τ) ,t) ≤ |h( s) − h( t 0) |.

t 0

Portanto, T z ∈ Q, isto é, T aplica Q em Q.

Agora, provemos que T é uma contração. Tomemos uma divisão finita t 0 ∆ = α0 < α1 < ... <

α i− 1 < α i < ... < α k = t 0 +∆ do intervalo [ t 0 ,t 0 +∆], z 1 ,z 2 ∈ Q e ε > 0. Então, para i ∈ { 1 ,...,k}, temos α i

T z 2(α i) − T z 1(α i) [ T z 2(α i− 1) − T z 1(α i− 1)] =

D[ G( z 2(τ) ,t) − G( z 1(τ) ,t)]

t 0

α i− 1

α i

D[ G( z 2(τ) ,t) − G( z 1(τ) ,t)] =

D[ G( z 2(τ) ,t) − G( z 1(τ) ,t)]

t 0

α i− 1

α i− 1

n

=

D[ G( z 2(τ) ,t) − G( z 1(τ) ,t)] ∑[ G( z 2(τ j) ,sj) − G( z 1(τ j) ,sj) − G( z 2(τ j) ,sj− 1) α i

j=1

n

+ G( z 1(τ j) ,sj− 1)] + ∑[ G( z 2(τ j) ,sj) − G( z 1(τ j) ,sj) − G( z 2(τ j) ,sj− 1) + G( z 1(τ j) ,sj− 1)]

j=1

n

∑[ G( z 2(τ j) ,sj) − G( z 1(τ j) ,sj) − G( z 2(τ j) ,sj− 1) + G( z 1(τ j) ,sj− 1)] + ε

j=1

n

z 2(τ j) − z 1(τ j) [ h( sj) − h( sj− 1)] + ε

j=1

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

29

n

sup

z 2(τ) − z 1(τ)

∑[ h( sj) −h( sj− 1)] +ε

τ i− 1 , α i]

j=1

sup

z 2(τ) − z 1(τ) [ hi) − hi− 1)] + ε ,

τ [ t 0 ,t 0+∆]

para qualquer divisão marcada δ -fina {j, [ sj− 1 ,sj]) , j = 1 , 2 ,...,n} de [α i− 1 , α i].

Como ε é arbitrário, temos

T z 2(α i) − T z 1(α i) [ T z 2(α i− 1) − T z 1(α i− 1)]

sup

z 2(τ) − z 1(τ) [ hi) − hi− 1)] .

τ [ t 0 ,t 0+∆]

Logo,

vart 0+∆

t

( T z

z

h.

(1.16)

0

2 − T z 1)

sup

2(τ ) − z 1(τ ) vart 0+∆

t 0

τ [ t 0 ,t 0+∆]

Mas

sup

z 2(τ) − z 1(τ) ≤ vart 0+∆

t

( z

0

2 − z 1) .

(1.17)

τ [ t 0 ,t 0+∆]

Logo, por (1.16) e (1.17), temos

vart 0+∆

t

( T z

( z

h =

0

2 − T z 1) ≤ vart 0+∆

t 0

2 − z 1) vart 0+∆

t 0

= vart 0+∆

t

( z

0

2 − z 1)[ h( t 0 + ∆) − h( t 0)] .

(1.18)

Pela definição de Q, segue imediatamente que se zi ∈ Q, i = 1 , 2, então zi( t 0) = x. Temos, também, a igualdade T ( zi( t 0)) = x, i = 1 , 2.

Logo (1.18) implica que

1

T z 2 − T z 1 BV ≤ z 2 − z 1 BV [ h( t 0 + ∆) − h( t 0)] <

z

2 2 − z 1 BV .

Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, temos o resultado desejado.

Agora, consideremos t 0 como sendo um ponto de descontinuidade de h e definamos

h( t) ,

se t ≤ t 0

h( t) = 

h( t) ( h( t 0+) − h( t 0)) ,

se t > t 0 .

30

Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

Então a função h é contínua em t 0, não decrescente e contínua à esquerda em t > t 0.

Definindo, também,

G( x,t) ,

se t ≤ t 0 ,

G( x,t) = 

G( x,t) ( G( x,t 0+) − G( x,t 0)) ,

se t > t 0 ,

temos G ∈ F (Ω , h). Portanto, realizando um procedimento análogo ao anterior, concluímos que existe

dz

uma solução z de

= DG( z(τ) ,t) com z( t

dτ

0) = x+. Por conseguinte, definindo

x,

se t = t 0 ,

x( t) = 

z( t) ,

se t > t 0 ,

dx

notamos que x é solução de

= DG( x,t) com x( t

dτ

0) = x (veja Observação 1.10) e a prova está completa.

Definiremos, a seguir, o conceito de continuação à direita de uma solução de (1.5).

Definição 1.24. Se x for uma solução de (1.5) em um intervalo [ t 0 ,t 1] , com [ t 0 ,t 1] [ a,b] , diremos que z é uma continuação à direita de x, se existir t 2 > t 1 (t 2 < b) de modo que z esteja definida em [ t 0 ,t 2] e se z coincidir com x em [ t 0 ,t 1] e satisfizer a equação (1.5) em [ t 0 ,t 2] .

Vejamos que a continuação à direita de uma solução de (1.5) está fundamentada no lema abaixo.

Lema 1.25 ([27], Lema 4.4). Se x : [α , β ] → X e y : [β , γ] → X forem soluções da equação (1.5) em , β ]

e em , γ] , respectivamente, com , γ] [ a, b] e x(β ) = y(β ) , então a função z : [α , γ] → X definida pelas relações z( s) = x( s) para s ∈ , β ] e z( s) = y( s) para s ∈ , γ] será uma solução da equação (1.5) .

Demonstração. Pelo Teorema 1.3, para s 1 ,s 2 , γ], s 1 < β < s 2, temos

z( s 2) − z( s 1) = z( s 2) − z(β ) + z(β ) − z( s 1)

= y( s 2) − y(β ) + x(β ) − x( s 1)

s 2

β

=

DG( y(τ) ,t) +

DG( x(τ) ,t)

β

s 1

s 2

=

DG( z(τ) ,t) .

s 1

1.2 Noções básicas de EDOs generalizadas

31

Claramente, isto prova o resultado.

Observemos que, como estamos considerando a possibilidade de (1.5) admitir solução descontínua,

pode acontecer o fato de que, para algum x ∈ O, ou seja, para algum ( x,t 0) Ω, o valor

x+ = x + G( x,t 0+) − G( x,t 0)

não pertença à O. Por essa razão, foi necessário acrescentar a hipótese de que

x+ = x + G( x,t 0+) − G( x,t 0) ∈ O

no Teorema 1.23.

Agora, vamos definir o conjunto

G = {( x,t) Ω : ( x + G( x,t+) − G( x,t) ,t) }.

Consideremos a solução x : [ t 0 ,t 0 +∆] → X da EDO generalizada (1.5) no intervalo [ t 0 ,t 0 +∆] [ a,b]

tal que x( t 0) = x. A solução x admitirá uma continuação à direita, se (( x( t 0 + ∆))+ ,t 0 + ∆) pertencer ao conjunto G . Este fato provém do Teorema 1.23. Portanto, se x : [ t 0 ,t 1] → X for uma solução de (1.5)

em [ t 0 ,t 1] [ a,b] tal que ( x( s) ,s) ∈ G para todo s ∈ [ t 0 ,t 1], então x poderá ser prolongada à direita (para valores s > t 1) à uma solução de (1.5). Sendo assim, diremos que x : [ t 0 ,t 1] → X é uma solução não

continuável à direita, se ( x( t 1) ,t 1) /

∈ G ou t 1 = b.

Para finalizar este capítulo, veremos o conceito de uma solução maximal de (1.5).

Definição 1.26. Diremos que x : [ t 0 , t 0 + σ) → X, σ > 0 , [ t 0 , t 0 + σ) [ a,b] , é uma solução maximal de (1.5) , com x( t 0) = u ∈ O, se x for uma solução de (1.5) em todo intervalo [ t 0 , t 0 + β ] , β < σ , e não puder ser prolongada ao intervalo [ t 0 , t 0 + σ] .

Para um estudo mais abrangente sobre EDOs generalizadas, consulte [27].

CAPÍTULO

2

Propriedades qualitativas de

soluções de EDOs generalizadas

Este capítulo será destinado ao estudo de algumas propriedades qualitativas de soluções de uma certa

classe de EDOs generalizadas e será dividido em três seções. Na primeira seção, discutiremos a estabili-

dade variacional da solução nula de EDOs generalizadas. Na segunda seção, introduziremos o conceito

de estabilidade exponencial variacional e daremos condições para que a solução nula de uma determinada

classe de EDOs generalizadas seja variacionalmente exponencialmente estável. Finalmente, na terceira

seção, estabeleceremos resultados sobre limitação uniforme de soluções de EDOs generalizadas.

As principais referências para este capítulo são [1], [2], [3], [27] e [28].

Neste capítulo, X denotará um espaço de Banach com norma · , assim como no capítulo anterior.

2.1 Estabilidade variacional da solução trivial

Nesta seção, vamos considerar Ω = Bc × [ t 0 , +∞), onde Bc = {y ∈ X : y < c}, com c > 0 e t 0 0.

Considararemos a EDO generalizada

dx = DG( x,t) ,

(2.1)

dτ

onde G ∈ F (Ω , h) e h : [ t 0 , +∞) R é uma função não decrescente e contínua à esquerda.

Vamos supor que G(0 ,t) − G(0 , s) = 0, para t, s ≥ t 0. Então, para [γ ,v] [ t 0 , +∞), temos v DG(0 ,t) = G(0 ,v) −G(0 , γ) = 0

γ

33

34

Propriedades qualitativas de soluções de EDOs generalizadas

e, por conseguinte, x ≡ 0 é uma solução da EDO generalizada (2.1) em [ t 0 , +∞). Note também que, pelo

Corolário 1.17, toda solução de (2.1) é de variação limitada. Logo, é natural medir a distância entre duas

soluções de (2.1) usando a norma da variação.

Os próximos conceitos sobre estabilidade foram introduzidos por Š. Schwabik em [28]. Veja também

[27]. Tais conceitos levam em conta a variação das soluções de (2.1) em torno da solução nula x ≡ 0.

Definição 2.1. A solução trivial x ≡ 0 de (2.1) será dita

(i) Variacionalmente estável , se para todo ε > 0 , existir δ = δ (ε) > 0 tal que se x : [γ , v] → Bc, t 0 γ < v < +∞ , for uma função de variação limitada em ,v] e contínua à esquerda em ,v]

tal que

x(γ) < δ

e

s

varvγ x( s)

DG( x(τ) ,t) < δ ,

γ

então

x( t) < ε ,

t ∈ , v] .

(ii) Variacionalmente atratora , se existir δ0 > 0 e para todo ε > 0 , existir T = T (ε) 0 e ρ = ρ(ε) > 0

tal que se x : [γ , v] → Bc, t 0 γ < v < +∞ , for uma função de variação limitada em ,v] e contínua à esquerda em , v] tal que

x(γ) < δ0

e

s

varvγ x( s)

DG( x(τ) ,t) < ρ ,

γ

então

x( t) < ε ,

t ∈ , v] [γ + T, +∞) , γ 0 .

(iii) Variacionalmente assintoticamente estável , se for variacionalmente estável e variacionalmente

atratora.

Observação 2.2. Note que, se x : [γ , v] → X, t 0 γ < v < +∞ , for uma solução de (2.1) , então: s

varvγ x( s)

DG( x(τ) ,t) = 0 .

γ

2.1 Estabilidade variacional da solução trivial

35

De fato, como

s

x( s) − x(γ) =

DG( x(τ) ,t) ,

s ∈ , v] ,

γ

temos

s

varvγ x( s)

DG( x(τ) ,t) = varvγ( x(γ) − x(γ)) = 0 .

γ

A seguir, apresentaremos o conceito de funcional de Lyapunov. Aqui, consideraremos R+ = {z ∈

R : z ≥ 0 }.

Definição 2.3. Diremos que V : [ t 0 , +∞) × X → R é um funcional de Lyapunov (com respeito a EDO

generalizada (2.1) ), se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i) V ( ·, x) : [ t 0 , +∞) R é contínuo à esquerda em ( t 0 , +∞) para todo x ∈ X; (ii) Existe uma função monótona crescente b : R+ R+ tal que b(0) = 0 e

V ( t, x) ≥ b( x ) ,

para cada t ∈ [ t 0 , +∞) e para cada x ∈ X;

(iii) Para toda solução x : [γ , v] → X de (2.1) , , v] [ t 0 , +∞) ,

˙

V ( t + η , x( t + η)) −V ( t, x( t))

V ( t, x( t)) = lim sup

0 ,

η 0+

η

isto é, a derivada à direita de V é não positiva ao longo de toda solução x( t) de (2.1) .

Agora, voltaremos a nossa atenção aos teoremas do tipo Lyapunov para a equação (2.1) (veja o

Apêndice, seção 6.2.1). Inicialmente, porém, apresentaremos alguns resultados auxiliares.

Lema 2.4 ([27], Proposição 10.11). Sejam −< a < b < +∞ e f , g : [ a, b] R funções contínuas à esquerda em ( a, b] . Se para todo σ [ a, b] , existir um δ (σ ) tal que para todo η (0 , δ (σ )) a desigualdade

g(σ + η) − g(σ ) ≤ f (σ + η) − f (σ )

é válida, então teremos

g( s) − g( a) ≤ f ( s) − f ( a) ,

para todo s ∈ [ a, b] .

36

Propriedades qualitativas de soluções de EDOs generalizadas

Uma prova do lema enunciado acima pode ser encontrada em [27], Proposição 10.11.

O próximo resultado está presente em [27] (veja o Lema 10.12), para o caso em que a função V

está definida em [0 , +∞) × R n. Aqui, porém, vamos considerar V definida em [ t 0 , +∞) × X. A fim de facilitarmos a compreensão do leitor, exibimos uma prova mais detalhada deste resultado seguindo as

ideias de [27], Lema 10.12.

Lema 2.5. Seja G ∈ F (Ω , h) . Suponha que V : [ t 0 , +∞) × X → R seja tal que V ( ·,x) : [ t 0 , +∞) R é contínua à esquerda em ( t 0 , +∞) para x ∈ X e satisfaça

|V ( t, z) −V ( t, y) | ≤ K z − y ,

z, y ∈ X, t ∈ [ t 0 , +∞) ,

(2.2)

onde K é uma constante positiva. Além disso, suponha que exista uma função Φ : X → R tal que para

toda solução x : [ a, b] → X, [ a, b] [ t 0 , +∞) , de (2.1) , tenhamos

˙

V ( t + η , x( t + η)) −V ( t, x( t))

V ( t, x( t)) = lim sup

Φ( x( t)) ,

t ∈ [ a, b] .

(2.3)

η 0+

η

Se x : [γ , v] → X, t 0 γ < v < +∞ , for contínua à esquerda em ,v] e de variação limitada em ,v] , então

s

V ( v, x( v)) −V , x(γ)) ≤ K varvγ x( s)

DG( x(τ) ,t) + M( v − γ) ,

(2.4)

γ

onde M = sup Φ( x( t)) .

t∈ ,v]

Demonstração. Seja x : [γ , v] → X uma função contínua à esquerda em (γ , v] e de variação limitada em

, v] [ t 0 , +∞). Pelo Corolário 1.21, a integral vγ DG( x(τ) ,t) existe.

Tomemos σ , v]. Pelo Teorema 1.23, a equação (2.1) admite uma solução local, digamos, x :

, σ + η1(σ)] → X em [σ , σ + η1(σ)], satisfazendo a condição inicial x(σ) = x(σ). É claro que a inte-

gral

σ +η1(σ)

σ

DG( x(τ) ,t) existe. Seja η2 > 0 suficientemente pequeno tal que η2 η1(σ) e σ + η2 ≤ v.

Então a integral σ+η2

σ

DG( x(τ) ,t) existe e a integral σ+η2

σ

D[ G( x(τ) ,t) − G( x(τ) ,t)] também existe

pelo Teorema 1.2. Portanto, dado ε > 0, existe uma função calibre δ de [σ , σ + η2] correspondente a ε

na definição da última integral. Podemos supor, sem perda de generalidade, que η2 < δ (σ). Por (2.3),

podemos tomar 0 < η η2 de forma que a desigualdade

V (σ + η , x(σ + η)) −V , x(σ )) ηΦ( x(σ ))

(2.5)

2.1 Estabilidade variacional da solução trivial

37

seja válida, e podemos supor, pelo Corolário 1.5( i), que

σ +η

ηε

G( x(σ ) , σ + η) − G( x(σ ) , σ )

DG( x(τ) ,t) <

(2.6)

σ

2 K

e

σ +η

ηε

G( x(σ ) , σ + η) − G( x(σ ) , σ )

DG( x(τ) ,t) <

.

(2.7)

σ

2 K

Note que

σ +η D[ G( x(τ) ,t) −G( x(τ) ,t)] − G( x(σ) , σ +η) −G( x(σ) , σ) −G( x(σ) , σ +η)+ G( x(σ) , σ) σ

σ +η

D[ G( x(τ) ,t) − G( x(τ) ,t)] ( G( x(σ ) , σ + η) − G( x(σ ) , σ ) − G( x(σ ) , σ + η) + G( x(σ ) , σ )) σ

σ +η

≤ G( x(σ ) , σ + η) − G( x(σ ) , σ )

DG( x(τ) ,t)