Euclides - Elementos de Geometria por Frederico Commadino - Versão HTML

ATENÇÃO: Esta é apenas uma visualização em HTML e alguns elementos como links e números de página podem estar incorretos.
Faça o download do livro em PDF, ePub, Kindle para obter uma versão completa.

Euclides - Elementos de Geometria

Frederico Commandino

São Paulo: Edições Cultura, 1944

ISBN - Não indicado

Fonte: Biblioteca do Clube de Engenharia da Bahia

Obra digitalizada por: Neuziton Torres Rapadura - neuzitontr@terra.com.br

Colaboração voluntária

S É R I E C I E N T Í F I C A

EUCLIDES

Elementos de Geometria

dos seis primeiros livros do undécimo

e duodécimo da versão latina de

FREDERICO COMMANDINO

Adicionados e Ilustrados

Por

ROBERTO SIMSON

Profº Matemática na Academia de Glasgow

REVISTOS P A R A

EDIÇÕES CULTURA

Por

ANÍBAL FARO

EDIÇOES CULTURA

AV. 9 DE JULHO, 872 e 878 (1º and.)

FONE: 402228 - SÃO I'AULO - BRASIL

1944

PRIMEIRO LIVRO

DOS

ELEMENTOS DE GEOMETRIA DE EUCLIDES

EUCLIDES

DEFINIÇÕES.

I

Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma.

II

Linha é o que tem comprimento sem largura.

III

As extremidades da linha são pontos.

IV

Linha reta é aquela, que está posta igualmente entre as suas

extremidades.

V

Superfície é o que tem comprimento e largura.

VI

As extremidades da superfície são linhas.

VII

Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma tinha reta entre

dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície.

VIII

Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em

uma superfície plana, sem estarem em direitura uma com outra.

IX

Ângulo plano retilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas retas, que

se encontram, e não estão em direitura uma com outra.

Se alguns ângulos existirem no mesmo ponto B (Fig. 1.), cada um deles

vem indicado com três letras do alfabeto; e a que estiver no vértice do ângulo,

isto é, no ponto, no qual se encontram as retas que formam o ângulo, põe-se

no meio das outras; e destas uma está posta perto de uma das ditas retas, em

alguma parte, e a outra perto da outra linha. Assim () ângulo feito pelas retas

AB, CB representar-se-á com as letras ABC, ou CBA; o ângulo formado pelas

retas AB, DB, com as letras ABD, ou DBA; e o ângulo que fazem as retas DB,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

4

EUCLIDES

CB, com as letras DBC, ou CBD. Mas se um ângulo estiver separado de outro

qualquer, poder-se-á marcar com a mesma letra, que estiver no vértice, como

o ângulo no ponto E (Fig. 2.)

X

Quando uma linha reta, caindo sôbre outra. linha reta, fizer com esta dois

ângulos iguais, um de uma, e outro de outra parte, cada um dêstes ângulos

iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz perpendicular a outra

linha; sôbre a qual cai (Fig. 3.).

XI

Ângulo obtuso é o que é maior, que o ângulo reto (Fig. 4.).

XII

Ângulo agudo é o que é menor, que o ângulo reto (Fig. 5.)_

XIII

Têrmo se diz aquilo, que é extremidade de alguma cousa.

XIV

Figura é um espaço fechado por um ou mais têrmos.

XV

Círculo é uma figura plana fechada por uma só linha, a qual se chama

circunferência: de maneira que tôdas as linhas retas, que de um certo ponto

existente no meio da, figura, se conduzem para a circunferência, são iguais

entre si (Fig. 6.).

XVI

O dito ponto se chama centro do círculo.

XVII

Diâmetro do círculo é uma linha reta, que pas.sa pelo centro, e que se

termina por ambas as partes na circunferência.

XVIII

Semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e aquela parte

da circunferência do círculo, que é cortada pelo diâmetro.

XIX

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

5

EUCLIDES

Segmento de círculo é uma figura compreendida entre uma linha reta, e

uma porção da circunferência.

XX

Figuras retilíneas são as que são formadas com linhas retas.

XXI

As triláteras são aquelas, que são formadas com três linhas retas.

XXII

As quadriláteras são aquelas, que são feitas por quatro linhas retas. .

XXIII

Ás multiláteras são as que são feitas por mais de quatro linhas retas.

XXIV

Entre as figuras triláteras o triângulo eqüilátero é o que tem os três lados

iguais (Fig. 7.).

XXV

Triângulo isósceles é o que tem dois lados iguais (Fig. 8.).

XXVI

Triângulo escaleno é o que tem os três lados desiguais

(Fig. 9.).

XXVII

Triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto (Fig. 10.).

XXVIII

Triângulo obtusângulo é o que tem um ângulo obtuso (Fig. 11.).

XXIX

O triângulo acutângulo é o. que tem todos os ângulos agudos (Fig. 12.).

XXX

Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente

eqüilátero e retângulo (Fig. 13.).

XXXI

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

6

EUCLIDES

E a figura, que de uma parte, fôr mais comprida, pode ser retângula, mas

não eqüilátera (Fig. 14.).

XXXII

Mas o rombo é uma figura eqüilátera, e não retângula

(Fig. 15.).

XXXIII

Romboide é uma figura, que tendo os lados opostos iguais, nem é

eqüilátera, nem eqüiângula (Fig. 16.).

XXXIV

Tôdas as mais figuras quadriláteras, que não são as referidas, se chamam

trapézios.

XXXV

Linhas paralelas, ou eqüidistantes são linhas retas, que existindo no

mesmo plano, e sendo produzidas de ambas as partes, nunca se chegam a

tocar (Fig. 17.).

POSTULADOS.

I

Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para

outro qualquer ponto uma linha reta.

II

E que uma linha reta determinada se continue em direitura de si mesma,

até onde seja necessário.

III

E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.

AXIOMAS

I

As cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si.

II

Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

7

EUCLIDES

III

E sé de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais.

IV

E se a cousas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão

desiguais.

V

E se de, cousas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão

desiguais.

VI

As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra

quantidade, são iguais.

VII

E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também

iguais.

VIII

Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra; são

iguais.

IX

O todo é maior do que qualquer das suas partes.

X

Duas linhas retas não compreendem espaço.

XI

Todos os ângulos retos são, iguais.

XII

E se uma linha reta, encontrando-se com outras duas retas, fizer os

ângulos internos da mesma parte menores que dois retos, estas duas retas

produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos ditos ângulos

internos. (Veja-se a nota sôbre a proposição 29 do livro I).

Êstes sinais =, >, <, de que os matemáticos usam freqüentemente,

servem para maior brevidade.

o sinal = significa

que o primeiro têrmo é igual ao segundo.

>

que o primeiro têrmo é maior que o segundo.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

8

EUCLIDES

<

que o primeiro têrmo é menor que o segundo.

Assim A = B

significa, que A é igual a B.

A>B

que A é maior que B.

A<B

que A é menor que B.

PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.

Sôbre uma linha reta determinada descrever um triângulo

equilátero (Fig. 18.).

Seja a linha reta AB de um certo comprimento. Deve-se sôbre ela

descrever um triângulo eqüilátero.

Com o centro A, e com o intervalo AB se descreva ( Postul. 3.) o círculo

BCD; e com o centro B, e com o intervalo BA se descreva o círculo ACE. Do

ponto C, onde os círculos se cortam reciprocamente, tirem-se (Post. 1.) para

os pontos A, B as retas CA, CR O triângulo ABC será equilátero. Sendo o ponto

A o centro do círculo BCD, será AC = AB (Def. 15.). E sendo o ponto B o

centro do círculo CAE, será BC = BA. Mas temos visto CA = AB. Logo, tanto

CA, como CB, é igual a AB. Mas as cousas, que são, iguais a uma terceira, são

iguais entre si ( Ax. 1.). Logo, será CA = CB. Logo as três retas CA, AB, BC são

iguais; e por conseqüência, o triângulo ABC, feito sôbre a reta dada AB, é

eqüilátero.

PROP. II. PROB.

De um ponto dado tirar uma uma reta igual a outra reta

dada (Fig. 19.).

Seja dado o ponto A, e dada também a reta BC. Deve-sedo ponto A tirar

uma linha reta igual a reta dada BC.

Do ponto A para o ponto B tire-se (Post. 1.) a reta AB, e sôbre esta se

faça (Prop. 1.1.) o triângulo eqüilátero DAB; e produzam-se (Post. 2.) as retas

AE, BF em direitura das retas DA, DB. Com o centro B, e o intervalo BC

descreva-se (Post. 3.) o círculo CGH; e também com o centro D, e o intervalo

DG descreva-se o círculo GKL. Sendo o ponto B o centro do círculo CGH, será

BC = BG (Def. 15.). E sendo' D o centro do círculo GKL, será DL = DG. Mas as

partes DA, DB das retas DL, DG são iguais. Logo, tiradas estas, as partes

resíduas AL, BG serão também iguais ( Ax. 3.). Mas temos demonstrado, que é

BC = BG. Logo cada uma das duas AL, BC será igual a BG. Mas as cousas

iguais a uma terceira, são iguais entre si. Logo será AL = BC; e por

conseqüência temos. tirado do ponto A a linha reta AL igual a outra dada BC.

PROP. III. PROB.

Dadas duas linhas retas desiguais, cortar da linha maior

uma parte igual à linha menor (Fig. 20.).

Sejam as duas retas desiguais AB, e C, e seja AB maior. Deve-se da reta

maior AB cortar uma parte igual à reta menor C.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

9

EUCLIDES

Do ponto A tire-se (Pr. 2.1.) a reta AD = C. Com o centro A, e o intervalo

AD descreva-se (Post. 3.) o círculo DEF. Porque o ponto A é o centro do círculo

EF, será AE = AD. Mas é também C = AD. Logo tanto AE, como C, será igual a

AD; e por conseqüência AE = C ( Ax. 1.). Logo temos tirado da reta maior AB

uma parte igual à reta C<AB.

PROP. IV. TEOREMA.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados,

cada um a cada um, e os ângulos, compreendidos por êstes

lados, forem também iguais; as bases e os triângulos, e os mais

ângulos, que são opostos a lados iguais, serão também iguais

(Fig. 21.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, cujos lados AB, AC, DE, DF são

iguais, cada um a cada um, isto é, AB = DE, e AC = DF; e seja o ângulo BAC =

EDF. Digo, que a base BC é igual à base EF; e que o triângulo' ABC é igual ao

triângulo DEF; e que os outros ângulos do primeiro triângulo são iguais aos

outros do segundo, cada um a cada um, segundo ficam opostos a lados iguais;

isto é, o ângulo ABC = DEF, e ACB = DFE.

Considere-se pôsto o triângulo ABC sôbre o triângulo DEF, de sorte que o

ponto A caia sôbre o ponto D, e a reta AB sôbre a r.eta DE. O ponto B cairá

sôbre o onto E, por ser AB = DE. Ajustando-se pois AB sôbre DE, também a

reta AC se ajustará sôbre a reta DF, sendo o ângulo BAC = EDF. Logo sendo

AC = DF, o ponto C cairá sôbre o ponto F. Mas temos visto que B cai sôbre E.

Logo a base BC se ajustará sôbre a base EF. Porque se não se ajustarem,

caindo B em E, e C em F, se seguirá, que duas linhas retas compreendem um

espaço, o que não pode ser (Ax. 10.). Logo a base BC deve-se ajustar sôbre a

base EF, e por conseqüência são iguais. Logo todo o triângulo ABC se ajusta

sôbre todo o triângulo DEF, e assim são iguais; e os outros ângu!os do

primeiro triângulo também se ajustam sôbre os outros do,segundo e são

iguais; isto é, o ângulo ABC = DEF, e ACB = DFE.

PROP. V. TEOR.

Em qualquer triângulo isósceles os ângulos que estão sôbre

a base, são iguais e produzidos os lados iguais, os ângulos, que

se formam debaixo da base, são também iguais (Fig. 22.).

Seja o triângulo isósceles ABC com os lados iguais AB, AC, os quais sejam

produzidos para D e E. Digo, que será o ângulo ABC = ACB, e CBD = BCE.

Tome-se na reta BD um ponto qualquer F; e da reta AE>AF se corte ( Pr.

3.1.) a parte AG = AF; e se tirem as retas PC, GB. Sendo AF = AG, e AB = AC;

as duas FA, AC serão iguais às duas GA, AB, cada uma a cada uma. E além

disto compreendem o ângulo comum F AG. Logo a base FC será igual ( Pr.

4.1.) à base GB; e o triângulo AFC igual ao triângulo AGB; e os mais ângulos

iguais aos mais ângulos, cada um a cada um; isto é, os que são opostos a

lados iguais, como ACF = ABG, e AFC = AGB. E sendo AF = AG e AB = AC,

tirando AB de AF, e AO de AG, ficará BF = CG ( Ax. 3.). Mas temos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

10

EUCLIDES

demonstrado, que FC = GB. Logo as duas BF, FC são iguais às duas CG, GB,

cada uma a cada uma; e o ângulo BFC = CGE. Mas a base BC é comum aos

dois triângulos FBC, GCB. Logo êstes dois triângulos são iguais ( Pr. 4.1.); e os

mais ângulos dêles, que forem opostos a lados iguais, são também iguais.

Logo será .() ângulo FBC = GCB e BCF = CBG. Assim sendo o ângulo total ABG

igual ao total ACF, como se tem demonstrado; e sendo CBG = BCF, tirando

QBG de ABG, e BCF de ACF, ficará o ângulo ABC = ACB, que são os ângulos

sôbre a base BC do triângulo isósceles ABC. E já se tem provado FBC = GCB,

que são os ângulos debaixo da base BC.

COROL. Disto se segue, que todo o triângulo equilátero é também

equiângulo.

PROP. VI. TEOR.

Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os dados

opostos a êstes ângulos iguais, serão também iguais (Fig. 28.).

Seja o triângulo ABC, e seja o ângulo ABC = ACE. Digo, que será AB =

AO.

Se não fôr AB = AC, uma destas duas retas será maior que a outra. Seja

AB a maior, e desta, que é maior, se corte (Pr. 3.1.) DB = AC, que é menor.

Tire-se a reta DC. Sendo DB = AC, e BC comum, serão as duas DB, BC iguais

às duas AC, CB, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo DBC = ACB. Logo a

base DC será igual à base AB; e o triângulo DBC igual (Pr. 4.1.) ao triângulo

ACB, o que é absurdo, porque DBC é menor que ABC. Logo as retas AB, AC

não são desiguais, e por conseqüência deve ser AB = AC.

COROL. Desta proposição se infere que todo o triângulo eqüiângulo é

também eqüilátero.

PROP. VII. TEOR.

Sôbre a mesma base e da mesma parte não se podem

construir dois triângulos diferentes, que tenham os outros lados

iguais isto é, os dois, que partem de um mesmo têrmo da, base,

e os outros dois, que partem do outro, não podem ser iguais

(Fig. 24.).

Se é possível, estejam sôbre a mesma base AB, e da mesma parte os

dois triângulos ACB, ADB, que tenham tanto os lados CA, DA, como os lados

CB, DB, iguais entre si.

Tire-se a reta CD. Ou nenhum dos vértices dos triângulos cai dentro do

outro triângulo, ou um vértice de um triângulo está dentro do outro triângulo.

Primeiramente, nenhum vértice esteja dentro de um dos dois triângulos.

Sendo AC = AD, será ângulo ACD = ADC (Pr. 5.1.). Mas o ângulo ACD é maior

que o ângulo BCD. Logo será ADC>BCD, e por conseqüência BDC será muito

maior que BCD. Também Rendo CB = DB, será o ângulo BDC = BCD (Pr.

5.1.). Mas tem-se demonstrado BDC>BCD. Logo BDC será igual e maior ao

mesmo tempo, que BOD, o que não pode ser.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

11

EUCLIDES

Agora o vértice D do triângulo ADB esteja dentro do outro triângulo ACB

(Fig. 25). Produzam-se as retas AC, AD para os pontos E, F. Sendo AC = AD

serão os ângulos ECD, FDC, que são debaixo da base CD, iguais ( Pr. 5.1.). Mas

é o ângulo ECD>BCD. Logo será FDC>BCD, e BDC será muito maior que BCD.

E porque é CB = DB, será BDC = BCD (Pr. 5.1.). Mas temos visto ser

BDC>BCD. Logo BDC será igual e maior ao mesmo tempo, que BCD, o que é

igualmente absurdo. Suposto que um vértice de um triângulo caia sôbre um

lado do outro triângulo, não há mister demonstração alguma.

PROP. VIII. TEOR.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados,

cada um a cada um, e as bases também iguais; os ângulos,

compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais (Fig.

26.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, e seja o lado AB = DE, e AC = DF, e

também a base BC = EF outra base. Digo, que será o ângulo BAC = EDF.

Pôsto o triângulo ABC sôbre o triângulo DEF de sorte que o ponto B caia em E,

e a reta BC sôbre a reta EF, também o ponto C deve cair sôbre o ponto F, por

ser BC = EF; e assim ajuntando-se BC com EF, as duas BA, AC se ajustarão

com as duas ED, DF. E se, ajustando-se a base BC sôbre a base EF, quisermos

que os lados BA, AC se não ajustem sôbre os lados ED, DF, mas tenham outro

lugar, como EG, GF, poder-se-ão construir sôbre a mesma base e da mesma

parte dois triângulos, cujos lados, partindo de uma e outra extremidade da

base comum, sejam iguais. Mas isto é impossível (Pr. 7.1.). Logo se a base BC

se ajusta sôbre a base EF, os lados BA, AC devem-se ajustar sôbre os lados

ED DF, e por conseqüência o ângulo BAC sôbre o ângulo EDF. Logo será BAC =

EDF (Ax. 8.).

PROP. IX. PROB.

Dividir em duas partes iguais um ângulo retilíneo dado (Fig.

27.).

Seja dado o ângulo retilíneo BAC. Deve-se dividir êste ângulo em duas

partes iguais.

Tome-se na reta AB qualquer ponto D, e da reta AC corte-se (Pr. 3.1.) a

parte AE = AD; e tirada a reta DE, sôbre esta se faça (Pr. 1.1.). o triângulo

eqüilátero DE:B', e se tire AF. Digo, que o ângulo BAC fica dividido em duas

partes iguais pela reta AF. Sendo AD = AE e AF comum; nos dois triângulos

FDA, FEA os dois lados DA, AF serão iguais aos dois lados EA, AF, cada um a

cada um. Mas é a base DF = EF outra base. Logo, será o ângulo DAF = EAF

(Pr. 8.1.); e por conseqüência o ângulo retilíneo dado BAC fica dividido pela

reta AF em duas partes iguais.

PROP. X. PROB.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

12

EUCLIDES

Dividir em duas partes iguais uma linha reta de um

comprimento dado (Fig. 28.).

Seja dada a linha reta determinada AB. É preciso dividi-Ia em duas partes

iguais.

Faça-se ( Pr. 1.1.) sôbre a reta dada AB o triângulo eqüilátero ABC; e com

a reta CD se divida ( Pr.9 .1.) em duas metades o ângulo ACB. Digo, que a reta

AB fica dividida em duas partes iguais no ponto D.

Porque sendo AC = CB, e CD comum, serão as duas AC, CD, iguais às

duas BC, CD, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo ACD = BCD. Logo será

( Pr. 4.1.) a base AD = DB outra base. Logo temos dividido a reta determinada

AB em duas partes iguais no ponto D.

PROP. XI. PROB.

De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma

perpendicular sôbre a mesma reta dada (Fig. 29.).

Seja dada a reta AB, e nela o ponto C. Deve-se do ponto O levantar uma

perpendicular sôbre a reta ÁB.

Tome-se na reta AC qualquer ponto D, e ponha-se OE = OD (Pr. 3.1.), e

sôbre DE faça-se (Pr. 1.1.) o triângulo eqüilátero DFE. Tire-se finalmente a

reta FC. Digo, que FC é perpendicular sôbre a dada AB no ponto C.

Por ser DC =CE, e FC comum; as duas DC, CF serão iguais às duas EC,

CF, cada uma a cada uma. Mas é a base DF = FE outra base. Logo será o

ângulo DCF = ECF (Pr. 8.1.) ; .e êstes ângulos são formados um de uma, e

outro de outra parte da mesma linha. Mas quando uma reta,' caindo sôbre

outra, faz os ângulos de ambas as partes iguais entre si, êstes ângulos são

retos (Def. 10.). Logo os ângulos DCF, FCE são retos, e assim temos levantado

a perpendicular FC sôbre a reta dada AB, e do ponto dado C.

COROL. Com isto podemos demonstrar que duas linhas retas não podem

ter um segmento comum (Fig. 30.).

Tenham as duas retas ABC, ABD, se é possível, o segmento comum AB.

Do ponto B levante-se a perpendicular BE sôbre AB. Porque ABC é uma linha

reta, será o ângulo CBE = EBA (Def. 10. ). Do mesmo modo sendo ABD uma

linha reta, será o ângulo DBE = EBA. Logo será DBE = CBE,isto é, um ângulo

menor igual a um maior, o que não pode ser. Logo duas linhas retas não

podem ter um segmento comum.

PROP. XII. PROB.

Conduzir uma perpendicular sôbre uma linha reta dada

indefinita de um ponto dado fora dela (Fig. 81.).

Seja dada a linha reta AB, e fora dela o ponto C. Devese do ponto C

conduzir uma perpendicular sôbre a reta AB.

Da outra parte da reta AB tome-se um ponto qualquer D, e com o centro

C, e o intervalo CD descreva-se (Post. 3.) o círculo EGF, que corte a reta AB

nos pontos F, G; e a reta FG se. divida pelo meio (Pr. 10.1.) no ponto H, e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

13

EUCLIDES

tirem-se as retas CF, CH, CG. Digo, que a reta CH é perpendicular sôbre a reta

indefinita AB.

Sendo FH = HG, e HC comum, as duas FH, HC serão iguais às duas HG,

HC, cada uma' a cada uma. Mas é a base CF = CG (Def. 15.) outra base. Logo,

será o ângulo CHF = CHG (Pr. 8.1.), e por conseqüência êstes ângulos, sendo

adjacentes à mesma linha CH, serão retos, e a reta CH, que parte do ponto C,

será perpendicular sôbre a reta dada indefinita AB, como se pedia.

PROP. XIII. TEOR.

Uma linha reta, caindo sôbre outra linha reta, faz com esta

ou dois ângulos retos, ou dois ângulos iguais a dois retos (Fig.

32. 33.).

Caia a reta AB sôbre a reta CD, fazendo com esta os dois ângulos CBA,

ABD. Digo, que os ângulos CBA, ABD, ou são dois retos, ou são iguais a dois

retos.

Porque se fôr o ângulo CBA = ABD (Fig. 32.), claro está que são retos

( Def. 10.). E quando assim não seja: do ponto B (Fig. 33.) levante-se (Pr.

11.1.) sôbre CD a perpendicular BE. Logo os ângulos CBE e EBD são dois

retos. E porque o ângulo CBE é igual aos dois CBA, ABE, ajuntando de uma e

outra parte o mesmo ângulo EBD, serão os dois, CBE, EBD iguais aos três

CBA, ABE, EBD (Ax. 2.). Também, sendo o ângulo DBA igual aos dois DBE,

EBA, ajuntando de ambas as partes o ângulo comum ABC, serão os dois DBA,

ABC iguais aos três DBE, EBA, ABC. Mas êstes três ângulos são iguais aos dois

CBE, EBD; e as quantidades, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si

(Ax. 1.). Logo. os dois ângulos CBE, EBD são iguais aos dois DBA, ABC.

Mas CBE, EBD são dois retos. Logo os dois ângulos DBA, ABC são iguais a

dois retos.

PROP. XIV. TEOR.

Se em um ponto de uma linha reta qualquer concorrerem

de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta os

ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem

para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra (Fig. 34.).

No ponto B da linha reta AB concorram de partes opostas; as duas BC,

BD, fazendo com a reta AB os ângulos adjacentes ABC, ABD iguais a dois

retos. Digo, que BD está em direitura de CB.

Se BD não está em direitura de CB, esteja-o BE, de sorte que CBE seja

uma só linha reta. Caindo a reta AB sôbre a reta CBE, os ângulos ABC, ABE

serão iguais a dois retos ( Pr. 13.1.). Mas também são iguais a dois retos os

ângulos ABC, ABD. Logo os dois ângulos CBA, ABE são iguais aos dois CBA,

ABD. Logo tirando de uma e outra parte o ângulo comum CBA, ficará o ângulo

ABE = ABD ( Ax. 3.) ; isto é, um ângulo menor igual a um maior, o que não

pode ser. Logo a reta BE não está em direitura com BC. O mesmo se pode

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

14

EUCLIDES

demonstrar de qualquer outra reta fora de BD. Logo, as retas CB, BD estão em

direitura.

PROP. XV. TEOR.

Se duas linhas retas reciprocamente se cortarem, farão os

ângulos verticalmente opostos iguais entre si (Fig. 35.).

Cortem-se as duas retas AB, CD reciprocamente no ponto E. Digo, que

será o ângulo AEC = DEB, e OEB = AED.

Porque a reta AE cai sôbre a reta CD, serão os ângulos CEA, AED iguais a

dois retos (Pr. 13.1.). Do mesmo modo, caindo DE sôbre AB, serão também os

ângulos AED, DEB iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os ângulos CEA, AED

são iguais aos ângulos AED, DEB. Logo, tirando de' uma parte e outra o

comum AED, ficará CEA = BED.

Com a mesma demonstração se prova ser CEB = AED.

COROL. 1. Disto se pode deduzir, que quando duas retas se cortam,

fazem quatro ângulos iguais a quatro retos.

COROL. 2. E que todos os ângulos ao redor de um mesmo ponto são

iguais a quatro retos.

PROP. XVI. TEOR.

Produzido um lado qualquer de qualquer triângulo, o ângulo

externo sempre é maior que cada um dos ângulos internos e

opostos (Fig. 36.).

Seja o triângulo ABC, cujo lado BC seja produzido para a parte D. Digo,

que o ângulo externo ACD é maior que 'qualquer dos internos e opostos CBA,

BAC.

Divida-se o lado AC em duas partes iguais (Pr. 10.1) no ponto E; e tirada

a reta BE, esta se continue até F de sorte que seja BE = EF. Tire-se FC, e o

lado AC seja produzido para G. Sendo AE = EC, e BE = EF, as duas AE, EB

serão Iguais às duas CE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o angulo AEB = CEF

(Pr. 15.1), por serem êstes ângulos verticalmente opostos. Logo, a base AB é

igual à base CF; e o triângulo AEB igual ao triângulo CEF; e os mais ângulos

iguais aos mais ângulos. (Pr. 4.1), cada um a cada um, segundo ficam opostos

a lados iguais. Logo será o ângulo BAE = ECF. Mas é o ângulo ECD>ECF. Logo,

será também ACD>BAE. Com o mesmo discurso, dividido pelo meio o lado BC,

se demonstra ser o ângulo BCG, isto é, ACD>ABC (Pr. 15.1.).

PROP. XVII. TEOR.

Dois ângulos de um triângulo qualquer, tomados de

qualquer modo que se quiser, são menores que dois retos (Fig.

37.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

15

EUCLIDES

Seja o triângulo ABC. Digo, que dois ângulos quaisquer do triângulo ABC,

tomados juntamente, são menores que dois retos.

Produza-se BC para D. Sendo no triângulo ABC o ângulo externo A CD

maior (Pr. 16.1.) que o ângulo interno e oposto ABC; se a um e outro se

ajuntar o ângulo comum ACB, os ângulos ACD, ACB juntos serão maiores que

os ângulos ABC, ACB. Mas ACD, ACB são iguais a dois retos (Pr. 13.1.).

Logo, os dois ângulos ABC, BCA são menores que dois retos. Do mesmo

modo podemos demonstrar serem os ângulos BAC, ACB e os ângulos CAB,

ABC menores que dois retos.

PROP. XVIII. TEOR.

Em qualquer triângulo, o lado maior opõe-se ao ângulo maior

(Fig. 38.).

Seja o triângulo ABC, e seja o lado AC>AB. Digo que o ângulo ABC>BCA.

Sendo AC>AB, poderá tomar-se AD = AB (Pr. 3.1.).

Tire-se a reta BD. Porque no triângulo BDC o ângulo externo> ADB é

maior que o ângulo interno e oposto BCD (Pr. 16.1.) ; e é ADB = ABD, por ser

AB = AD (Pr. 5.1.); será o ângulo, ABD>ACB, e por conseqüência ABC muito

maior que ACB.

PROP. XIX. TEOR.

Em qualquer triângulo o ângulo maior fica oposto ao lado

maior (Fig. 39.).

Seja o triângulo ABC, e seja o ângulo ABC>BCA. Digo, que é o lado

AC>AB.

Se AC não é maior, será ou igual, ou menor, que AB. Mas não é igual,

porque seria ABC = ACB (Pr. 5.1.), contra a suposição. Logo não é AC = AB.

Também não pode ser AC<AB, porque seria ABC<ACB (Pr. 18.1.), contra a

hipótese. Logo, não é AC<AB. Logo, segue-se ser AC>AB.

PROP. XX. TEOR.

Em qualquer triângulo dois lados, tomados de qualquer

modo que se quiser, são maiores que o terceiro (Fig. 40.).

Seja o triângulo ABC. Digo que dois quaisquer lados do triângulo ABC são

maiores que o terceiro; isto é, os lados BA, AC são maiores que o lado BC; os

lados AB, BC são maiores que o lado AC: e os lados BC, CA são maiores que' o

lado AB.

Produza-se BA, para D, e posta AD = CA (Pr. 3.1.), tire-se a reta DC.

Sendo DA = AC, será o ângulo ADC = ACD (Pr. 5.1.). Mas é BCD>ACD. Logo,

será BÚD> ADC. E porque no triângulo DCB é o ângulo BCD>BDC; e' ao

ângulo maior fica oposto o lado também maior (Pr. 19.1.), será o lado DB

>BC. Mas DB é igual aos dois lados juntos ,BA, AC. Logo os dois lados BA, AC

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

16

EUCLIDES

são maiores que O lado BC. Do mesmo modo se prova que os lados AB, BC

são maiores que o lado CA; e que os lados BC, CA são maiores que o lado AB.

PROP. XXI TEOR.

Se sôbre os extremos de um lado de um triângulo estiverem

postas duas retas dentro do mesmo triângulo, estas serão

menores que os outros dois lados do triângulo, mas

compreenderão um ângulo maior do que o ângulo que fica oposto

ao lado, sôbre cujos extremos estão postas as ditas retas (Fig.

41.).

Sôbre os extremos B, C do lado BC do triângulo ABC estejam postas as

retas BD, DC dentro do mesmo triângulo ABC. Digo que as retas BD, DC são

menores que os outros lados dos triângulos BA, AC; mas que o ângulo BDC é

maior que o ângulo BAC.

Produza-se BD até E. Porque dois quaisquer lados de um triângulo são

maiores que o terceiro (Pr. 20.1.) ; serão os dois lados BA, AE do triângulo

ABE maiores que o lado BE. Ajunte-se a uma e outra parte a reta EC. Logo,

BA, ACserão maiores (Ax. 4.) que BE, EC. E porque, no triângulo CED, os dois

lados CE, ED fião maiores que o lado, CD, ajuntando 1.1. comum DB, serão as

duas CE, EB maiores (Ax. 4.) que as duas CD, DB; e por conseqüência BA, AC

serão muito maiores que BD, DC.

E porque em qualquer triângulo o ângulo externo é maior que o interno e

oposto (Pr. 16.1.), no triângulo CDE será o angulo externo BDC> CDB. Pela

mesma razão, no triângulo ABE deve ser o ângulo CEB>BAC, e por

conseqüência será o ângulo BDC muito maior que o ângulo BAC.

PROP. XXII. PROB.

Construir um triângulo com três linhas retas iguais a três

outras dadas, entre as quais duas, tomadas como se quiser,

sejam sempre maiores que a terceira (Fig. 42.).

Sejam dadas as três retas A, B, C, das quais duas tomadas como se

quiser, sejam maiores que a terceira, isto é, as duas A, B>C; as duas A, C>B;

e as duas B, C>A (Pr. 20.1.). Deve-se formar um triângulo de três lados iguais

às três retas dadas A, B, C.

Tire-se de qualquer ponto D uma reta infinita DE, e ponha-se (Pr. 3.1.)

DF = A; FG = B; e GH = C. Com o centro F, e o intervalo FD descreva-se

(Post. 3.) o círculo DKL; e com o centro G, e o intervalo GB descreva-se o

círculo KLH. Tirem-se as retas KF, KG. Digo que o triângulo KFG é o que se

pede.

Sendo o ponto F o centro do círculo DKL, será FD = FK (Def, 15.). Mas é

FD = A. Logo será FK = A. E sendo Q ponto G o centro do círculo LKH, será GH

= GK. Mas é GH = C. Logo, será GK = C.Mas se tem tomado FG = B. Logo, as

três retas KF, FG, GK são iguais às três dadas, A, B, C, e o triângulo KFG é o

que se pedia.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

17

EUCLIDES

PROP. XXIII. PROB.

Em um ponto de uma linha reta dada formar 1tm ângulo

retilíneo igual a outro ângulo retilineo dado (Fig. 43.).

Seja dada a reta AB, e nela o ponto A; e seja dado o ângulo retilíneo

DCE. Deve-se formar no ponto A, e com a reta dada AB um ângulo retilíneo

igual ao ângulo proposto DCE.

Tomados os pontos D, E, como se quiser, nos lados do ângulo DCE, tire-

se a reta DE; e com três lados, que sejam iguais às três retas CD, DE, EC,

faça-se (Pr. 22.1.) o triângulo AFG, e seja CD = AF, CE = AG, e DE = FG.

Digo, que o ângulo F AG será igual ao proposto DCE. Porque as duas DC, CE

são iguais às duas F A, AG, cada uma a cada uma, e a base DE = FG outra

base; será o ângulo DOE = F AG (Pr. 8.1. ). Logo, com a reta dada AB, e no

ponto A temos feito o ângulo retilíneo FAG igual ao ângulo retilíneo dado DCE.

PROP. XXIV. TEOR.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada

um a cada um, e um dos ângulos compreendidos pelos lados

iguais fôr maior, e o outro menor, a base, que estiver oposta ao

ângulo maior, será maior que a outra base oposta ao âng1tlo

menor (Fig. 44.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, que tenham os lados AB, AC iguais

aos lados DE, DF, cada um a cada um, isto é, o lado AB = DE, e AC = DF; e

seja o ângulo BAC>EDF. Digo que será também a base BC>EF, que é a outra

base.

Seja DE não maior que, DF. Com a reta DE e no ponto D faça-se (Pr.

23.1.) o ângulo EDG = BAC; e posta DG = DE (Pr. 3.1.), tirem-se as retas EG,

GF. Sendo AB = DE, e AC = DG, serão as duas BA, AC, iguais às duas ED, DG,

cada uma a cada uma. Mas é o ângulo BAC = EDG. Logo, será a base BC = EG

outra base (Pr. 4.1.). E sendo DG = DF, será o ângulo DFG = DGF (Pr. 5.1.).

Mas é o ângulo DGE>DGF. Logo será o ângulo DEG>EGF. Logo, o ângu]o EFG

é muito maior que o ângulo EGF. E porque ,no triângulo EFG é o ângulo

EFG>EGF; e ao ângulo maior fica oposto o lado também maior (Pr. 19.1), será

o lado EG>EF. Mas é EG = BC. Logo será BC>EF.

PROP. XXV. TEOR.

Se em dois triângulos forem dois lados de um iguais a dois

lados do outro, cada um a cada um, e fôr a base de um triângulo

maior que a base do outro; aquêle dos ângulos compreendidos

pelos lados iguais, que ficar oposto à base maior, será maior que

o outro oposto à base menor (Fig. 45.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, que tenham. os l/1dOfj AB, AC iguais

aos lados DE, DF, cada uma a cada um, iHLn é, AB = DE, e AC = DF, e seja a

base BC>EF. Digo fll'" será o ângulo BAC>EDF.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

18

EUCLIDES

Se não é BAC>EDF, será ou igual, ou, menor. Mas não podo ser 13AC =

EDF, porque seria BC = EF (Pr. 4.1.) contra o que temos suposto. Logo não é

BAC = EDF. Mas nem pode ser BAC<EDF, porque seria BO<EF (Pr. 24.1.)

contra a hipótese. Logo não é BAC<EDF; e por conseqüência deve ser

BAC>EDF.

PROP. XXVI. TEOR.

Se em dois triângulos dois ângulos de um forem iguais a

dois ângulos do outro, cada um a cada um, e um lado do

primeiro igual a um lado do outro, e forem êstes lados ou

adjacentes, ou opostos a ângulos iguais, os outros lados dos

dois triângulos serão iguais aos outros lados cada um a cada

um; e também o terceiro ângulo será igual ao terceiro (Fig. 46.).

Sejam os dois triângulos ABO, DEF, que tenham os ângulos ABO, BOA

iguais aos ângulos DEF, EFD, cada um a cada um, isto é, ABO = DEF, e BCA =

EFD; e tenham um lado igual a um lado, e sejam êstes lados em primeiro,

lugar adjacentes a ângulos iguais, isto é, BC = EF. Digo que os outros lados

são iguais aos outros lados, cada um a cada um, isto é, AB = DE, e AC = DF; e

o ângulo BAC = EDF outro ângulo.

Se AB, DE não são retas iguais, uma delas sera maior. Seja AB maior.

Ponha-se BG = DE, e tire-se a reta GC. Sendo BG =DE, e BC = EF, as duas

GB, BC serão iguais às duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo

GBO = DEF. Logo será a base GO = DF outra base (Pr. 4.1.); e o triângulo

GBC = DEF outro triângulo; e os outros ângulos opostos a lados iguais serão

respectivamente iguais entre si. Logo será o ângulo GCB = DFE. Mas temos

posto DFE = BCA. Logo será o ângulo BCG = BCA, isto é, um ângulo menor

igual a um maior, o que não pode ser, e por consequência AB, DE não são

desiguais. Logo são iguais. Mas é BC = EF. Logo as duas AB, BC são iguais às

duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é também o ângulo ABC = DEF.

Logo, será a base AC = DF, que é a outra base, e o ângulo BAC = EDF (Pr.

4.1.).

Sejam agora iguais os lados (Fig. 47.), que ficam opostos a ângulos

iguais, isto é, seja AB = DE. Digo outra vez que os outros lados são iguais aos

outros lados, isto é, AO= DF, e BO = EF; e também que é o ângulo BAC =

EDF.

Se as retas BO, EF não são iguais, uma delas será maior que a outra.

Seja BC, se é possível, a maior; e posta BH = EP, tire-se a reta AH. Sendo BH

= EF, e AB = DE, as duas AB, BH serão iguais às duas DE, EF, cada uma a

cada uma. Mas os ângulos feitos por estas retas são iguais. Logo, a base AH

será igual à base DF; e o triângulo ABH igual ao triângulo DEF; e os outros

ângulos iguais aos outros ângulos, segundo ficam opostos a lados iguais. Logo,

será o ângulo BHA. = EFD. Mas pela hipótese é EFD = BCA. Logo será BHA =

BCA; isto é, o ângulo externo BHA do triângulo AHC será igual ao interno e

oposto BCA, o que não pode ser (Pr. 16.1.). Logo, as retas BC, EF não são

desiguais. Logo, são iguais. Mas é AB = DE. Logo, as duas AB, BC são iguais

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

19

EUCLIDES

às duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas os ângulos feitos por elas são

iguais. Logo, é a base AC = DF outra base, e o ângulo BAC = EDF.

PROP. XXVII. TEOR.

Se uma reta, cortando outras duas retas, fizer com elas os

ângulos alternos iguais, as mesmas duas retas serão paralelas

(Fig. 48.).

A reta EF corte as outras duas AB, CD e faça com elas os ângulos alternos

AEF, EFD iguais. Digo, que AB, CD são duas paralelas.

Se AB, CD não são paralelas, produzidas hão de concorrer ou para as

partes B, D, ou para as partes A, C. Produzam-se, e concorram para as partes

B, D no ponto G. Logo, no triângulo GEF, deve ser o ângulo externo AEF>EFG,

flue é o interno e oposto (Pr. 16.1.). Mas, pela hipótese, era AEF = EFG, o que

já não pode ser. Logo, as duas retas AB, CD produzidas para as partes B, D

não concorrem. Do mesmo modo se demonstrará, que nem podem concorrer

para ns partes A, C. Mas as linhas retas, que produzidas nunca concorrem nem

para uma, nem para outra parte, são paralelas (Def. 35.). Logo, as duas retas

AB, CD são paralelas.

PROP. XXVIII. TEOR.

Se uma reta cortar outras duas, e fizer o ângulo externo

igual ao interno e oposto da mesma parte; ou também os dois

internos da mesma parte iguais a dois retos, as mesmas retas

serão paralelas (Fig. 49.).

A reta EF corte as duas AB, CD, e faça o ângulo externo EGB = GRD, que

é o interno e oposto da mesma parte; ou faça os dois internos da mesma

parte BGR, GRD iguais a dois retos. Digo que as retas AB, CD são paralelas.

Sendo o ângulo EGB = GHD, e EGB = AGH (Pr.15.1.), será AGH = GHD.

Mas são alternos. Logo AB será paralela a CD (Pr. 27.1.). E porque os ângulos

BGH, GHD são iguais a dois retos, pela hipótese e também os ângulos AGH,

BGH são iguais a dois retos (Pr. 13.1.), os dois AGH, BGH serão iguais aos dois

BGH, GHD. Logo, tirando o ângulo comum BGH, ficará AGH = GHD. Mas são

alternos. Logo, as duas retas AB, CD são paralelas.

PROP. XXIX. TEOR.

Uma linha reta, que corta duas retas paralelas, faz os ângulos

alternos iguais entre si o ângulo externo igual ao interno e

oposto da mesma parte, e finalmente os internos da mesma

parte iguais a dois retos (Fig. 49.).

A linha reta EF corte as duas AB, CD, paralelas. Digo que fará com elas os

ângulos alternos AGH, GHD iguais; e que o angulo externo EGB será igual ao

interno e oposto da mesma parte GHD e que os internos e da mesma parte

BGH, GHD serão iguais a dois retos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

20

EUCLIDES

Se não fôr o ângulo AGH = GHD, um será maior que o outro. Seja AGH o

maior. Sendo AGH>GHD, se ajuntarmos a uma é outra parte o mesmo ângulo

BGR, os ângulos AGH, BGH serão maiores que os ângulos BGH e GHD.Mas os

ângulos AGH, BGH são iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os ângulos BGH,

GHD são menores que dois retos. Mas as retas, que com outra fazem os

ângulos internos da mesma parte menores que dois retos, produzidas ao

infinito finalmente concorrem (Ax. 12.). Logo, as retas AB, CD, produzidas ao

infinito, concorrem entre si. Mas isto não pode suceder, porque são paralelas.

Logo, os ângulos AGH, GHD não são desiguais, e por conseqüência será AGH =

GHD. Mas é também AGH = EGB (Pr. 15.1.). Logo, será EGB = GHD. Ajunte-

se-lhes o mesmo ângulo BGR j serão os ângulos EGB, BGH iguais aos ângulos

BGI:I, GHD. Mas EGB, BGR são iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, também

os ângulos BGH, GHD são iguais a dois retos (Vej. as noto a esta Prop.).

PROP. XXX. TEOR.

As linhas retas, que são paralelas a uma mesma linha reta,

são paralelas entre si (Fig. 50.).

Sejam as retas AB, CD paralelas à mesma reta EF. Digo que as retas AB,

CD são paralelas entre si.

A reta GHK corte as três retas AB, EF, CD nos pontos G, H, K. Porque a

reta GK corta as duas paralelas AB, EF em G, e H, será o ângulo AGH = GHF

(Pr. 29.1.). E porque a mesma reta GK corta as paralelas EF, CD em H, e K,

será também o ângulo GHF = GKD. Mas temos visto ser AGK = GHF. Logo,

será AGK =GKD. Mas são os ângulos alternos. Logo, as retas AB, CD são entre

si paralelas (Pr. 27 . 1. ).

PROP. XXXI. PROB.

De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra

linha reta dada (Fig. 51.).

Seja o ponto A, e a reta BC. Deve-se do ponto A conduzir uma linha reta,

que seja paralela à reta BC.

Tome-se na reta BC um qualquer ponto D, do qual se tire a reta DA para

o ponto A. Com a reta DA se faça no ponto A o ângulo DAE = ADC (Pr. 23.1.);

e se produza EA para F. Digo que estará feito o que se pede.

Porque a reta AD cortando as duas BC, EF, faz os ângulos alternos EAD,

ADC iguais entre si, será EF paralela a BC (Pr. 27.1.). Logo do ponto dado A

temos conduzido a reta EAF paralela à reta dada BC.

PROP. XXXII. TEOR.

Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo

externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos

internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos (Fig.

52.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

21

EUCLIDES

Seja o triângulo ABC, e um lado dêle BC seja produzido para D. Digo que

o ângulo externo ACD é igual aos dois internos e opostos CAB, ABC; e que os

três ângulos intern08 ABC, BCA, CAB do mesmo triângulo ABO são iguais a

dois retos.

Pelo ponto C tire-se a reta CE paralela a AB (Pr. 31.1.). Sendo AB, CE

paralelas, e cortadas pela reta AC, os ângulos alternos BAC, A,CE serão iguais

(Pr. 29.1.). E as mesmas paralelas AB, CE, sendo cortadas pela reta BD, o

ângulo externa ECD será igual ao interno e oposto ABC (Pr. 29.1.). Mas temos

demonstrado ser ACE = BAC. Logo, o ângulo externo e total ACD é igual aos

dois internos e opostos CAB, ABC. Ajunte-se-lhes o mesmo ACB; e os dois

ACD, ACB serão iguais aos três CBA, BAC, ACB. Mas os dois ACD, AGB são

iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os três CBA, BAC, ACB serão também

iguais a dois retos.

COROL. 1. Todos os ângulos internos de qualquer figura retilínea,

juntamente com quatro retos, são iguais a duas vêzes tantos retos, quantos

são os lados da figura (Fig. 53.).

Uma figura retilínea qualquer ABCDE pode-se dividir em tantos triângulos,

quantos são os lados da mesma figura, tomando, como se quiser, dentro da

figura um ponto F, e tirando dêste ponto para todos os ângulos da figura

outras tantas retas, como FA, FB, FC, FD, FE. Mas pela precedente proposição,

todos os ângulos dêstes triângulos tomados juntamente são iguais a duas

vêzes tantos retos, quantos são os mesmos triângulos, isto é, quantos são os

lados da figura; e ao mesmo tempo os ditos ângulos são iguais aos ângulos da

figura juntamente com os outros ao redor do ponto F, que é o vértice comum

de todos os triângulos, isto é, juntamente com quatro retos (Cor. 2. Pr. 15.1.).

Logo, todos os ângulos da figura, e mais quatro retos, são iguais a duas vêzes

tantos retos, quantos são os lados da mesma figura.

COROL, 2. Todos os ângulos externos de 1trlUl figura qualq1ter tomados

juntamente são iguais a quatro retos (Fig. 54.).

O ângulo interno ABC, juntamente com o externo adjacente ABD, é igual

a dois retos (Pr. 13.1.). Logo; todos os internos juntamente com todos os

externos são iguais a duas vêzes tantos retos, quantos são os lados da figura;

isto é, pelo corolário precedente, são iguais a todos os ângulos internos da

figura, juntamente com quatro retos. Logo, tirados os ângulos internos, ficarão

os externos iguais a quatro retos.

PROP. XXXIII. TEOR.

As retas, que da mesma parte estão postas entre as

extremidades ele duas outras retas iguais e paralelas, são

também iguais é paralelas (Fig. 55.).

Sejam as duas retas AB, OD iguais e paralelas, e entre os 'extremos dela

A, C, B, D estejam postas as outras duas AO, BD. Digo que AO, BD são iguais

e paralelas.

Tire-se a reta BC. Porque AB, CD são paralelas, e são cortadas pela reta

BC, serão os ângulos alternos ABC, BCD iguais (Pr. 29.1.). E sendo AB = CD, e

BC comum; as duas AB, BC serão iguais às duas DC, CB. Mas temos o ângulo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

22

EUCLIDES

ABC = BCD. Logo,será a base AC = BD, que é a outra base (Pr. 4.1.); e o

triângulo ABC igual ao triângulo BCD, e os mais ângulos iguais aos mais

ângulos (Pr. 4.1.), cada um a cada um, segundo ficam opostos a lados iguais.

Logo, deve ser o ângulo ACB = CBD. Logo, a reta BC, fazendo com as duas

AC, BD os ângulos alternos ACB, CBD iguais, as duas retas AC, BD serão

paralelas (Pr. 27.1.). E já temos demonstrado que são também iguais.

PROP. XXXIV. TEOR.

Os lados e os ângulos opostos dos espaços formados com

linhas paralelas, ou paralelogramos, são iguais; e todo o espaço

paralelogramo, fica dividido pela diagonal em duas partes iguais

(Fig. 55.).

Seja o espaço paralelogramo ABDC, cuja diagonal é BC. Digo que os

lados' e, os ângulos opostos do paralelogramo ABDC são iguais; e que a

diagonal BC divide o mesmo parele~ogramo ARDC em duas partes iguais.

Sendo AB, CD paralelas e cortadas pela reta BC, os ângulos alternos ABC,

BCD serão iguais (Pr. 29.1.). Também por serem paralelas as duas AC, BD, e

cortadas pela mesma reta BC, devem ser iguais entre si os ângulos alternos

A.CR, CBD. Logo, Os dois triângulos ABC, CBD têm dois ângulos, ABC, BCA

iguais a dois ângulos BCD, CBD, cada um a cada um, e um lado igual a um

lado, que vem a ser o lado comum BC oposto aos ângulos iguais CAB, CDB.

Logo, os outros lados serão iguais aos outros lados, cada um a cada um, e o

ângulo, que resta, igual ao outro ângulo, que resta (Pr. 26.1. ). Logo, será AB

= CD, AC = BD, e o ângulo BAC = BDC. E sendo ABC = BCD, e CBD = ACB;

será o ângulo total ABD = ACD também total. Mas temos demonstrado ser o

ângulo BAC = BDC. Logo, os lados e os ângulos opostos do paralelogramo

ARDC são iguais. Deve-se agora demonstrar, que o paralelogramo ABDC fica

dividido em duas partes iguais pela diagonal BC. Sendo AB = CD, e BC

comum, serão as duas AB, BC iguais às duas DC, CB, cada uma a cada uma.

Mas temos o ângulo ABC = BCD.Logo, será o triângulo ABC = BCD outro

triângulo (Pr. 4.1.). Logo, a diagonal BC divide em duas partes iguais o

paralelogramo ABDC.

PROP. XXXV. TEOR.

Os paralelogramos, que estão postos sôbre a mesma base,

e entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 56.57.).

Sejam os paralelogramos ABCD, EBCF sôbre a mesma base BC (Fig. 57.),

entre as mesmas paralelas AF, BC. Digo que o paralelogramo ABCD é igual ao

paralelogramo EBCF.

Se os lados AD, DF (Fig. 56.) dos paralelogramos ABCD, DBCF oposto à

base comum BC tiverem um têrmo comum D; claro está que, sendo os

paralelogramos ABCD, DBCF cada um o dôbro do mesmo triângulo BDC (Pr.

34.1.), serão iguais entre si.

Mas os lados AD, EF (Fig. 57.) não sejam terminados no mesmo ponto.

No paralelogramo ABCD é AD = BC (Pr. 34.1. ), e no paralelogramo EBCF é EF

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

23

EUCLIDES

= BC. Logo, será AD = EF (Ax. 1.). Ajunte-se a mesma reta DE, ou tire-se.

Será AE = DF, isto é, o todo igual ao todo, ou o resto igual ao resto (Ax. 2.3.).

Mas é -AB = DC. Logo, as duas EA, AR são iguais às duas FD, DC, cada uma a

cada uma. Mas o ângulo externo FDC é igual (Pr. 29. 2.) ao interno EAB. Será

o triângulo EAB = FDC outro triângulo (Pr. 4.1.). Do trapézio ABCF tire-se o

triângulo FDC; e do mesmo trapézio ABCF tire-se o triângulo EAB. Logo, os

paralelogramos ABCD, EBCE, que são os restos, serão iguais (Ax. 3.) entre si.

PROP. XXXVI. TEOR.

Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e

entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 58.).

Os paralelogramos ABCD, EFGH estejam postos sôbre as bases iguais BC,

FG, e entre as mesmas paralelas AH, BG. Digo que êstes paralelogramos são

iguais.

Tirem-se as retas BE, CH. Sendo BC = FG, e FG =EH (Pr. 34.1.) será BC

= EH. Mas BC, EH são paralelas; e entre os têrmos delas B, E, C, H, estão

tiradas as retas BE, CH; e as retas, que estão tiradas entre os extremos de

duas outras iguais e paralelas, e da mesma parte, são também iguais e

paralelas (Pr. 33.1). Logo, EB, CH são iguais e paralelas. Logo, EBCH é um

paralelogramo, igual ao paralelogramo ABCD (Pr. 35.1. ); por ter a mesma

base BC, e por estar entre as mesmas paralelas BC, AD. Pela mesma razão

será paralelogramo EFGH = EBCH, outro paralelogramo. Logo, os

paralelogramos ABCD, EFGH serão iguais entre si.

PROP. XXXVII. TEOR.

Os triângulos, que estão postos sôbre a mesma base, e

entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 59.).

Os triângulos ABC, DBC, estejam postos sôbre a mesma base BC, e entre

as mesmas paralelas AD, BC. Digo que os triângulos ABC, DBC são iguais.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se

BE paralela a CA, e pelo ponto C tire-se CF paralela a BD (Pr. 31.1.). Logo,

EBCA, DBCF serão dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são iguais

(Pr. 35. 1.), por estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas

paralelas BC, EF; e o triângulo ABC é a metade (Pr. 34.1.) do paralelogramo

EBCA, que fica dividido em duas partes iguais pela diagonal AB, como também

o triângulo DBC é a metade do paralelogramo DBCF, que é dividido em duas

partes iguais pela diagonal DC. Logo, será o triângulo ABC = DBC, outro

triângulo, porque as metades de quantidades iguais são também iguais (Ax.

7.).

PROP. XXXVIII. TEOR.

Os triângulos, que estão sôbre bases iguais, e entre as

mesmas paralelas, são iguais (Fig. 60.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

24

EUCLIDES

Sejam os triângulos ABC, DEF, postos sôbre as bases iguais BC. EF e

entre as mesmas paralelas BF, AD. Digo que os triângulos ABC, DEF são

iguais.

Produza-se de uma e outra parte a reta AD para G, e H; e pelo ponto B

tire-se a reta BG paralela a CA, e pelo ponto F a reta FH paralela a ED (Pr.

31.1.). Serão GBCA, DEFH dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são

iguais (Pr. 36.1.), porque estão sôbre as bases iguais BC, EF, e entre as

mesmas paralelas BF, GH; e o triângulo ABC é a metade do paralelogramo

GBCA, como também o triângulo DEF é a metade do paralelogramo DEFH (Pr.

34.1.). Logo, será o triângulo ABC = DEF outro triângulo, por serem iguais as

metades de quantidades iguais (Ax. 7.).

PROP. XXXIX. TEOR.

Os triângulos iguais postos sôbre a mesma base e da

mesma parte, estão entre as mesmas paralelas (Fig. 61.).

Sejam os triângulos ABC, DBC sôbre a mesma base BC, e da mesma

parte. Digo que os triângulos ABC, DBC estão entre as mesmas paralelas.

Tire-se a reta AD. Digo que AD é paralela a BC. Se AD não é paralela a

BC, pelo ponto A se faça passar outra reta AE paralela (Pr. 31.1.) a BC, e se

tire EC. Logo, os triângulos ABC, EBC são iguais (Pr. 37.1.), por estarem

ambos sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE. Mas é o

triângulo ABC = DBC outro triângulo. Logo, será DBC = EBC, isto é, um

triângulo maior igual a um menor, o que não pode ser. Logo, as retas AE, BC,

não são paralelas. O mesmo se demonstra de outra reta qualquer, que não

seja a. reta AD. Logo, AD é paralela a BC.

PROP. XL. TEOR.

Os triângulos iguais postos sôbre bases iguais e da mesma

parte, estão entre as mesmas paralelas , (Fig. 62.).

Sejam os triângulos iguais ABC, DEF sôbre as bases iguais BC, EF e da

mesma parte. Digo que êstes triângulos estão entre as mesmas paralelas.

Tire-se a reta AD. Digo que AD é paralela a BF. Se AD não é paralela a

BF, pelo ponto A tire-se AG paralela (Pr. 31.1.) a BF, e conduza-se a reta GF.

Os triângulos ABC, GEF são iguais (Pr. 38.1.), porque estão postos sôbre as

bases iguais BC, EF, e entre as mesmas paralelas BF, AG. Mas o triângulo ABC

é igual ao triângulo DEF, Logo, será também DEF = GEF, isto é, um triângulo

maior igual a um menor, o que não é possível. Logo, AG não é paralela a BF.

Do mesmo modo se prova que nenhuma outra reta, fora a reta AD, é paralela

a BF. Logo, as duas AD, BF são paralelas.

PROP. XLI. TEOR.

Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sôbre a

mesma base, e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo

será o dôbro do triângulo (Fig. 63.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

25

EUCLIDES

Estejam sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE, eo

paralelogramo ABCD, e o triângulo EBC. Gigo que o paralelogramo ABCD é o

dôbro do triângulo EBC.

Tire-se a reta AC. Logo os triângulos ABC, EBC são iguais (Pr. 37.1.), por

estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE. Mas o

paralelogramo ABCD é o dôbro do triângulo ABC (Pr. 34.1.), porque é dividido

em duas partes iguais pela diagonal AC. Logo, também o paralelogramo ABCD

será o dôbro do triângulo EBC.

PROP. XLII. PROB.

Construir um paralelogramo, que seja igual a um triângulo

dado, e que tenha um ângulo igual a outro ângulo dado (Fig.

61.).

Seja dado o triângulo ABC, e o ângulo retilíneo D. Deve-se construir um

paralelogramo igual ao triângulo ABC, e com um ângulo igual ao ângulo D.

Divida-se a base BC em duas partes iguais (Pr. 10.1.) no ponto E; tire-se

AE, e com a reta EC no ponto E se faça (Pr. 23.1.) o ângulo CEF = D. Pelo

ponto A conduza-se AG paralela (Pr. 31.1.) a EC, e pelo ponto C a reta CG

paralela a EF. Será FECG um paralelogramo. E sendo BE = EC, o triângulo ABE

será igual ao triângulo AEC (Pr. 38.1.), por estarem ambos sôbre as bases

iguais BE, EC, e entre as mesmas paralelas BC, AG. Logo, o triângulo ABC é o

dôbro do triângulo AEC. Mas também o paralelogramo FECG é o dôbro (Pr.

41.1.) do mesmo triângulo AEC, que se acha sôbre a mesma base, e entre as

mesmas paralelas do paralelogramo FECG. Logo, o paralelogramo FECG é (Ax.

6.) igual ao triângulo ABC, e tem o ângulo CEF = D, que é o ângulo dado.

Logo, temos construído o paralelogramo que se pedia.

PROP. XLIII. TEOR.

Em qualquer paralelogramo os complementos dos

paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais

entre si (Fig. 65.).

Seja o paralelogramo ABCD, cuja diagonal é AC, e existam ao redor da

diagonal AC os paralelogramos EH, FG; e os que se chamam complementos,

serão os dois paralelogramos BK, KD. Digo que o complemento BK é igual ao

complemento KD.

No paralelogramo ABCD os dois triângulos ABC, ADC, são iguais (Pr.

34.1.); como também os dois AEK, AHK no paralelogramo EKHA; e os outros

dois KGC, KFC no paralelogramo KGCF. Logo, sendo o triângulo AEK igual ao

triângulo AHK, e KGC = KFC, os dois AEK, KGC juntos serão iguais aos dois

também juntos AHK, KFC. Mas o triângulo total ABC é igual ao triângulo total

ADC (Pr. 34.1.). Logo, o resíduo, que é o complemento BK, será igual ao

resíduo, que é o outro complemento KD.

PROP. XLIV. PROB.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

26

EUCLIDES

Sôbre uma linha reta dada construir um paralelogramo

igual a um triângulo dado, e que tenha um ângulo igual a outro

ângulo retilíneo dado (Fig. 66.):

Seja dada a reta AB, o triângulo C, e o ângulo retilíneo D. Deve-se

construir sôbre a reta dada AB um paralelogramo igual ao triângulo C, e que

tenha um ângulo igual ao ângulo D.

Faça-se (Pr. 42.1.) o paralelogramo BEFG igual ao triângulo C, e com um

ângulo EBG igual ao triângulo D. Ponha-se BE em direitura com a reta AB, e

produza-se FG para H; e pelo ponto A se tire AH paralela (Pr. 31.1.) a BC, ou

EF; e finalmente seja conduzi da a reta HB. Porque as paralelas AH, EF são

cortadas pela reta HF, os ângulos AHF, HFE serão iguais a dois retos (Pr.

29.1.). Logo, os dojs ângulos BHF, HFE são menores que dois retos. Mas as

retas, que com uma terceira fazem os ângulos internos, e da mesma parte

menores que dois retos, produzidas ao infinito finalmente concorrem (Ax. 12.).

Logo, as duas retas HB, FE devem concorrer. Produza-se pois, e concorram no

ponto K. Por êste ponto tire-se a reta KL paralela a EA, e sejam produzidas as

retas HA, GB até L, e M. Logo, HLKF é um paralelogramo, cujo diâmetro é RH,

e ao redor deste diâmetro RK existem os paralelogramos AG, ME, cujos

complementos são os paralelogramos LB, BF. Logo, será LB = BF (Pr. 43.1.).

Mas o complemento BF é igual ao triãngulo C. Logo, o complemento LB será

igual ao mesmo ângulo C. E porque o ângulo GBE é igual ao ângulo ABM (Pr.

15,1.), e também é igual ao ângulo D, será o ângulo ABM = D. Logo, sôbre a

linha reta dada AB temos construído o paralelogramo LB igual ao triângulo

dado C, e com um ângulo ABM igual ao ângulo proposto D.

PROP. XLV. PROB.

Construir um paralelogramo igual a uma figura retilínea

qualquer dada, e com um ângulo igual a outro ângulo dado (Fig.

67.).

Seja dado o retilíneo ABCD, e o ângulo retilíneo E. Deve-se construir um

paralelogramo igual ao retilíneo ABCD, e com um ângulo igual ao ângulo E.

Tire-se a reta DB, e faça-se (Pr. 42.1.) o paralelogramo FH igual ao

triângulo ADB, e com o ângulo HKF = E. Sôbre a reta GH faça-se (Pr. 44.1.) o

paralelogramo GM igual ao, triângulo DBC com o ângulo GHM = E. Sendo o

ângulo E igual ao ângulo FKH, e também igual a GHM, será FKH = GHM.

Ajunte-se-lhes o mesmo ângulo KHG. Os ângulos FKH, KHG serão iguais aos

ângulos KHG, GHM. Mas FKH, KHG são iguais a dois retos (Pr. 29.1.). Logo, os

dois KHG, GHM serão também iguais a dois retos. Logo, KH estará em

direitura (Pr. 14.1.) com HM. E porque as paralelas KM, FG são cortadas pela

reta HG, os ângulos alternos MHG, HGF são iguais (Pr. 29.1.). Ajunte-se-lhes o

mesmo ângulo HGL. Logo, os ângulos MHG, HGL são iguais aos ângulos HGF,

HGL. Mas MHG, HGL são iguais a dois retos. Logo, também HGF, HGL serão

iguais a dois retos. Logo, a reta FG está em direitura com a reta GL. E sendo

KF paralela a HG, e HG paralela a ML, será KF paralela (Pr. 30.1.) a ML. Mas

KM, FL são também paralelas. Logo, KFLM é um paralelogramo. E porque o

ELEMENTOS DE GEOMETRIA

27

EUCLIDES

triângulo ABD é igual ao paralelogramo HF; e o triângulo DBC igual ao

paralelogramo GM, será o retilíneo total ABCD igual ao paralelogramo inteiro

KFLM. Logo, temos construído o paralelogramo KFLM igual ao retilíneo dado

ABCD, e com o ângulo FKM igual ao ângulo dado E.

COROL. É manifesto, pelo que temos dito, como se possa fazer sôbre

uma linha reta dada um paralelogramo igual a um retilíneo dado, e com um

ângulo igual a outro dado. Deve-se sôbre a reta dada formar um

paralelogramo igual (Pr. 44.1.) ao primeiro triângulo ABD, e que tenha um

ângulo igual ao ângulo dado; e ir continuando o resto, como temos explicado

acima.

PROP. XLVI. PROB.

Sôbre uma linha reta dada descrever um quadado (Fig.

68.).

Seja a reta dada AB. Sôbre AB deve-se construir um quadrado.

Levante-se do ponto A a reta AC perpendicular (Pr. 11.1.) sôbre AB; e

ponha-se (Pr. 3.1.) AD = AB. Pelo ponto D faça-se passar a reta DE paralela

(Pr. 31.1.) a AB; e pelo ponto B a reta BE paralela a AD. Será ADEB um

paralelogramo. Logo, será AB = DE (Pr. 34.1.), e AD = BE. Mas temos feito BA

= AD. Logo, as quatro retas BA, AD, DE, EB são iguais entre si, e por

conseqüência o paralelogramo ADEB é eqüilátero. Digo que é também

retângulo. Porque as paralelas AB, DE são cortadas pela reta AD, os ângulos

BAD, ADE serão iguais a dois retos (Pr. 29.1.), Mas BAD é reto. Logo, também

ADE será reto. Mas nos paralelogramos os ângulos opostos são iguais (Pr.

34.1.). Logo, os dois ABE, BED, que ficam opostos a ângulos retos, devem ser

também retos. Logo, ADEB será um retângulo.

Logo, sendo equilátero, como temos provado, sôbre a reta dada AB

temos descrito o quadrado AE, que se pedia.