Modelagem, simulação, e visualização imersiva de redes sem fio por Jon Eskil Bendz - Versão HTML

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1.5 Estrutura do Texto

8

Apêndice E Paralelizaç˜ao do Algoritmo de FDTD

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9

2

DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO

Vários métodos para a simulaç˜ao de redes sem fio foram discutidos na introduç˜ao. A

conclus˜ao foi que o método mais adequado para este projeto de pesquisa seria o método de

Diferenças Finitas no Dom´ınio do Tempo (FDTD). Uma das vantagens de se usar FDTD

é que ele incorpora diretamente as equaç˜oes de Maxwell, o que interessa muito a este

projeto, uma vez que uma de suas metas é a de desenvolver uma ferramenta muito precisa

para simulaç˜oes e visualizaç˜oes, baseada em princ´ıpios da f´ısica. O algoritmo de FDTD

original foi apresentado por Kane Yee em 1966 (YEE, 1966). Apesar de muitos artigos

terem sido escritos nesta área, a formulaç˜ao de FDTD original ainda é a mais amplamente

aplicada. Yee escolheu representar os campos eletromagnéticos em uma malha cartesiana

tridimensional, em que os valores de campos elétricos foram centrados entre valores de

campos magnéticos e vice-versa, como pode ser visto na Figura 2.1.

Figura 2.1: A célula de Yee original e as posiç˜oes dos vetores dos campos elétricos e

magnéticos. (YEE, 1966)

Desta maneira, as equaç˜oes de Maxwell foram representadas de um modo rigoroso e in-

tuitivo. A última afirmaç˜ao é facilmente confirmada quando se lembra que um campo

elétrico variando com o tempo cria um campo magnético em sua vizinhança, e simetrica-

mente para um campo magnético variando com o tempo. No artigo do Yee do ano 1966,

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2.1 As Equaç˜

oes de Maxwell em FDTD

10

foram indicadas duas restriç˜oes principais do algoritmo de FDTD. Primeiro, o passo de

tempo usado tem que ser abaixo de um certo limite, para se evitar instabilidade numé-

rica e a divergência n˜ao-f´ısica nos cálculos. Segundo, a discretizaç˜ao do espaço cont´ınuo

conduz a erros numéricos nos cálculos. Um dos objetivos desta tese é reduzir o rigor destas

restriç˜oes.

2.1

As Equaç˜

oes de Maxwell em FDTD

Por volta de 1860, o cientista escocês James Clerk Maxwell reuniu e completou um

conjunto de equaç˜oes elétricas e magnéticas em um modelo unificado para eletromagne-

tismo. Originalmente o modelo estava baseado em 20 equaç˜oes e 20 variáveis, mas mais

tarde foi simplificado em quatro equaç˜oes de vetores que s˜ao hoje conhecido como as

equaç˜oes de Maxwell. Elas s˜ao determinadas em forma diferencial nas eq.(2.1) - (2.4)

∇ · D = ρ

(2.1)

∇ · B = 0

(2.2)

B

× E = − ∂

(2.3)

t

D

× H = J + ∂

(2.4)

t

onde os s´ımbolos, definiç˜oes e as suas unidades s˜ao os seguintes:

E: campo elétrico (V/m)

D: corrente de deslocamento, ou densidade superficial de fluxo elétrico (C/m2)

H: campo magnético (A/m)

B: densidade superficial de fluxo magnético (Wb/m2)

ρ : densidade de cargas elétricas (C/m3)

J : densidade superficial de corrente elétrica (A/m2)

Para o algoritmo de FDTD, as equaç˜oes de Maxwell s˜ao reescritas para se obter um mel-

hor ajuste da representaç˜ao numérica em malha discreta (TAFLOVE; HAGNESS, 2005).

Neste caso, é considerado que a regi˜ao n˜ao tem nenhuma fonte elétrica ou magnética, mas

pode conter materiais que podem absorver a energia dos campos elétricos e magnéticos.

Esta formulaç˜ao de FDTD das equaç˜oes de Maxwell pode ser escrita como

∇ · D = 0

(2.5)

∇ · B = 0

(2.6)

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2.1 As Equaç˜

oes de Maxwell em FDTD

11

B

× E = − ∂ − M

(2.7)

t

D

× H = J + ∂

(2.8)

t

onde M é o equivalente para a J, ou seja, a densidade superficial de corrente magné-

tica (V/m2). O propósito de J e de M é representar ou fontes de energia, ou materiais

absorventes. Isto significa que J e M podem ser formuladas como

J = J f onte + σ E

(2.9)

M = M f onte + σ ∗ H

(2.10)

onde

σ: condutividade elétrica (S/m)

σ∗: equivalente perda magnética (Ω/m).

Em materiais lineares, isotrópicos e n˜ao dispersivos as relaç˜oes seguintes podem ser usadas:

D = ε E = ε ε

r 0 E

(2.11)

B = µ H = µ µ

r 0 H

(2.12)

onde

ε : permissividade (F/m)

ε r : permissividade relativa

ε0 : permissividade do espaço livre (8,854 · 10−12 F/m)

µ : permeabilidade (H/m)

µ r : permeabilidade relativa

µ0 : permeabilidade do espaço livre (4π · 10−7 H/m).

Inserindo-se as eq.(2.9) - (2.12) nas eq.(2.7) - (2.8), as equaç˜oes rotacionais de Maxwell,

podem ser reescritas de uma maneira que é conveniente para o algoritmo de FDTD

H

1 ∇

1

= −

× E

t

µ

µ M fonte + σ∗ H

(2.13)

E

1 ∇

1

=

× H

t

ε

ε J fonte + σ E .

(2.14)

O passo final é transformar a vers˜ao análoga das equaç˜oes rotacionais de Maxwell eq.(2.13)

- (2.14), para a malha cartesiana descrita por Yee, Figura 2.1. Por substituiç˜ao das

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2.2 A Dispers˜

ao Numérica do Algoritmo FDTD

12

coordenadas cont´ınuas, ( x, y, z, t), por uma representaç˜ao discreta, ( ix, jy, kz, nt), e usando-se diferenças finitas centradas para as derivadas com relaç˜ao ao tempo e espaço,

é obtida uma express˜ao com precis˜ao de segunda ordem . Seguindo-se este procedimento,

a contrapartida numérica da express˜ao anal´ıtica de campo elétrico Ex na eq.(2.14) pode

ser escrita como

n+1/2

n−1/2

Ex

E

i, j+1/2, k+1/2

x i, j+1/2, k+1/2

=

t

n

n

n

n

1

Hz

H

H

H

i, j+1, k+1/2

z i, j, k+1/2

y i, j+1/2, k+1

y i, j+1/2, k

ε

·

i, j+1/2, k+1/2

y

z

n

n

Jf onte

− σ

. (2.15)

x i, j+1/2, k+1/2

i, j+1/2, k+1/2 Ex i, j+1/2, k+1/2

Observe-se que todos os campos no lado direito s˜ao avaliados no tempo n. Porém, espera-

se que já estejam na memória do computador apenas os valores antigos do campo Ex do

tempo n − 1/2, n˜ao o valor de campo do passo n como é escrito no último termo. Para

resolver isto usa-se uma aproximaç˜ao linear dos valores de campo dos passos n + 1/2 e

n − 1/2, que s˜ao ent˜ao substitu´ıdos na eq.(2.15). Os campos elétricos resultantes no passo

de tempo igual a n + 1/2 s˜ao ent˜ao reunidos ao lado esquerdo e podem ser atualizados

usando os campos magnéticos e o valor de campo elétrico antigo no passo de tempo igual

a n −1/2. Um procedimento semelhante é ent˜ao feito para os restantes cinco componentes

de campos elétricos e magnéticos, e o resultado é usado como nova base para o algoritmo

numérico de FDTD original.

2.2

A Dispers˜

ao Numérica do Algoritmo FDTD

A maneira pela qual as equaç˜oes rotacionais de Maxwell s˜ao representadas pelo algo-

ritmo de FDTD, introduz dispers˜ao n˜ao-f´ısica nos campos eletromagnéticos simulados em

uma regi˜ao discretizada. A raz˜ao para isto é que os operadores de diferenças centrais s˜ao

apenas de segunda ordem de precis˜ao no dom´ınio de tempo e espaço. Um parâmetro útil

para descrever os erros numéricos é a velocidade de fase numérica, que pode ser expressado

na seguinte maneira:

vp = ω/˜ k

(2.16)

onde ˜ k = 2π/˜λ representa a vers˜ao numérica do número de onda e ω = 2π f . Como uma

conseqüência, a velocidade de fase numérica da onda simulada que está se propagando

poderia discordar da velocidade de luz, c, por uma quantia que depende da discretizaç˜ao

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2.2 A Dispers˜

ao Numérica do Algoritmo FDTD

13

no dom´ınio do tempo, do passo de tempo e a direç˜ao em que a onda está se propagando

na malha.

Inserindo uma express˜ao para uma onda viajando, plana e monocromática numa forma

compacta das equaç˜oes de Maxwell (TAFLOVE; HAGNESS, 2005), chega-se à express˜ao

eq.(2.17) que pode ser usada para prever os números de onda numéricos, ˜ kx, ˜ ky e ˜ kz, em uma ambiente tridimensional

2

1

ω∆ t

sin

=

ct

2

2

2

2

1

˜ k

˜

˜

xx

1

kyy

1

kzz

∆ sin

+

sin

+

sin

. (2.17)

x

2

y

2

z

2

No limite, quando ∆ x, ∆ y, ∆ z e ∆ t se aproximam de zero, a express˜ao da dispers˜ao numérica eq.(2.17) se aproxima daquela da relaç˜ao da dispers˜ao anal´ıtica eq.(2.18), para uma onda

que está se propagando num meio tridimensional, homogêneo e sem perdas

ω 2 = ( kx)2 + ( ky)2 + ( kz)2

(2.18)

c

onde kx, ky, kz s˜ao os valores anal´ıticos dos números de onda.

Como foi mencionado acima, (2.17) pode ser usado para prever o valor do número de onda

numérico sob várias circunstâncias de simulaç˜ao. Considere-se o caso especial com uma

malha uniforme, isto é, ∆ x = ∆ y = ∆ z ≡ ∆. Introduzindo-se as coordenadas esféricas desta

forma:

˜ kx = ˜ k sinθ cosφ

(2.19a)

˜ ky = ˜ k sinθ sinφ

(2.19b)

˜ kz = ˜ k cosθ

(2.19c)

onde φ está atuando no plano xy, sendo zero ao longo do eixo x, e θ é zero ao longo do

eixo z. Com isto, a eq.(2.17) pode ser reescrita como

1

π S

sin2

=

S 2

Nλ

˜ k sinθ cosφ∆

˜ k sinθ sinφ∆

˜ k cosθ∆

sin2

+ sin2

+ sin2

(2.20)

2

2

2

onde S = ct/∆ e Nλ representa a amostragem da malha, ou seja, o número de pontos por

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2.2 A Dispers˜

ao Numérica do Algoritmo FDTD

14

comprimento de onda λ .

A soluç˜ao de ˜ k na eq.(2.20) mostra a implicaç˜ao de que o número de onda numérico, ou

equivalentemente, a velocidade de fase numérica, é dependente da direç˜ao da propagaç˜ao

na malha, que leva à anisotropia da velocidade de fase. Isto é, diferentes velocidades de

fase numérica em direç˜oes diferentes. A anisotropia numérica máxima esperada pode ser

calculada como

max[ vp(φ , θ )] − min[ vp(φ , θ )]

˜

vaniso =

.

(2.21)

min[ vp(φ , θ )]

O método de Newton-Raphson é útil para se calcular ˜ k na eq.(2.20). O método é dado

pela formula:

˜

f kn)

kn+1 = ˜ kn +

.

(2.22)

f kn)

Um valor inicial adequado para começar a iteraç˜ao de Newton-Raphson é ˜ kn=0 = 2π/λ .

Isto gera um resultado com precis˜ao suficiente para o valor final do ˜ k em três iteraç˜oes. A

velocidade de fase normalizada, vp/ c, pode ent˜ao ser esboçada em funç˜ao de φ (azimute)

e θ (elevaç˜ao) para qualquer combinaç˜ao desejada de ∆ t e Nλ . Na Figura 2.2 o erro na

velocidade de fase normalizada, determinado por 1 − vp/ c, é desenhado para o caso em

que S = 0, 99/ 3 e Nλ = 20.

−3

x 10

3

2.5

2

/ c p

1.5

1 − v

1

0.5

0

100

100

80

80

60

60

40

40

20

20

0

0

elevação (°)

azimute (°)

Figura 2.2: Dispers˜ao numérica teórica para FDTD original. Nλ = 20.

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2.3 Estabilidade Numérica do Algoritmo FDTD

15

É observado na Figura 2.2 que erros máximos acontecem ao longo das direç˜oes cartesia-

nas da malha, e a magnitude destes erros é 2, 8 · 10−3. Podem ser vistos erros menores

ao longo da diagonal de qualquer plano ortogonal aos eixos principais da malha. Final-

mente, propagaç˜ao quase sem dispers˜ao é observada ao longo da diagonal da malha, nd =

(1, 1, 1), ou equivalente: (φ , θ ) = (45◦, 54, 7◦). Todas estas diferenças nas velocidades de

fase numérica resultar˜ao na anisotropia descrita anteriormente.

2.3

Estabilidade Numérica do Algoritmo FDTD

No modelo tradicional de FDTD o tamanho do incremento do passo de tempo, ∆ t,

é limitado pelo critério Courant-Friedrich-Levy (CFL), que é uma funç˜ao da freqüência

principal da fonte na simulaç˜ao. Se esta condiç˜ao n˜ao for obedecida, haverá instabili-

dade numérica grave. O resultado será valores de campos eletromagnéticos crescendo

rapidamente sem nenhuma raz˜ao f´ısica.

O ponto de partida para a derivaç˜ao dos critérios de estabilidade é mais uma vez uma onda

viajando, plana, monocromática e senoidal. A malha é discretizada na forma seguinte:

( xI, yJ, zK, tn). Permitindo o uso de uma freqüência angular numérica e complexa, ˜

ω =

˜

ω real + j ˜ω imag, deixa a possibilidade de formular um vetor de campo que pode ser escrito como (TAFLOVE; HAGNESS, 2005)

V | nI, J, K = V 0 ej[( ˜ω real+ j ˜ω imag) nt−˜ kxIx−˜ kyJy−˜ kzKz]

= V 0 e− ˜ω imagnte j[( ˜ω realnt−˜ kxIx−˜ kyJy−˜ kzKz]. (2.23) Dependendo do valor de ˜

ω imag na eq.(2.23), a amplitude variará com o tempo ( nt) e

no caso que ˜

ω imag < 0, há um crescimento exponential da amplitude. Contudo, este

crescimento n˜ao f´ısico pode ser omitido, e mostra-se que ˜

ω imag = 0 caso o passo de tempo

seja

1

t

(≡ ∆ tlimite est. 3 D).

(2.24)

1

1

1

c

+

+

(∆ x)2

(∆ y)2

(∆ z)2

No caso especial de uma malha espacial uniforme, ∆ x = ∆ y = ∆ z ≡ ∆, a express˜ao da

estabilidade acima se transforma em

1

1

t

=

=

√ .

(2.25)

1

1

1

3

c 3

c

+

+

c

(∆)2

(∆)2

(∆)2

∆2

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2.4 Demandas Computacionais do Algoritmo FDTD

16

Na área de FDTD é comum falar sobre o fator de estabilidade numérica ou o número de

Courant. Isto foi introduzido anteriormente em (2.20) sem esclarecimento adicional, mas

está agora definido como

ct

S ≡ ∆ .

(2.26)

Por conseguinte, o limite de estabilidade de Courant para o caso de uma malha cúbica

pode ser definido como

1

Slimite est. 3 D = Smax = √ .

(2.27)

3

Para se garantir a estabilidade das simulaç˜oes, é comum escolher o incremento do passo

de tempo por ser ligeiramente abaixo do limite teórico, por exemplo S = 0, 99 · Smax.

2.4

Demandas Computacionais do Algoritmo FDTD

A dispers˜ao numérica e o critério de estabilidade imp˜oem duas restriç˜oes no uso do

método de FDTD. Foi mostrado na Figura 2.2 que o uso de uma malha relativamente fina

é necessário a fim de se obter cálculos com erros pequenos e anisotropia razoável. Uma

conseqüência do uso de uma malha fina é que o passo de tempo máximo fica pequeno

de acordo com a eq.(2.24) e a duraç˜ao da execuç˜ao computacional é ent˜ao limitada pela

precis˜ao desejada na simulaç˜ao.

Uma meta deste projeto é criar visualizaç˜oes de ondas de rádio do tipo IEEE 802.11

(Wi-Fi) que est˜ao se propagando em um ambiente de realidade virtual na LSI chamada

CAVERNA Digital. A escolha de FDTD como o método numérico para os cálculos em

um volume muitas vezes maior do que o comprimento de onda eletromagnética leva às

demandas computacionais intensas dos computadores. Um exemplo breve ilustrará isto.

O volume para simular é a CAVERNA com sua dimens˜ao f´ısica de 3 m × 3 m × 3 m. Um

dos espectros de freqüência usado em IEEE 802.11 é centrado ao redor 2,4 GHz, que é

aproximadamente equivalente ao comprimento de onda λ = 0, 125 m. Para manter os erros

na simulaç˜ao em um n´ıvel razoável, opta-se pela seguinte discretizaç˜ao do volume: Nλ =

20, ou equivalentemente, 20 pontos da malha por comprimento de onda. O número total

de pontos de malha no dom´ınio é consequentemente: Np = [3, 0/(0, 125/20)]3 ≈ 1,1 · 108.

Para representar todos os valores de campo eletromagnéticos Ex, Ey, Ez, e Hx, Hy, Hz, como foi visto na Figura 2.1, seis matrizes s˜ao necessárias, cada uma de tamanho Np. Porém,

mais seis matrizes de tamanho Np s˜ao requeridas para representar todos os diferentes

parâmetros dos materiais. Isto pode facilmente ser reduzido a três matrizes assumindo

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2.5 FDTD de Alta Ordem

17

que nenhum material magnético está presente nas simulaç˜oes de ondas de rádio em celas

do tipo de micro ou em ambientes fechados. Esta suposiç˜ao posterior é equivalente a fixar

σ∗ = 0 e µ = µ0 na eq.(2.13). Com o uso de representaç˜ao de números nos cálculos do

tipo float (32 bits) a demanda total de memória de computador (RAM) se torna:

(6 + 3) × 1,1 · 108 × 32 ≈ 3,2 · 1010 bits ≈ 4 GB

Além disso, uma express˜ao geral para o tempo de execuç˜ao dos cálculos pode ser estimada

por considerar que a onda de rádio viajará uma distância pelo menos igual ao comprimento

da diagonal da CAVERNA, isto é, d =

3 × 32 = 5, 2 m. Usando uma malha uniforme, o

passo de tempo máximo é determinado pela eq.(2.25), ou mais precisamente: ∆ t ≈ 12 ps,

que significa que naquele passo de tempo a onda avançará ∆ l = ∆ t · c 0 ≈ 3,6 mm em

espaço livre. O número m´ınimo de iteraç˜oes necessárias para permitir que a onda viaje

diagonalmente pela CAVERNA Digital é ent˜ao

n = d/∆ l ≈ 1444.

A conclus˜ao deste exemplo é que o método de FDTD requer acesso tanto a quantidades

volumosas de memória de computador quanto a processadores rápidos para que se pos-

sam executar simulaç˜oes interessantes. Celas de tipo micro e ambientes fechados s˜ao

normalmente maiores do que o tamanho da CAVERNA Digital que era usada no exemplo

anterior. Assim o conhecimento do hardware dispon´ıvel e a possibilidade de prever as

demandas computacionais s˜ao essenciais na preparaç˜ao de uma simulaç˜ao.

2.5

FDTD de Alta Ordem

É poss´ıvel reduzir os erros numéricos substancialmente nos cálculos através do uso

de um esquema de diferenças finitas de quarta ordem para as derivadas de espaço nas

equaç˜oes de Maxwell. O custo de se obter erros menores é a necessidade de mais valores

dos campos nos cálculos ou mais exatamente, quatro valores dos campos localizados a

uma distância de ∆/2 a 3∆/2 a cada lado do ponto de observaç˜ao. O procedimento para

atualizar o campo magnético, Hz, pode ser visto na Figura 2.3, que mostra uma secç˜ao

horizontal da Figura 2.1. Ao longo da direç˜ao y, os quatro valores de Ex necessários para

calcular Hz têm sido cercados, e o equivalente vale para os valores Ey na direç˜ao x. Estes

valores dos campos extras diretamente contribuem para duplicar o número de cálculos.

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2.5 FDTD de Alta Ordem

18

❵❝

y

❄E

E

H

x

y

z

0

1

2

3

4

5

6

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