Modelos mistos para populações finitas com erros de medida endógenos e exógenos por German Moreno Arenas - Versão HTML

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Modelos mistos

para populaç˜

oes finitas

com erros de medida

endógenos e exógenos

Germán Moreno Arenas

Tese apresentada ao

Instituto de Matemática e Estat´ıstica

da Universidade de S˜

ao Paulo

para obtenç˜

ao do grau de

Doutor em Ciências

Área de Concentraç˜

ao: Estat´ıstica

Orientador: Prof. Dr. Julio da Motta Singer

Durante a elaboraç˜

ao deste trabalho o autor recebeu apoio financeiro do CNPq e da

Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colômbia

S˜ao Paulo, Setembro de 2009

Modelos mistos

para populaç˜

oes finitas

com erros de medida

endógenos e exógenos

Este exemplar corresponde à redaç˜

ao

final da tese devidamente corrigida

e defendida por Germán Moreno Arenas

e aprovada pela Comiss˜ao Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Julio da Motta Singer (orientador) - IME-USP.

• Prof. Dr. Heleno Bolfarine - IME-USP.

• Prof. Dr. Mario de Castro - ICMC-USP.

• Prof. Dr. Marcel de Toledo Vieira - UFJF.

• Prof. Dr. Cristiano Ferraz - UFP.

Dedico este trabalho às mulheres de minha vida e coraç˜

ao:

Mar´ıa Luzd´ım (minha m˜ae), Alba Luc´ıa (minha esposa),

Laura Catalina e Juliana Luc´ıa (minhas filhas).

Ao Carlos Augusto e Vladimir In Memoriam,

meus sobrinhos que foram embora muito cedo.

Resumo

Consideramos a prediç˜

ao ótima de valores latentes com base em dados sujeitos a er-

ros de medida endógenos e exógenos, obtidos a partir de uma amostra aleatória de uma

populaç˜

ao finita. Consideramos o modelo misto para populaç˜

oes finitas (MMPF) com

erros de medida exógenos e endógenos usando o enfoque proposto por Stanek III, Singer

& Lencina (2004) e Stanek III & Singer (2004), e calculamos o melhor preditor linear n˜ao

enviesado (BLUP) do valor latente da i-ésima unidade selecionada na amostra. Quando

as variâncias endógenas s˜ao heterocedásticas, o preditor obtido sob o MMPF é diferente

do preditor obtido sob o modelo misto usual, pois a constante de encolhimento depende da

média das variâncias individuais. Utilizamos simulaç˜

ao para comparar o preditor obtido

sob o modelo misto usual (utilizado conforme a interpretaç˜

ao usual) com o preditor obtido

sob o MMPF, mostrando que apesar do primeiro ser enviesado, ele geralmente apresenta

erro quadrático médio (EQM) menor (ou ligeiramente maior) do que aquele obtido sob

o MMPF. Adicionalmente, mostramos como utilizar dois pacotes de software estat´ıstico

(Proc MIXED do SAS e lme(nlme) do R), constru´ıdos sob o modelo misto usual, para ajus-

tar corretamente modelos em situaç˜

oes com erros exógenos e endógenos, heterocedásticos

ou homocedásticos.

Abstract

We consider optimal estimation and prediction of latent values based on data subject

to endogenous and exogenous measurement errors, obtained via simple random sample

from a finite population. We consider a finite population mixed model (FPMM) with

endogenous and exogenous measurement errors proposed by Stanek III et al. (2004) and

Stanek III & Singer (2004) and obtained the best linear unbiased predictor (BLUP) of the

latent value of the i-th unit selected in the sample. When the endogenous variances are

heteroscedastic, the predictor obtained under the FPMM is different than the predictor

obtained with the usual mixed model, because the shrinkage constant depends on the ave-

rage of the individual variances. We consider simulation studies to compare the predictor

obtained under the usual mixed model (used according to the usual interpretation) with

the predictor obtained under the FPMM, and show that the former is biased, but usually

presents smaller (or slightly larger) mean squared error (MSE) than the predictor obtained

under the FPMM. Additionally, we indicate how two commonly used statistical software

packages (SAS’s Proc MIXED and R’s lme(nlme) ) may be employed to fit mixed models

in situations with heteroscedastic or homoscedastic exogenous and endogenous errors.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer:

À fam´ılia Sobral Singer: Julio, Maria Lucia, Carolina e Alice, pela amizade e carinho

oferecido às minhas três mulheres do coraç˜

ao: Alba Luc´ıa, Laura Catalina e Juliana Luc´ıa.

Literalmente abriram as portas de sua casa e fizeram mais tranquila e agradável nossa

permanência em S˜ao Paulo.

Ao meu orientador, mestre e amigo Julio da Motta Singer, pela grande oportunidade

de ser seu orientando, pelo apoio, paciência, firmeza, tranquilidade e força transmitida

durante a elaboraç˜

ao deste trabalho e pelos domingos de bicicleta, apesar do frio.

À minha esposa Alba Luc´ıa, pela paciência, compreens˜

ao, ternura, experiências com-

partilhadas nesta grande cidade, pelo amor e apoio nos momentos mais dif´ıceis desta etapa.

Alba Luc´ıa tu és a pessoa mais importante na minha vida.

Às irm˜as Luna Sanchez, por acreditar em mim e confiar seu patrimônio no sucesso de

minha comiss˜ao inicial de estudos de mestrado.

Aos professores do Departamento de Estat´ıstica do IME-USP, em especial aos pro-

fessores com os quais tive o prazer de manter um contato maior: Julio, Antônio Carlos,

Clélia Maria, Nelson, Heleno e Pedro.

Aos meus amigos Ricardo Monturiol e Luis Carlos O˜

nate, professores da Escuela de

Matemáticas da Universidad Industrial de Santander UIS, por acreditar em mim e confiar

seu patrimônio no sucesso de minha comiss˜ao de estudos de doutorado.

Ao meu amigo e novo irm˜ao Alexandre Patriota, pela ajuda nas disciplinas, pelas

discuss˜

oes sobre meu trabalho, pelo interesse em aprender comigo algo sobre populaç˜

oes

finitas, pela motivaç˜

ao e ajuda com minha tese. Certamente algumas partes deste trabalho

também s˜ao dele; ah e também pelos constantes “vamos no forrô”.

Ao meu amigo e irm˜ao negado Artur Lemonte, pelas sacanagens compartilhadas,

pela motivaç˜

ao nos momentos em que estava mais triste e desanimado; ele sempre usou

psicologia inversa, por exemplo, quando falava “por acaso tenho escrito help na minha

testa”, “já terminou seu trabalho de iniciaç˜

ao cientifica”e outras express˜oes que n˜ao podem

ser escritas neste documento.

Ao meu amigo Rafael Braz, pela ajuda nas disciplinas e porque precisei de paciência

quando falava que era “bonit˜ao”, sendo que é o patinho feio dos quatro de nossa turma.

A todos os meus amigos da Pós-Graduaç˜

ao, especialmente aqueles que se despren-

deram de seus computadores portáteis por uma semana para fazer o processo de simulaç˜

ao

deste trabalho, tenho um carinho especial por aqueles que compartilharam disciplinas

comigo, por suportar minhas piadas sem graça, pelos momentos de distraç˜

ao, pelos grandes

churrascos que compartilhamos juntos, pelas pizzas e cervejas às sextas-feiras. Sempre os

levarei no meu coraç˜

ao; minha casa na Colômbia é sua casa.

Talvez, eu possa servir como testemunho para muitos meninos de favela; sair do “Ba-

rrio la Transición” de Bucaramanga, Colômbia para a grande S˜ao Paulo, parecia im-

poss´ıvel, mas graças ao apoio financeiro dos sistemas educacionais colombiano e brasileiro

consegui concretizar este propósito de ser doutor. Por isso, dedico este trabalho a todos

os habitantes de favela. Crianças, vocês podem acreditar, podem chegar bem longe, ainda

que seja demorado.

Sumário

1

Introduç˜

ao

1

2

Modelos mistos

10

2.1

Modelo misto usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1

Notaç˜

ao e terminologia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2

BLUP e BLUE no modelo misto usual quando k = 1 . . . . . . . . . 11

2.1.3

BLUP e BLUE no modelo misto usual quando k = 1 . . . . . . . . . 13

2.2

Modelos mistos para populaç˜

oes finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1

Notaç˜

ao e terminologia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2

Modelos mistos para populaç˜

ao finita com erros de medida endóge-

nos e exógenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3

Cálculo do BLUP usando as variáveis ˜

Y . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4

Modelo misto expandido para populaç˜

ao finita com erros de medida

endógenos e exógenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.5

Cálculo do BLUP usando as variáveis expandidas Y . . . . . . . . . 24

2.2.6

Unicidade do BLUP de Yi = µ + Bi usando as variáveis aleatórias ˜

Y

29

2.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Comparaç˜

ao entre preditores obtidos sob os modelos mistos usual e para

populaç˜

oes finitas

35

3.1

Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2

Simulaç˜

ao para N = 3 e n = 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Simulaç˜

ao para outros valores de N e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

index-9_1.png

4

Aspectos computacionais

50

4.1

Modelos com erros de medida endógenos apenas

. . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2

Modelos com erros de medida exógenos apenas . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3

Modelos com presença simultânea de erros de medida endógenos e exógenos

homocedásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4

Modelos com presença simultânea de erros de medida endógenos e exógenos

heterocedásticos:

análise do exemplo Seasons Study . . . . . . . . . . . . . 64

4.5

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5

Conclus˜

oes

69

A Detalhes sob cálculo dos BLUP

71

A.1 Valor esperado e variância das variáveis aleatórias Y . . . . . . . . . . . . . 71

A.2 Valor esperado e variância das variáveis aleatórias ˜

Y . . . . . . . . . . . . . 73

A.3 Obtenç˜

ao do BLUP usando as variáveis Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.4 Obtenç˜

ao da variância de ˆ

P usando as variáveis ˜

Y

. . . . . . . . . . . . . . 76

B Dados do N´

ıvel de Colesterol

78

C Códigos R do Cap´

ıtulo 3

83

C.1 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

C.2 Resultados da Simulaç˜

ao para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

D Resultados da Simulaç˜

ao para outros valores de N e n

93

E Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao normal

98

F Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao uniforme

108

G Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao beta simétrica

118

H Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao beta assimétrica

128

ii

index-10_1.png

I

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao exponencial

138

J Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com

i

i

distribuiç˜

ao gama

148

K Códigos R do Cap´

ıtulo 4

158

Referências Bibliográficas

160

iii

Lista de Tabelas

1.1

Exemplo de dados do Seasons Study. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Valores latentes e variâncias do erro de medida endógeno. . . . . . . . . . .

5

1.3

Variâncias dos erros de medida exógenos induzidas por cada examinador

em cada trimestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Variâncias dos erros de medida exógenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1

Matrizes de definiç˜

ao dos parâmetros ou variáveis de interesse. . . . . . . . 25

3.1

N´ıvel de colesterol, variâncias endógenas, constantes de encolhimento e de

ponderaç˜

ao na populaç˜

ao (N = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2

Preditor obtido a partir dos modelos mistos usuais com variâncias hete-

rocedásticas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3

Preditor obtido a partir dos modelos mistos para populaç˜

oes finitas com

variâncias heterocedásticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4

Número de populaç˜

oes (num total de 1000) em que o preditor ˆ

Q(1) tem

i

menor erro quadrático médio que o preditor ˆ

Q(2). . . . . . . . . . . . . . . . 40

i

3.5

Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Normal para N = 3 e n = 2. . . . . . 43

3.6

Número de populaç˜

oes em que o preditor ˆ

Q(1) tem menor erro quadrático

i

médio que o preditor ˆ

Q(2) de um total de 500 populaç˜

oes simuladas com

i

valores latentes seguindo uma distribuiç˜

ao uniforme. . . . . . . . . . . . . . 46

3.7

Valor máximo do quociente EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] com valores latentes

i

i

seguindo uma distribuiç˜

ao uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1

Valores latentes e variâncias endógenas do n´ıvel de colesterol. . . . . . . . . 51

iv

index-12_1.png

B.1 Dados do n´ıvel de colesterol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.2 Continuaç˜ao: dados do n´ıvel de colesterol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

C.1 Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Uniforme para N = 3 e n = 2 . . . . 85

C.2 Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Beta simétrica para N = 3 e n = 2 . 91

C.3 Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Beta assimétrica para N = 3 e n = 2 91

C.4 Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Exponencial para N = 3 e n = 2 . . 91

C.5 Estat´ısticas descritivas para os quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros

i

i

de medida endógenos com distribuiç˜

ao Gama para N = 3 e n = 2 . . . . . . 92

D.1 Número de populaç˜

oes em que o preditor ˆ

Q(1) tem menor erro quadrático

i

médio que o preditor ˆ

Q(2) de um total de 500 populaç˜

oes simuladas com

i

valores latentes seguindo uma distribuiç˜

ao assimétrica à esquerda . . . . . . 94

D.2 Número de populaç˜

oes em que o preditor ˆ

Q(1) tem menor erro quadrático

i

médio que o preditor ˆ

Q(2) de um total de 500 populaç˜

oes simuladas com

i

valores latentes seguindo uma distribuiç˜

ao assimétrica à direita . . . . . . . 95

D.3 Valor máximo do quociente EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] com valores latentes

i

i

seguindo uma distribuiç˜

ao assimétrica à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . 96

D.4 Valor máximo do quociente EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] com valores latentes

i

i

seguindo uma distribuiç˜

ao assimétrica à direita . . . . . . . . . . . . . . . . 97

v

Lista de Figuras

1.1

Dados das mediç˜

oes de colesterol do indiv´ıduo número 13. . . . . . . . . . .

4

3.1

Boxplot para quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endóge-

i

i

nos para N = 3 e n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Uniforme para N = 3 e n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3

Boxplot para o viés da média populacional quando usamos o preditor ˆ

Q(1)

i

para N = 3 e n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B.1 Dados das mediç˜

oes de Colesterol dos indiv´ıduos 1, 2, 3 e 4. . . . . . . . . . 81

B.2 Dados das mediç˜

oes de Colesterol dos indiv´ıduos 5, 6, 7 e 8. . . . . . . . . . 81

B.3 Dados das mediç˜

oes de Colesterol dos indiv´ıduos 9, 10, 11 e 12. . . . . . . . 82

C.1 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Normal para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

C.2 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Beta simétrica para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

C.3 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Beta assimétrica para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.4 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Exponencial para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C.5 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao Gama para N = 3 e n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

vi

index-14_1.png

E.1 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

E.2 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

E.3 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

E.4 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

E.5 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao normal, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

E.6 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

E.7 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

E.8 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

E.9 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao normal, N = 300 e n = 100.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

F.1 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

F.2 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

F.3 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

F.4 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

F.5 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

F.6 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao uniforme, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

F.7 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

vii

index-15_1.png

F.8 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao uniforme, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

F.9 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao uniforme, N = 300 e n = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

G.1 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

G.2 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao beta simétrica, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

G.3 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

G.4 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

G.5 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

G.6 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

G.7 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

G.8 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

G.9 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta simétrica, N = 300 e n = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

H.1 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

H.2 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

H.3 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

H.4 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao beta assimétrica, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

viii

index-16_1.png

H.5 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

H.6 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

H.7 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao beta assimétrica, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

H.8 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao beta assimétrica, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

H.9 Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao beta assimétrica, N = 300 e n = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 137

I.1

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

I.2

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

I.3

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

I.4

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

I.5

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

I.6

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

I.7

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

I.8

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

I.9

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao exponencial, N = 300 e n = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

J.1

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 50 e n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

ix

J.2

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 50 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

J.3

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao gama, N = 50 e n = 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

J.4

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 100 e n = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

J.5

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 100 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

J.6

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜ao gama, N = 100 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

J.7

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 300 e n = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

J.8

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 300 e n = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

J.9

Quocientes EQM[ ˆ

Q(1)]/EMQ[ ˆ

Q(2)] sob erros de medida endógenos com dis-

i

i

tribuiç˜

ao gama, N = 300 e n = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Cap´ıtulo 1

Introduç˜

ao

Predizer o valor latente (valor esperado) de uma ou mais caracter´ısticas de unidades

amostrais em que s˜ao realizadas algumas mediç˜

oes é um dos objetivos da análise estat´ıstica.

Algumas vezes, essas mediç˜

oes s˜ao afetadas por diferentes fontes de variabilidade, gerando

erros de medida [Cochran (1977)], também chamados de erros de observaç˜

ao por Sukhatme

(1984). Erros de medida podem ser provenientes de duas fontes. A primeira está associada

à variabilidade natural da resposta em torno de um valor fixo (valor latente), chamada de

variabilidade inerente por Buonaccorsi (2006), ou erro de resposta por Särndal, Swensson

& Wretman (1992). A segunda está associada às condiç˜

oes de mediç˜

ao; e corresponde à

variabilidade das medidas em torno do valor latente, gerada, por exemplo, pelos instru-

mentos de mediç˜

ao ou pela intervenç˜

ao de examinadores. Para diferenciar claramente os

dois tipos de erros de medida, chamaremos o primeiro de erro de medida endógeno e o

segundo de erro de medida exógeno.

Erros de medida endógenos podem acontecer mesmo que a mediç˜

ao seja feita com

absoluta precis˜ao (erro de medida exógeno nulo). A despesa familiar mensal com alimentos,

por exemplo, pode variar de mês a mês em torno de um valor latente, mas pode ser medida

sem erro em cada mês. A mediç˜

ao da altura de um indiv´ıduo num determinado instante por

diferentes observadores pode servir como exemplo de uma situaç˜

ao onde existe apenas erro

de medida exógeno. Medidas do n´ıvel de colesterol, por outro lado, variam com o tempo e,

além disso, dependem da precis˜ao dos instrumentos e dos produtos qu´ımicos usados para

produzi-las e, portanto, podem estar sujeitas aos dois tipos de erros simultaneamente.

Existem diferentes estratégias para diminuir esses tipos de erros. Em exames médicos, por

1

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§ 1.0

Introduç˜

ao

exemplo, protocolos de mediç˜

ao s˜ao especificados para diminuir a variabilidade endógena

e, além disso, sempre se procura utilizar instrumentos mais precisos e produtos qu´ımicos

que produzem menores erros de medida exógenos. Nosso interesse é propor métodos

estat´ısticos adequados para analisar dados em que os dois tipos de erros est˜ao presentes.

Como exemplo, podemos considerar um subconjunto de indiv´ıduos da pesquisa Sea-

sons Study [Merriam, Ockene, Hebert, Rosal & Matthews (1999)], cujo principal objetivo

era avaliar padr˜oes sazonais dos n´ıveis de vários tipos de gorduras no corpo humano, como

o colesterol total; além disso, pretendia-se estabelecer qual é o impacto da dieta aliment´ıcia,

do peso, da exercitaç˜

ao e exposiç˜

ao à luz solar na variaç˜

ao do n´ıvel de gorduras. A resposta

(n´ıvel de colesterol para este trabalho) é obtida mediante uma análise de sangue, preferi-

velmente depois de 12 horas de jejum para poder reduzir o efeito imediato produzido pelos

alimentos. Nesse estudo, o n´ıvel de colesterol em cada indiv´ıduo foi medido pelo mesmo

examinador três vezes num per´ıodo curto de tempo (com no máximo duas semanas de

diferença). As três medidas foram repetidas quatro vezes em diferentes trimestres, sem

ter necessariamente o mesmo examinador do per´ıodo anterior. Reproduzimos uma parte

dos dados na Tabela 1.1. Nas Tabelas B.1 e B.2 do Apêndice B, apresentamos os dados

completos para N = 13 indiv´ıduos, que para efeito ilustrativo, representar˜ao a populaç˜

ao

alvo neste trabalho.

Se denotamos o n´ıvel latente de colesterol para o indiv´ıduo s no dia d por ysd, a r-ésima

mediç˜

ao do n´ıvel de colesterol no sangue do indiv´ıduo s no dia d pode ser representada

por Ysdr = ysd + ǫsdr. Se assumimos que ǫsdr é uma variável aleatória com valor esperado

igual a zero e variância σ2 , correspondente à soma da variabilidade natural do colesterol

sd

com a variabilidade do erro de medida induzido pela condiç˜

ao de mediç˜

ao (examinador,

por exemplo), temos que ysd é o valor esperado do n´ıvel de colesterol no dia d para o

indiv´ıduo s.

O n´ıvel latente de colesterol para o indiv´ıduo s, denotado por ys, é o valor esperado

num determinado per´ıodo de tempo fixo,1 s = 1, . . . , N . A média populacional dos n´ıveis

latentes de colesterol individuais é µ = N −1

N

s=1 ys e sua variância populacional é γ2 =

(N − 1)−1

N

s=1 (ys − µ)2.

Suponhamos que a variabilidade das três medidas de cada trimestre seja devida ao

erro de medida (exógeno) introduzido pelo examinador. Se o indiv´ıduo s foi medido no

1Podemos definir diferentes per´ıodos de tempo, por exemplo, 365 dias, 12 meses ou 4 trimestres. Por

simplicidade, supomos aqui que o valor latente é o valor esperado do n´ıvel de colesterol durante 4 trimestres.

2

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§ 1.0

Introduç˜

ao

Tabela 1.1: Exemplo de dados do Seasons Study.

Nome

Data

Examinador

Colesterol

Trimestre

1

13/05/1996

CS

180,6

1

1

15/05/1996

CS

206,9

1

1

17/05/1996

CS

234,8

1

1

12/08/1996

CS

171,3

2

1

16/08/1996

CS

174,3

2

1

20/08/1996

CS

185,7

2

1

09/11/1996

SU

288,0

3

1

13/11/1996

SU

342,9

3

1

17/11/1996

SU

278,4

3

1

13/02/1997

SU

276,2

4

1

21/02/1997

SU

305,3

4

1

23/02/1997

SU

260,5

4

..

.

.

.

.

.

..

..

..

..

13

01/03/1996

SU

166,1

1

13

04/03/1996

SU

118,1

1

13

09/03/1996

SU

142,0

1

13

20/05/1996

KL

110,9

2

13

21/05/1996

KL

115,7

2

13

24/05/1996

KL

99,2

2

13

26/08/1996

KL

182,0

3

13

28/08/1996

KL

104,5

3

13

29/08/1996

KL

118,5

3

13

22/11/1996

SU

107,1

4

13

24/11/1996

SU

192,9

4

13

27/11/1996

SU

89,1

4

trimestre q pelo i-ésimo examinador, representamos a resposta observada por ysq + ˜

Wi,

em que ysq é o n´ıvel médio de colesterol para o indiv´ıduo s no trimestre q e ˜

Wi representa

o erro de medida exógeno, com valor esperado igual a zero e variância ˜

σ2. Para nosso

i

3

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§ 1.0

Introduç˜

ao

exemplo podemos escrever a resposta correspondente como

Ysqi = ysq + ˜

Wi = ys + Wsq + ˜

Wi = µ + βs + Wsq + ˜

Wi,

(1.1)

em que βs = ys − µ e Wsq representa o erro de medida endógeno, que assumimos ter valor

esperado igual a zero e variância σ2s.

Na Figura 1.1 apresentamos os dados do indiv´ıduo 13; ele foi medido nos trimestres 1

e 4 pelo examinador SU e nos trimestres 2 e 3 pelo examinador KL. Os dados est˜ao repre-

sentados por “◦”. O s´ımbolo “+” representa o n´ıvel latente de colesterol nesse trimestre.

Nas Figuras B.1, B.2 e B.3 do Apêndice B est˜ao representados os dados correspondentes

aos outros indiv´ıduos da populaç˜

ao alvo.2

400

300

200

Nível de Colesterol

+

+

+

+

100

0

SU

KL

KL

SU

Indivíduo número 13

Figura 1.1: Dados das mediç˜

oes de colesterol do indiv´ıduo número 13.

As medidas feitas nos quatro primeiros trimestres contêm a informaç˜

ao para obtermos

as variâncias γ2, σ2s, s = 1, . . . , 13 e ˜σ2, i = 1, 2, 3. Na Tabela 1.2 apresentamos os valores

i

latentes trimestrais, ysq, s = 1, . . . , 13, q = 1, 2, 3, 4 (sendo a média das três medidas em

cada trimestre) e as variâncias endógenas para cada indiv´ıduo, σ2s =

4

q=1 (ysq − ys)2/3.

2Para efeito de ilustraç˜ao, assumimos que os valores representados por “+” s˜ao os verdadeiros valores

latentes.

4

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§ 1.0

Introduç˜

ao

Tabela 1.2: Valores latentes e variâncias do erro de medida endógeno.

Indiv´ıduo

Trimestre 1

Trimestre 2

Trimestre 3

Trimestre 4

Variância

s

ys1

ys2

ys3

ys4

endógena σ2s

1

207,4

177,1

303,1

280,7

3545,1

2

301,6

235,9

230,6

284,8

1250,1

3

112,1

163,4

130,3

212,2

1932,9

4

251,8

183,4

302,5

192,9

3083,2

5

253,1

189,2

168,7

197,8

1299,4

6

260,8

264,0

327,9

268,8

1013,8

7

282,7

319,7

206,8

264,5

2216,9

8

201,5

257,4

171,6

163,2

1815,2

9

212,5

280,2

374,2

346,5

5222,3

10

268,8

212,2

237,4

232,5

548,9

11

159,3

93,2

165,9

148,7

1099,4

12

189,4

228,2

244,1

199,4

639,1

13

142,1

108,6

135

129,7

207,8

Na Tabela 1.3 apresentamos as variâncias dos erros de medida exógenos (induzidos

pelo examinador) em cada trimestre. As médias dessas variâncias por examinador cor-

respondem às variâncias dos erros de medida exógenos e est˜ao apresentadas na Tabela

1.4.

Para efeitos de ilustraç˜

ao, tomamos esses valores como as verdadeiras variâncias γ2,

σ2s e ˜σ2. Nosso interesse está centrado nos seguintes problemas:

i

i) estimar o n´ıvel latente de colesterol para cada indiv´ıduo de uma amostra selecionada

aleatoriamente da populaç˜

ao sob investigaç˜

ao;

ii) estimar o n´ıvel latente de colesterol para os indiv´ıduos que n˜ao foram selecionados na

amostra;

iii) estimar outras combinaç˜

oes lineares dos n´ıveis latentes de colesterol como a média ou

total populacional.

Em geral, centros médicos (cl´ınicas, hospitais, laboratórios, etc.) oferecem somente

5

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§ 1.0

Introduç˜

ao

Tabela 1.3: Variâncias dos erros de medida exógenos induzidas por cada examinador em

cada trimestre.

Indiv´ıduo

Trimestre 1

Trimestre 2

Trimestre 3

Trimestre 4

1

734,6

57,7

1211,1

516,7

CS

CS

SU

SU

2

353,0

650,3

484,8

1220,7

CS

KL

KL

SU

3

3313,9

457,3

415,4

2151,7

KL

KL

SU

CS

4

992,6

3012,4

8527,0

2906,8

CS

CS

KL

CS

5

5185,2

1220,1

169,9

374,8

KL

KL