Otimização e fabricação de dispositivos piezelétricos com gradação funcional de material por Ricardo Cesare Roman Amigo - Versão HTML

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Ricardo Cesare Román Amigo

Otimizaç˜

ao e Fabricaç˜

ao de Dispositivos

Piezelétricos com Gradaç˜

ao Funcional de

Material

S˜ao Paulo

2013

Ricardo Cesare Román Amigo

Otimizaç˜

ao e Fabricaç˜

ao de Dispositivos

Piezelétricos com Gradaç˜

ao Funcional de

Material

Dissertaç˜ao apresentada à Escola Politécnica

da Universidade de S˜ao Paulo para obtenç˜ao

do T´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

S˜ao Paulo

2013

Ricardo Cesare Román Amigo

Otimizaç˜

ao e Fabricaç˜

ao de Dispositivos

Piezelétricos com Gradaç˜

ao Funcional de

Material

Dissertaç˜ao apresentada à Escola Politécnica

da Universidade de S˜ao Paulo para obtenç˜ao

do T´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

Área de concentraç˜ao:

Engenharia

de

Controle

e

Automaç˜ao

Mecânica

Orientador:

Prof. Dr. Em´ılio Carlos Nelli Silva

S˜ao Paulo

2013

Este exemplar foi revisado e corrigido em relação à versão original, sob

responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.

São Paulo, 18 de março de 2013.

Assinatura do autor ____________________________

Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRÁFICA

Amigo, Ricardo Cesare Román

Otimização e fabricação de dispositivos piezelétricos com

gradação funcional de material / R.C.R. Amigo. -- versão corr. --

São Paulo, 2013.

91 p.

Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade

FICHA CATALOGRÁFICA

de São Paulo. Departamento de Engenharia Mecatrônica e de

Sistemas Mecânicos.

1. Métodos topológicos (Otimização) 2. Atuadores piezelétri-

cos 3. Sensores 4. Sinterização I. Universidade de São Paulo.

Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Mecatrônica e

de Sistemas Mecânicos II. t.

Agradecimentos

Ao orientador, Prof. Dr. Em´ılio Carlos Nelli Silva, por sua contagiante dedicaç˜ao.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio

financeiro a este trabalho, através de bolsa de mestrado (Processo 558411/2010-0).

À Profa. Dra. Izabel Fernanda Machado, por me ajudar na prática.

Aos amigos do Laboratório de Ultrassom, Fausto, Marco, Nico, Timóteo e Wellington

pela ajuda constante no desenvolvimento deste trabalho.

Aos otimizadores Bencho, César, Douglas, Flávio, Lance, Lu´ıs, Ronny, Sandro e Teves,

por serem os únicos que sabiam do que eu estava falando em boa parte destes últimos anos.

Aos vizinhos de laboratório, Barazani, Chaves, Erick, Jo˜ao e Lucas, pelos momentos de

extens˜ao acadêmica.

Ao Karatê Poli-USP, que tornou minha relaç˜ao com a Escola Politécnica muito mais

intensa.

À minha m˜ae e às minhas irm˜as, Carolina e Cristina, por serem minha fam´ılia.

Ao meu pai, que continua me inspirando a tentar deixar o mundo melhor do que eu

recebi.

Resumo

Cerâmicas piezelétricas possibilitam posicionamento e sensoriamento de precis˜ao ou

captaç˜ao de energia mecânica valendo-se do efeito piezelétrico, capaz de converter energia

mecânica em elétrica ou o contrário.

Para aprimorar ou estender as aplicaç˜oes dessas

cerâmicas, mecanismos flex´ıveis podem ser acoplados a elas, formando um Dispositivos

Piezelétricos Flextensionais (DPF).

No projeto desse tipo de estrutura, o conceito de

Material com Gradaç˜ao Funcional (MGF) é interessante, já que esses materiais apresentam

variaç˜oes graduais de suas propriedades efetivas, permitindo a alternância entre um material

mais flex´ıvel e um mais r´ıgido de acordo com a intensidade de deslocamento desejada em

cada regi˜ao da estrutura. Assim, neste trabalho, implementa-se o Método de Otimizaç˜ao

Topológica (MOT) no projeto de estruturas gradadas com o intuito de identificar as

vantagens e desvantagens da utilizaç˜ao do conceito de MGF em DPF. Esse método combina

algoritmos de otimizaç˜ao e o Método dos Elementos Finitos (MEF) para distribuir material

dentro de um dom´ınio fixo através de um modelo de material, que no caso estudado é o

de Material Isotrópico Sólido com Penalizaç˜ao (MISP) adaptado a MGF. Na fabricaç˜ao

desses dispositivos otimizados, utiliza-se a Sinterizaç˜ao por Jato de Plasma (SJP) para a

obtenç˜ao de tarugos gradados que s˜ao submetidos a processos de eletro-eros˜ao e de corte a

laser. Por fim, para a verificaç˜ao dos resultados numéricos, utiliza-se um vibrômetro para

aferir os deslocamentos dos protótipos de atuadores fabricados. Os resultados demonstram

que o MOT é adequado ao projeto de dispositivos piezelétricos gradados e que, pela

sua implementaç˜ao, mecanismos com gradaç˜ao funcional de material apresentam ganhos

significativos em desempenho quando comparados aos análogos constitu´ıdos por materiais

homogêneos. Além disso, o processo de fabricaç˜ao proposto se mostra viável, possibilitando

a obtenç˜ao de protótipos que se comportam conforme esperado.

Palavras-chave: Atuadores Piezelétricos. Materiais com Gradaç˜ao Funcional. Método

de Otimizaç˜ao Topológica. Sinterizaç˜ao por Jato de Plasma.

Abstract

Piezoelectric devices enable precision positioning and sensing or mechanical energy

harvesting based on the piezoelectric effect. In flextensional piezoelectric devices, flexible

coupling structures are attached to ceramics to improve or extend the application

possibilities. On the design of this kind of structure, the concept of Functionally Graded

Materials (FGM) can be interesting, since it allows gradual variations of its effective

properties along some direction by mixing two or more materials.

Thus, in order to

identify the advantages and disadvantages of using FGM, graded flexible coupling structures

that maximize the performance of piezoelectric devices are obtained by implementing the

Topology Optimization Method (TOM). This method combines optimization algorithms

and the Finite Element Method (FEM) to distribute material inside a fixed domain. In

this work, the formulation is based on the Solid Isotropic Material with Penalization

(SIMP) material model adapted for the FGM concept, which can represent continuous

change in material properties along the domain. Resulting optimal graded topologies of

coupling structures are presented and compared with homogeneous structures. Finally,

graded devices are manufactured through Spark Plasma Sintering (SPS) technique in

order to be characterized, validating numerical results. The numerical results demonstrate

the TOM efficacy in designing functionally graded piezoelectric devices and show, by its

implementation, significant gains in graded mechanisms performance when compared with

analogous homogeneous. Furthermore, the feasibility of proposed manufacturing process is

confirmed, allowing the fabrication of prototypes with expected behavior.

Keywords:

Piezoelectric Actuators.

Functionally Graded Material.

Topology

Optimization Method. Spark Plasma Sintering.

Sumário

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Lista de Abreviaturas

Lista de S´ımbolos

1 Introduç˜

ao

1

1.1 Dispositivos Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Aplicaç˜oes de Dispositivos Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Projeto de Dispositivos Piezelétricos com Gradaç˜ao Funcional de

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Fabricaç˜ao de Peças com Gradaç˜ao Funcional de Material

. . . . . .

4

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Organizaç˜ao do Texto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Projeto de Dispositivos Piezelétricos Gradados

8

2.1 Métodos de Otimizaç˜ao Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Método de Otimizaç˜ao Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1

Modelo de Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2

Escala de Cinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.3

Instabilidade de Tabuleiro e Dependência de Malha . . . . . . . . . .

12

2.3 Projeto de Dispositivos com Gradaç˜ao Funcional de Material . . . . . . . . .

14

2.3.1

Projeto de Atuadores Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.2

Projeto de Sensores Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3 Implementaç˜

ao Numérica

18

3.1 Aspectos Numéricos da Implementaç˜ao do MOT . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1.1

Aproximaç˜ao Cont´ınua da Distribuiç˜ao de Material . . . . . . . . . .

18

3.1.2

Linearizaç˜ao das Funç˜oes-Objetivo e das Restriç˜oes . . . . . . . . . .

18

3.2 Procedimento de Otimizaç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.3 Otimizaç˜ao de Atuadores Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.1

Formulaç˜ao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.2

Análise de Sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.4 Otimizaç˜ao de Sensores Piezelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.4.1

Formulaç˜ao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.4.2

Análise de Sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 Fabricaç˜

ao, Caracterizaç˜

ao e Verificaç˜

ao Experimental

25

4.1 Sequência de Atividades para a fabricaç˜ao de dispositivos piezelétricos gradados 25

4.2 Método Ultrassônico de Caracterizaç˜ao de Materiais . . . . . . . . . . . . . .

26

4.3 Estimativa das Propriedades Elásticas de Gradaç˜oes Funcionais . . . . . . .

28

4.4 Processo de Fabricaç˜ao de Dispositivos com Gradaç˜ao Funcional de Material

30

4.5 Método de Verificaç˜ao Experimental de Atuadores Piezelétricos . . . . . . .

32

5 Resultados Numéricos e Discuss˜

oes

34

5.1 Moonie Piezelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

5.1.1

Otimizaç˜ao com Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . .

34

5.1.2

Otimizaç˜ao sem Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . . .

37

5.1.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2 Garra Piezelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2.1

Otimizaç˜ao com Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . .

41

5.2.2

Otimizaç˜ao sem Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . . .

44

5.2.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.3 Sensor de Força Piezelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.3.1

Otimizaç˜ao com Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . .

49

5.3.2

Otimizaç˜ao sem Restriç˜oes de Volume e Manufatura . . . . . . . . . .

50

5.3.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6 Resultados Experimentais e Discuss˜

oes

57

6.1 Protótipos com Formas Arbitrárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6.1.1

Fabricaç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6.1.2

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2 Gradaç˜ao Cobre-N´ıquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2.1

Fabricaç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2.2

Caracterizaç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.2.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3 Protótipo de Atuador Piezelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3.1

Fabricaç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3.2

Verificaç˜ao Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.3.3

Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

7 Conclus˜

oes e Trabalhos Futuros

67

7.1 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

7.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Referências

69

Apêndice A - Piezeletricidade

75

Apêndice B - Método dos Elementos Finitos Piezelétrico

78

B.1 Princ´ıpio Variacional Piezelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

B.2 Estado Plano de Tens˜oes Mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

B.3 Elemento Isoparamétrico de Quatro Nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

B.4 Formulaç˜ao Matricial do Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

B.5 Prescriç˜ao de Deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

B.6 Verificaç˜ao da Implementaç˜ao do MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Apêndice C - Programaç˜

ao Linear Sequencial

88

Anexo A - Relaç˜

oes entre Constantes Elásticas

90

Anexo B - Propriedades Teóricas do Material Piezelétrico Utilizado

91

Lista de Figuras

1.1 Princ´ıpio de funcionamento de (a) atuadores e (b) sensores piezelétricos

flextensionais com gradaç˜ao funcional de material em sua estrutura acoplada.

2

1.2 Microestrutura da seç˜ao transversal do tronco de um bambu (SILVA; WALTERS;

PAULINO, 2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Microestrutura da gradaç˜ao funcional entre um material A (cerâmico) e um

material B (metálico) (KIEBACK; NEUBRAND; RIEDEL, 2003). . . . . . . . . .

3

1.4 Vista em corte da montagem para SJP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5 Sequência do desenvolvimento de dispositivos piezelétricos com gradaç˜ao

funcional de material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1 Classificaç˜ao dos métodos de otimizaç˜ao estrutural. . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2 Exemplo de aplicaç˜ao dos métodos de otimizaç˜ao (a) paramétrica, (b) de

forma e (c) topológica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Ocorrência de escala de cinza (KIYONO, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4 Demonstraç˜ao do aumento de m´ınimos locais provocado pelo aumento dos

penalizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5 Ocorrência da instabilidade de tabuleiro (KIYONO, 2008). . . . . . . . . . . .

12

2.6 Topologia ótima obtida com malhas de (a) 1200 elementos, (b) 1875 elementos

e (c) 3000 elementos (KIYONO, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.7 Raio de abrangência do filtro de projeç˜ao em (a) malha grossa e (b) malha fina. 13

2.8 Perfis da funç˜ao peso de acordo com o valor de g. . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.9 Caso de carga para o cálculo do deslocamento estático gerado. . . . . . . . .

15

2.10 Caso de carga para o cálculo do potencial elétrico estático gerado. . . . . . .

16

3.1 Fluxograma do software de implementaç˜ao do MOT. . . . . . . . . . . . . .

20

4.1 Sequência geral de projeto e fabricaç˜ao de dispositivos piezelétricos gradados.

26

4.2 Montagens para mediç˜ao das velocidades de propagaç˜ao de ondas (a)

longitudinais e (b) de cisalhamento em uma amostra. . . . . . . . . . . . . .

27

4.3 Goniômetro para caracterizaç˜ao ultrassônica de amostras de material. . . . .

27

4.4 Curvas lim´ıtrofes do módulo de compressibilidade K e de cisalhamento G em

materiais compósitos com fases isotrópicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.5 Processo de fabricaç˜ao de dispositivos piezelétricos gradados. . . . . . . . . .

31

4.6 SPS-1050 (SPS SYNTEX INC., 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.7 Esquema de verificaç˜ao experimental de protótipo via vibrômetro. . . . . . .

32

4.8 Montagem para verificaç˜ao experimental de protótipo via vibrômetro. . . . .

32

5.1 Dom´ınio de projeto de moonie piezelétrico (dimens˜oes em mm). . . . . . . .

35

5.2 Atuadores, sujeitos a restriç˜oes, com estrutura acoplada homogênea. . . . . .

36

5.3 Atuadores, sujeitos a restriç˜oes, com gradaç˜ao funcional Cobre-N´ıquel restrita

em camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.4 Distribuiç˜ao da gradaç˜ao nos atuadores otimizados. . . . . . . . . . . . . . .

37

5.5 Deformada do atuador, sujeito a restriç˜oes, com gradaç˜ao Cobre-N´ıquel em

camadas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.6 Atuadores com estrutura acoplada homogênea. . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.7 Atuador com gradaç˜ao funcional livre de Cobre-N´ıquel. . . . . . . . . . . . .

39

5.8 Deformadas dos atuadores otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.9 Dom´ınio de projeto de garra piezelétrica (dimens˜oes em mm). . . . . . . . .

42

5.10 Garras, sujeitas a restriç˜oes, com estrutura acoplada homogênea. . . . . . . .

43

5.11 Garras, sujeitas a restriç˜oes, com gradaç˜ao funcional Cobre-N´ıquel restrita em

camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.12 Distribuiç˜ao da gradaç˜ao nas garras otimizadas. . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.13 Deformadas das garras otimizadas sujeitas a restriç˜oes. . . . . . . . . . . . .

45

5.14 Garras com estrutura acoplada homogênea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.15 Garra com gradaç˜ao funcional livre de Cobre-N´ıquel. . . . . . . . . . . . . .

47

5.16 Deformadas das garras otimizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.17 Dom´ınio de projeto de sensor de força piezelétrico (dimens˜oes em mm). . . .

49

5.18 Sensores, sujeitos a restriç˜oes, com estrutura acoplada homogênea. . . . . . .

50

5.19 Sensores, sujeitos a restriç˜oes, com gradaç˜ao funcional Cobre-N´ıquel restrita

em camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.20 Distribuiç˜ao da gradaç˜ao nos sensores otimizados. . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.21 Deformadas dos sensores otimizados sujeitos a restriç˜oes. . . . . . . . . . . .

52

5.22 Sensores com estrutura acoplada homogênea. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.23 Sensor com gradaç˜ao funcional livre de Cobre-N´ıquel. . . . . . . . . . . . . .

54

5.24 Deformadas dos sensores otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.1 Curvas de temperatura e press˜ao mecânica da sinterizaç˜ao de amostras em

Cobre e N´ıquel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2 Eletroeros˜ao de peça com gradaç˜ao arbitrária. . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.3 Protótipos de dispositivos piezelétricos com topologia arbitrária. . . . . . . .

59

6.4 Seç˜ao da amostra de Cobre vista em microscópio óptico. . . . . . . . . . . .

60

6.5 Peças obtidas em cada etapa do processo de fabricaç˜ao. . . . . . . . . . . . .

63

6.6 Protótipo de atuador gradado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.7 Condiç˜ao de ensaio do protótipo de atuador gradado. . . . . . . . . . . . . .

63

6.8 Deslocamento da face de atuaç˜ao em funç˜ao da frequência de excitaç˜ao. . . .

64

6.9 Deformada (em mm) do protótipo sob excitaç˜ao de 18, 2V a 4kHz. . . . . .

65

6.10 Variaç˜ao máxima da rigidez conforme fraç˜ao em volume de N´ıquel. . . . . . .

66

A.1 Estado dos dipolos elétricos (a) antes, (b) durante e (c) após o processo de

polarizaç˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

A.2 Célula unitária de BaTiO3 (a) antes e (b) depois da polarizaç˜ao (CALLISTER,

2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

B.1 Estado Plano de Tens˜oes Mecânicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

B.2 Deformada do dom´ınio controle obtida via COMSOL. . . . . . . . . . . . . .

84

C.1 Programaç˜ao linear sequencial e os limites móveis. . . . . . . . . . . . . . . .

89

Lista de Tabelas

5.1 Pseudodensidades de gradaç˜ao dos atuadores otimizados. . . . . . . . . . . .

36

5.2 Deslocamentos estáticos verticais gerados pelos atuadores otimizados sujeitos

a restriç˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.3 Deslocamentos estáticos verticais gerados pelos atuadores otimizados. . . . .

40

5.4 Pseudodensidades de gradaç˜ao das garras otimizadas sujeitas a restriç˜oes. . .

43

5.5 Deslocamentos estáticos horizontais médios de Γt nas garras otimizadas

sujeitas a restriç˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.6 Deslocamentos estáticos horizontais médios de Γt nas garras otimizadas. . . .

47

5.7 Pseudodensidades de gradaç˜ao dos sensores otimizados sujeitos a restriç˜oes. .

50

5.8 Potenciais elétricos no eletrodo Γϕ dos sensores otimizados sujeitos a restriç˜oes. 52

5.9 Deslocamentos verticais de Γt nos sensores otimizados sujeitos a restriç˜oes. .

52

5.10 Potenciais elétricos no eletrodo Γϕ dos sensores otimizados. . . . . . . . . . .

54

5.11 Deslocamentos verticais de Γt nos sensores otimizados. . . . . . . . . . . . .

54

6.1 Caracter´ısticas f´ısicas das amostras homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 Velocidades de propagaç˜ao e constantes elásticas das amostras homogêneas. .

60

6.3 Determinaç˜ao das fraç˜oes em volume de N´ıquel a partir da rigidez desejada.

62

6.4 Massas de Cobre e N´ıquel em cada camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.5 Erro introduzido aos módulos de compressibilidade (K) e de cisalhamento

(G) pela aproximaç˜ao de material baseada no princ´ıpio variacional de

Hashin-Shtrikman (HASHIN; SHTRIKMAN, 1963). . . . . . . . . . . . . . . . .

66

B.1 Comparaç˜ao entre deslocamentos na coordenada x obtidos via AMIGOT e

COMSOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

B.2 Comparaç˜ao entre deslocamentos na coordenada y obtidos via AMIGOT e

COMSOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

B.3 Comparaç˜ao entre potenciais elétricos obtidos via AMIGOT e COMSOL. . .

87

Lista de Abreviaturas

ACDM Aproximaç˜

ao Cont´ınua da Distribuiç˜ao de Material

CEP Coletor de Energia Piezelétrico

CL Corte a Laser

CNC Controle Numérico Computadorizado

DPF Dispositivos Piezelétricos Flextensionais

DFE Dom´ınio Fixo Estendido

EEF Eletro-Eros˜

ao a Fio

EPTM Estado Plano de Tens˜

oes Mecânicas

GDL Grau de Liberdade

MAC Modal Assurance Criterion

MC Método da Continuaç˜

ao

MDF Método de Diferenças Finitas

MEF Método dos Elementos Finitos

MEMS Sistemas Micro-eletromecânicos

MGF Material com Gradaç˜

ao Funcional

MISP Material Isotrópico Sólido com Penalizaç˜ao

MM Modelo de Material

MMA Método das Ass´ıntotas Móveis

MOF Método de Otimizaç˜

ao de Forma

MOP Método de Otimizaç˜

ao Paramétrica

MOT Método de Otimizaç˜

ao Topológica

MOTAL Método de Otimizaç˜

ao Topológica por Alocaç˜ao de Lacunas

MOTCN Método de Otimizaç˜

ao Topológica por Curvas de N´ıvel

MOTE Método de Otimizaç˜

ao Topológica Evolucionária

PL Programaç˜

ao Linear

PLS Programaç˜

ao Linear Sequencial

PZT Titanato Zircanato de Chumbo

SJP Sinterizaç˜

ao por Jato de Plasma

TPGF Transdutores Piezelétricos com Gradaç˜

ao Funcional

Lista de S´ımbolos

As

amplitude de deslocamento

Av

amplitude de velocidade

cE

matriz de constantes elásticas a campo elétrico constante

dk

variável de projeto da classe k referente ao nó i

i

dk

vetor de variáveis de projeto da classe k

dmin

vetor de valores m´ınimos para variáveis de topologia (classe 1)

1

D

vetor de deslocamentos elétricos

e

matriz de constantes piezelétricas

E

módulo elástico de Young

E

vetor de campos elétricos

f

frequência

F

vetor de carregamentos mecânicos

F ()

funç˜ao-multiobjetivo

G

módulo elástico de cisalhamento

K

módulo elástico de compressibilidade

K

matriz de rigidez

Li()

funç˜ao-objetivo i

M

módulo elástico de onda de press˜ao

p

coeficiente de penalizaç˜ao das variáveis de topologia no MISP

q

coeficiente de penalizaç˜ao das variáveis de gradaç˜ao no MISP

Q

vetor de carregamentos elétricos

Rij

distância entre os pontos xi e xj

Rmax

raio de abrangência do filtro de projeç˜ao

Sr

conjunto dos pontos compreendidos pela regi˜ao Ωr

i

i

S

vetor de deformaç˜oes mecânicas

T

vetor de tens˜oes mecânicas

U

vetor de deslocamentos mecânicos

v∗

aproximaç˜ao da fraç˜ao em volume da fase i na mistura

i

Ve