Quantificando as inomogeneidades da matéria com Supernovas e Gamma-Ray Bursts por Vinicius Consolini Busti - Versão HTML

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Universidade de S˜ao Paulo

Instituto de Astronomia, Geof´ısica e Ciências Atmosféricas

Departamento de Astronomia

Vinicius Consolini Busti

Quantificando as Inomogeneidades da

Matéria com Supernovas e Gamma-Ray

Bursts

S˜ao Paulo

2009

Vinicius Consolini Busti

Quantificando as Inomogeneidades da

Matéria com Supernovas e Gamma-Ray

Bursts

Dissertaç˜ao apresentada ao Departamento de Astronomia

do Instituto de Astronomia, Geof´ısica e Ciências Atmosféricas

da Universidade de S˜ao Paulo como parte dos requisitos

para a obtenç˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciências.

Área de Concentraç˜ao: Astronomia

Orientador: Prof. Dr. José Ademir Sales de Lima

S˜ao Paulo

2009

`

A minha fam´ılia.

Agradecimentos

Ao meu orientador José Ademir Sales de Lima, por todo o apoio obtido desde a Iniciaç˜ao

Cient´ıfica e pela escolha do tema.

À Rose Cl´ıvia Santos, pela amizade e colaboraç˜ao em dois trabalhos.

A todos da minha fam´ılia. Principalmente aos meus pais Francisco Aparecido Busti e

Magda de Jesus Consolini Busti, à minha irm˜a Vanessa Aparecida Busti, à minha sobrinha

Alessa Moraes e à minha namorada Angela Ramonne Pereira de Souza, por tudo.

A todos meus amigos, pelos bons momentos que passamos.

Aos professores do Departamento de Astronomia do IAG, principalmente aos profes-

sores Ruth Gruenwald, Antônio Mário Magalh˜aes, Roberto Dias da Costa, Jorge Horvath,

S´ılvia Rossi, Ronaldo Eustáquio de Souza, Gast˜ao Lima Neto e Gary Steigman pelas dis-

ciplinas lecionadas.

Ao grupo de cosmologia: José Fernando de Jesus, Rodrigo Fernandes Holanda, Felipe

Andrade Oliveira, Antonio Guimar˜aes, Jo˜ao Maria da Silva, Jo˜ao Vital Cunha Júnior,

Lúcio Marassi de Souza Almeida, Maria Assunta Nobre, Rose Cl´ıvia Santos e Saulo Pereira,

por todas as discuss˜oes cient´ıficas e pela amizade.

Aos membros da Representaç˜ao Discente, especialmente ao Oscar Cavichia de Moraes

e ao Vinicius Moris Placco pelo desenvolvimento da classe IAGTESE.

Aos funcionários do IAG, por toda a assistência prestada.

À FAPESP, pelo apoio financeiro, sob o projeto n o: 2006/05298-4.

Ao IAG, por propiciar um ótimo ambiente de trabalho e pesquisa.

Esta dissertaç˜ao foi escrita em LATEX com a classe IAGTESE, para teses e dissertaç˜oes do IAG.

O eterno mistério do mundo é a possibilidade de o compreendermos . . . O fato de que ele

seja compreens´ıvel é um milagre.

Albert Einstein

Resumo

Nesta dissertaç˜ao estudamos como os efeitos das inomogeneidades da matéria (escura e

bariônica) modificam as distâncias e afetam a determinaç˜ao dos parâmetros cosmológicos.

As inomogeneidades s˜ao fenomenologicamente descritas pelo parâmetro de aglomeramento

α e quantificadas pela equaç˜ao da distância proposta por Zeldovich–Kantowski–Dyer–

Roeder (ZKDR). Além disso, utilizando amostras de Supernovas e Gamma-Ray Bursts,

aplicamos um teste χ 2 para vincular os parâmetros de dois modelos cosmológicos distintos,

a saber: o modelo ΛCDM plano e o modelo com criaç˜ao de matéria escura fria.

Para o modelo ΛCDM plano, vinculamos os parâmetros α e Ω M considerando um prior

gaussiano para a constante de Hubble H 0. Realizamos também uma análise detalhada

envolvendo duas calibraç˜oes distintas associadas aos dados de Gamma-Ray Bursts: uma

calibraç˜ao para o modelo ΛCDM plano e outra para o modelo cardassiano. Verificamos

que os resultados s˜ao fracamente dependentes da calibraç˜ao adotada.

Uma análise conjunta envolvendo Supernovas e Gamma-Ray Bursts permitiu quebrar

a degenerescência entre o parâmetro de aglomeramento α e o parâmetro de densidade da

matéria Ω M. Considerando a calibraç˜ao dos Gamma-Ray Bursts para o modelo ΛCDM

plano, o melhor ajuste obtido foi α = 1 . 0 e Ω M = 0 . 30, com os parâmetros restritos ao intervalos 0 . 78 ≤ α ≤ 1 . 0 e 0 . 26 M ≤ 0 . 36 (2 σ).

Para o modelo com criaç˜ao de matéria escura consideramos também um prior gaussiano

para H 0 e as amostras de Supernovas e Gamma-Ray Bursts (calibrados para o modelo

ΛCDM plano). A degenerescência entre o parâmetro α e o parâmetro de criaç˜ao γ foi

novamente quebrada atráves de uma análise conjunta das 2 amostras de dados. Para o

melhor ajuste obtivemos α = 1 . 0 e γ = 0 . 61, com os parâmetros restritos aos intervalos 0 . 85 ≤ α ≤ 1 . 0 e 0 . 56 ≤ γ ≤ 0 . 66 (2 σ).

Abstract

In this dissertation we study how the effects of matter (baryonic and dark) inhomo-

geneities modify the distances thereby affecting the determination of cosmological parame-

ters. The inhomogeneities are phenomenologically described by the clumpiness parameter

α and quantified through the equation distance proposed by Zeldovich–Kantowski–Dyer–

Roeder (ZKDR). Further, by using Supernovae and Gamma-Ray Bursts separately, a χ 2-

analysis was performed to constrain the parameter space for two distinct cosmological

models, namely: the flat ΛCDM model and the cold dark matter creation model.

For the flat ΛCDM model we have constrained the parameters α and Ω M by considering

a Gaussian prior for the Hubble parameter H 0. A detailed analysis was also performed in-

volving two different calibrations associated to the Gamma-Ray Bursts data: a calibration

for the flat ΛCDM model as well as for the cardassian model. We have verified that the

results are weakly dependent on the adopted calibration.

A joint analysis involving Supernovae and Gamma-Ray Bursts allowed us to break the

degenerescence between the clumpiness parameter α and the matter density parameter

M. By considering the calibration for the flat Λ CDM model, the best fits obtained

were equal to α = 1 . 0 and Ω M = 0 . 30 with the parameters restricted on the intervals 0 . 78 ≤ α ≤ 1 . 0 and 0 . 26 M ≤ 0 . 36 (2 σ).

For the dark matter creation model we have also adopted a Gaussian prior for H 0 and

the Supernovae and Gamma-Ray Bursts (calibrated for the flat ΛCDM model) samples.

The degenerescence between the clumpiness parameter α and the creation parameter γ

was again broken trough a joint analysis of the two data sample. For the best fits we

have obtained α = 1 . 0 and γ = 0 . 61 with the parameters restricted on the intervals 0 . 85 ≤ α ≤ 1 . 0 and 0 . 56 ≤ γ ≤ 0 . 66 (2 σ).

Notaç˜ao e Convenç˜oes

Assinatura da métrica: (+,–,–,–)

Índices gregos variam de 0 a 3, ´ındices latinos variam de 1 a 3. Índices repetidos

obedecem à convenç˜ao de Einstein.

Derivada parcial: ∂φ ≡ φ

∂xα

Derivada covariante: = + Γ α Aλ

; β

λβ

Usaremos um sistema de unidades onde c = 1, salvo menç˜ao em contrário a fim de

explicitar algo em quest˜ao.

Express˜oes em outro idioma ser˜ao escritas em itálico.

Informaç˜ao Eletrônica

A maioria das referências bibliográficas utilizadas nessa dissertaç˜ao podem ser encon-

tradas nas seguintes páginas da WEB:

http: // www.periodicos.capes.gov.br /

http: // adsabs.harvard.eduabstract service.html

http: // xxx.lanl.gov /

Lista de Figuras

1.1 Fator de escala em funç˜ao do tempo para um universo plano, k = 0, uni-

verso fechado, k = 1, e universo hiperbólico, k = 1. Em todos os casos

consideramos um universo dominado somente por matéria. . . . . . . . . .

41

2.1 Determinaç˜ao da distância entre o Sol e uma estrela pelo método da paralaxe

trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2 Modelo da bola de fogo ( fireball model). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1 Evidência da aceleraç˜ao do universo obtida pelo Supernova Cosmology Project

(Perlmutter, 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2 Evidência da aceleraç˜ao do universo obtida pelo High-z Supernova Search

(Riess et al., 1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3 Genealogia da energia escura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.4 Intervalo de modelos cosmológicos n˜ao-planos consistentes com o WMAP. .

65

3.5 V´ınculos para w 0 e wa obtidos por Kowalski et al. (2008). . . . . . . . . . .

68

4.1 Representaç˜ao da propagaç˜ao de um feixe de raios de luz. . . . . . . . . . .

76

4.2 Efeitos do parâmetro de expans˜ao θ e do tensor de cisalhamento σab na área

transversal de um feixe de luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3 Distância de luminosidade em unidades de c/H 0 em funç˜ao do redshift para

vários valores do parâmetro de aglomeramento α, com Ω M = 0 . 27. . . . . .

84

4.4 Distância de luminosidade em unidades de c/H 0 em funç˜ao do redshift para

vários valores do parâmetro de aglomeramento α, com γ = 0 . 6. . . . . . . .

86

5.1 Magnitude residual comparada a um universo vazio para supernovas e gamma-

ray bursts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.2 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) considerando um prior gaussiano

em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.3 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados por Schaefer (2007)

considerando um prior gaussiano em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.4 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando um prior gaussiano

em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.5 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados por Schaefer

(2007) considerando um prior gaussiano em H 0. . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.6 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando um prior gaussiano

em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6.1 Magnitude residual comparada a um universo vazio para supernovas e gamma-

ray bursts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2 V´ınculos obtidos para α e γ com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) considerando um prior gaussiano

em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.3 V´ınculos obtidos para α e γ com 69 GRBs calibrados por Schaefer (2007)

considerando um prior gaussiano em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.4 V´ınculos obtidos para α e γ com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados por Schaefer

(2007) considerando um prior gaussiano em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.1 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) considerando H 0 fixo. . . . . . . . 124

B.2 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados por Schaefer (2007)

considerando H 0 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

B.3 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando H 0 fixo. . . . . . 125

B.4 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados por Schaefer

(2007) considerando H 0 fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.5 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando H 0 fixo. . . . . . 127

B.6 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) considerando um prior flat em H 0. 129

B.7 V´ınculos obtidos por Santos et al. (2008) para α e Ω M com 182 supernovas

da amostra de Riess et al. (2007) considerando um prior flat em H 0. . . . . 130

B.8 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados por Schaefer (2007)

considerando um prior flat em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.9 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando um prior flat em

H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B.10 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados por Schaefer

(2007) considerando um prior flat em H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B.11 V´ınculos obtidos para α e Ω M com 307 supernovas da amostra de Kowalski

et al. (2008) ( Union Compilation Data) e 69 GRBs calibrados para o modelo

cardassiano (Mosquera Cuesta et al., 2008) considerando um prior flat em

H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Lista de Tabelas

2.1 Resultados da calibraç˜ao de Schaefer (2007). . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2 Resultados da calibraç˜ao para o modelo cardassiano. . . . . . . . . . . . .

58

5.1 V´ınculos para os parâmetros α e Ω M considerando um prior gaussiano em

H 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6.1 V´ınculos para os parâmetros α e γ considerando um prior gaussiano em H 0. 100

B.1 V´ınculos para os parâmetros α e Ω M considerando H 0 fixo. . . . . . . . . . 128

B.2 V´ınculos para os parâmetros α e Ω M considerando um prior flat em H 0. . . 133

Sumário

1. Modelo Padr˜ao da Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.2 A Teoria da Relatividade Geral (TRG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3 Métrica FLRW (Friedmann–Lemaˆıtre–Robertson–Walker) . . . . . . . . . .

35

1.4 O Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.5 Tensor de Energia-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.6 Dinâmica Cosmológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2. A Escada de Distância Cósmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2 Indicadores Primários de Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.1

Paralaxe Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.2

Movimento Próprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.3

Luminosidade Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3 Indicadores Secundários de Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.1

A Relaç˜ao de Tully–Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.2

A Relaç˜ao de Faber–Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.3

O Plano Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.4

Supernovas Tipo Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4 Medidas de Distância em Espaço-Tempo Curvo . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4.1

Distância de Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4.2

Distância de Diâmetro Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.5 Gamma–Ray Bursts

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5.1

Método de Calibraç˜ao de Schaefer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.5.2

Calibraç˜ao para o Modelo Cardassiano . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.5.3

Calibraç˜ao utilizando Supernovas Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3. Cosmologias Aceleradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2 A Constante Cosmológica Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3 Matéria X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.4 Λ( t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.5 Gás de Chaplygin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.6 Modelo Cardassiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.7 Modelo com Criaç˜ao de Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4. Influência das Inomogeneidades na Propagaç˜ao da Luz: O Método de Dyer–Roeder 75

4.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2 A Equaç˜ao Óptica de Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.3 Equaç˜ao ZKDR para o modelo ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.4 Equaç˜ao ZKDR para o modelo com criaç˜ao de matéria . . . . . . . . . . .

84

5. V´ınculos Observacionais para α e M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.2 Supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.3 Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.4 Supernovas e Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

6. V´ınculos Observacionais para α e γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.1 Introduç˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.2 Supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.3 Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.4 Supernovas e Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

7. Conclus˜oes e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Apêndice

119

A. Equaç˜ao do Desvio Geodésico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B. Influência dos Priors sobre H 0 nos V´ınculos Cosmológicos . . . . . . . . . . . . 123

B.1 H 0 fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.1.1 Supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.1.2 Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.1.3 Supernovas e Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.2 Prior flat em H 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B.2.1 Supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B.2.2 Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.2.3 Supernovas e Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Introduç˜ao

A cosmologia é o ramo da f´ısica que estuda o universo como um todo, sua origem,

evoluç˜ao e composiç˜ao. A cosmologia moderna se iniciou com o modelo proposto por Ein-

stein (1917), utilizando sua ent˜ao recém-formulada teoria da Relatividade Geral (TRG). A

TRG é uma teoria sobre o espaço, tempo e gravitaç˜ao. Atualmente, é considerada o melhor

arcabouço teórico para investigar as propriedades do universo em larga escala. Einstein

também propôs o Princ´ıpio Cosmológico, o fato de que n˜ao existem observadores privile-

giados, o que implica que o universo em grande escala deve ser homogêneo e isotrópico.

Na época, acreditava-se que o universo era estático, fato que fez com que Einstein adi-

cionasse a sua teoria a constante Λ, conhecida como constante cosmológica, e que pode

ter um papel fundamental na evoluç˜ao do universo. Assim, o modelo de Einstein era

composto por matéria homogeneamente distribu´ıda, cuja aç˜ao gravitacional era contra-

balançada pela constante cosmológica gerando um universo estático. No mesmo ano, de

Sitter (1917) obteve soluç˜oes para universos estáticos e em expans˜ao constitu´ıdos apenas

de uma constante cosmológica.

Posteriormente, Alexander Friedmann percebeu que as equaç˜oes de Einstein para uni-

versos homogêneos e isotrópicos com matéria permitiam soluç˜oes dinâmicas, com Λ = 0

e Λ = 0. Foram obtidas soluç˜oes para um universo com curvatura positiva (Friedmann,

1922) e com curvatura negativa (Friedmann, 1924). Lemaˆıtre (1927) também analisou a

possibilidade de um universo em expans˜ao, discutindo sobre uma poss´ıvel velocidade de

recess˜ao de nebulosas extragalácticas.

No final da década de 20 as especulaç˜oes de um universo em expans˜ao receberam

suporte observacional. Hubble (1929) descobriu que quanto maior a distância de uma

galáxia maior era a sua velocidade de recess˜ao, uma lei emp´ırica atualmente conhecida

28

como lei de Hubble. Dentro da TRG, a lei de Hubble pode ser entendida como a expans˜ao

do próprio espaço entre as galáxias. Einstein, quando ciente das observaç˜oes astronômicas,

chegou a dizer que a introduç˜ao da constante cosmológica foi o maior erro da sua vida.

Juntamente com de Sitter, Eintein estudou um modelo onde a constante cosmológica é

nula e a geometria da seç˜ao espacial é euclidiana, conhecido atualmente como modelo de

Einstein–de Sitter (Einstein e de Sitter, 1932). Já Lemaitre (1934) propôs a idéia de um

átomo primordial, uma vez que se o universo está expandindo houve um momento em que

toda matéria estaria concentrada em um único ponto. O instante inicial foi denominado por

Fred Hoyle de Big Bang. Tais soluç˜oes expansionistas foram classificadas posteriormente

de uma forma geral por Robertson (1936) e Walker (1936), sendo atualmente chamada em

sua forma geral de métrica de Friedmann–Lemaˆıtre–Robertson–Walker (FLRW).

Como o universo passou por um estágio denso e quente, essas condiç˜oes eram prop´ıcias

para a formaç˜ao dos elementos qu´ımicos, sendo essa quest˜ao estudada inicialmente por

Alpher et al. (1948). Somente na década de 60 é que realmente foi demonstrada a origem

dos elementos leves como D, 3 He, 4 He e Li, através da mediç˜ao de abundâncias relativas,

tendo esses elementos qu´ımicos sido produzidos segundos após o Big Bang. A teoria de

formaç˜ao de elementos qu´ımicos no in´ıcio do universo é chamada de nucleoss´ıntese primor-

dial. Gamow também propôs a existência de uma radiaç˜ao de fundo (Alpher et al., 1948)

que permeia o universo, visto que inicialmente matéria e radiaç˜ao interagiam e, devido à

expans˜ao, houve um momento onde a interaç˜ao cessou e a radiaç˜ao passou a se propagar

livremente. Tal radiaç˜ao, conhecida modernamente como radiaç˜ao cósmica de fundo, foi

medida por Penzias e Wilson (1965), o que fortaleceu ainda mais o modelo expansionista.

Os três observáveis listados acima: expans˜ao do universo, abundâncias relativas de ele-

mentos qu´ımicos leves e a radiaç˜ao cósmica de fundo, juntamente com a TRG constituem a

base do modelo de universo quente ( Hot Big Bang), onde tais observaç˜oes s˜ao confirmadas

com erros da ordem de poucos pontos percentuais presentemente. Esse modelo, com a

hipótese de um universo dominado por matéria e Λ = 0, constituiu o modelo cosmológico

padr˜ao até quase o fim da década de 90. O cenário mudou em 1998 quando dois grupos in-

dependentes, o Supernova Cosmology Project e o High-z Supernova Search, afirmaram que

a expans˜ao do universo é acelerada (Riess et al., 1998; Perlmutter, 1999). Eles obtiveram

esse resultado ao tratar as supernovas do tipo Ia como velas padr˜ao, através da identi-

29

ficaç˜ao de uma correlaç˜ao emp´ırica entre a altura do pico da curva de luz e o tempo de

decaimento. Dentro da TRG, tal resultado sugere que o universo é atualmente dominado

por um fluido exótico que possui press˜ao negativa, chamado de energia escura.

Evidências para a existência de energia escura também s˜ao encontradas a partir de

análises independentes provenientes de vários ramos da cosmologia. O estudo das anisotro-

pias no espectro de potência da radiaç˜ao cósmica de fundo (Komatsu et al., 2008), de

estruturas em grande escala (Cole et al., 2005; Tegmark et al., 2004), observaç˜oes em raios

X de aglomerados de galáxias (Allen et al., 2002; Lima et al., 2003; Allen et al., 2008),

objetos velhos em altos redshifts (Krauss, 1997; Alcaniz e Lima, 1999b, 2001; Alcaniz et al.,

2003; Cunha e Santos, 2004; Cunha et al., 2007; Lima et al., 2009), tamanho angular de

fontes de rádio compactas (Gurvits et al., 1999; Lima e Alcaniz, 2002) e rádio-galáxias

(Daly e Guerra, 2002), gamma-ray bursts (Schaefer, 2007; Mosquera Cuesta et al., 2008)

e outros, s˜ao testes complementares que mostram a existência dessa componente.

Determinar a natureza da energia escura é o maior desafio da cosmologia moderna. O

candidato mais simples à energia escura é a constante cosmológica, que pode ser associada

à energia do vácuo dos campos quânticos. Entretanto, existem vários candidatos além

da constante cosmológica, dentre os quais podemos citar: campo escalar (Ratra e Pee-

bles, 1988; Maia e Lima, 2002; Carvalho et al., 2006, 2008), matéria X (Turner e White,

1997), decaimento do vácuo (Bronstein, 1933; Ozer e Taha, 1986, 1987), gás de Chaply-

gin (Kamenshchik et al., 2001; Bilić et al., 2002; Bento et al., 2002). Atualmente, todos

esses candidatos ajustam bem os dados observacionais (Lima, 2004; Copeland et al., 2006;

Cunha, 2006).

Uma outra forma de encarar o problema seria achar um mecanismo que produzisse ace-

leraç˜ao sem a necessidade da inclus˜ao da energia escura. Modelos com criaç˜ao de matéria

foram propostos (Lima et al., 1996, 2008), onde a criaç˜ao de part´ıculas geraria uma press˜ao

negativa responsável pela aceleraç˜ao. Também é poss´ıvel gerar aceleraç˜ao modificando-se

a TRG tomando, ao invés do escalar de curvatura de Ricci R para a obtenç˜ao das equaç˜oes

de Einstein, funç˜oes de R, que s˜ao teorias conhecidas como f ( R) (Capozziello et al., 2003; Carroll et al., 2004). Outra possibilidade é considerar que vivemos em um universo com

dimens˜oes extras, mas apenas a gravidade as acessa, sendo poss´ıvel uma aceleraç˜ao do

universo em seu estágio atual. Teorias com dimens˜oes extras s˜ao geralmente inspiradas em

30

teorias de cordas ou membranas (Randall e Sundrum, 1999a,b; Arkani-Hamed et al., 1999;

Pires et al., 2006).

Pelo Princ´ıpio Cosmológico, temos que o universo deve ser homogêneo e isotrópico

apenas em grandes escalas. Mas a luz sente as inomogeneidades locais, tendo sua trajetória

desviada da prevista por um universo homogêneo e isotrópico em todas as escalas. Esse

efeito de magnificaç˜ao, ou demagnificaç˜ao, do feixe de luz altera as distâncias. Os primeiros

estudos sobre este efeito foram efetuados por Zeldovich (1964) e Kantowski (1969). Dyer e

Roeder (1972) estudaram como a distância de diâmetro angular é afetada quando conside-

ramos que a trajetória do fóton está contida em uma regi˜ao sem a presença de matéria.

A distância é obtida através da equaç˜ao óptica de Sachs (1961), que dá a evoluç˜ao da

área transversal de um feixe de luz ao longo de sua trajetória no espaço-tempo. Em

um trabalho posterior, Dyer e Roeder (1974) analisaram o caso em que a trajetória do

fóton está contida em uma regi˜ao em que apenas parte da matéria é distribu´ıda de forma

homogênea, sendo essa parte quantificada pelo parâmetro de aglomeramento α. Devido ao

processo de formaç˜ao de estruturas, esperamos que haja uma dependência do parâmetro

de aglomeramento com o redshift, assim como uma dependência com a direç˜ao ao longo da

linha de visada.

Diante dessa conjuntura, essa tese objetiva vincular os parâmetros cosmológicos de

alguns modelos, assim como a influência do parâmetro de aglomeramento. O formato da

dissertaç˜ao é descrito a seguir.

No cap´ıtulo 1, fazemos uma rápida revis˜ao de aspectos importantes do modelo padr˜ao

da cosmologia. Inicialmente discutimos os fundamentos básicos da relatividade geral e

como o Princ´ıpio Cosmológico leva à métrica FLRW através de argumentos de simetria.

Em seguida, apresentamos as equaç˜oes que governam a evoluç˜ao dos componentes do

universo, conhecidas como equaç˜oes de Friedmann.

No cap´ıtulo 2, estudamos a escada de distância cósmica, através dos indicadores primá-

rios e secundários de distância. Também vemos como as distâncias s˜ao definidas quando

levamos em conta a expans˜ao do universo. De grande relevância para a presente dissertaç˜ao

é o método baseado na utilizaç˜ao de gamma-ray bursts como velas padr˜ao, que vemos no

final do cap´ıtulo.

No cap´ıtulo 3, estudamos modelos onde o estágio atual do universo é acelerado. Trata-

31

mos de alguns modelos onde um fluido exótico, conhecido como energia escura, é adicionado

às equaç˜oes de Einstein. Modelos em que tal fluido n˜ao é necessário, como o modelo car-

dassiano e o modelo com criaç˜ao de matéria, s˜ao também considerados.

No cap´ıtulo 4, estudamos os efeitos das inomogeneidades. Primeiramente, discutimos a

equaç˜ao óptica de Sachs e, a partir desta, deduzimos a equaç˜ao de Zeldovich–Kantowski–

Dyer–Roeder (ZKDR) para os modelos de interesse: ΛCDM e criaç˜ao de matéria.

No cap´ıtulo 5, apresentamos os resultados dos v´ınculos obtidos pela análise estat´ıstica

através da utilizaç˜ao dos dados de supernova Ia e gamma-ray bursts ao modelo ΛCDM.

No cap´ıtulo 6, apresentamos os resultados para os v´ınculos obtidos ao modelo com

criaç˜ao de matéria, enquanto no cap´ıtulo 7 apresentamos as consideraç˜oes finais e algumas

perspectivas de nosso trabalho.

Finalmente, com o intuito de facilitar a consulta de estudantes e pesquisadores inte-

ressados nesta área de pesquisa, informamos que os resultados originais dessa dissertaç˜ao

est˜ao apresentados nos cap´ıtulos 5 e 6 e no apêndice B.

32

Cap´ıtulo 1

Modelo Padr˜ao da Cosmologia

1.1 Introduç˜ao

Atualmente, o modelo que melhor explica o universo é o cenário do Big Bang, conside-

rado o modelo padr˜ao da cosmologia. Tal modelo tem como base quatro pilares, sendo um

teórico e três observacionais. Teoricamente, ele se baseia na teoria da Relatividade Geral

(TRG), que até o presente momento explica todos os fenômenos gravitacionais observados

com grande precis˜ao, onde os primeiros modelos cosmológicos foram propostos por Einstein

(1917), de Sitter (1917), Friedmann (1922, 1924), Lemaˆıtre (1927) e Einstein e de Sitter

(1932). O primeiro pilar observacional é a expans˜ao do universo descoberta por Hubble

(1929), através da observaç˜ao de que quanto maior a distância de uma galáxia, maior é

sua velocidade de afastamento em relaç˜ao à Via Láctea. Outra observaç˜ao astronômica

importante está relacionada à abundância dos elementos leves, como o hélio, deutério e o

l´ıtio, formados nos instantes iniciais do universo após o Big Bang. Alpher et al. (1948)

previram estas abundâncias, mas as observaç˜oes somente começaram a partir da década de

60. Por fim, Gamow previu a existência de uma radiaç˜ao de fundo que permeia o universo

(Alpher et al., 1948), uma vez que no passado matéria e radiaç˜ao interagiam, mas devido

à expans˜ao do universo, a diluiç˜ao destas fez com que a interaç˜ao cessasse e a radiaç˜ao

passasse a se propagar livremente, conhecida hoje como radiaç˜ao cósmica de fundo. Ela

foi medida pela primeira vez por Penzias e Wilson (1965).

Neste cap´ıtulo, discutimos alguns aspectos desse modelo que s˜ao relevantes para a

dissertaç˜ao. Iniciando por sua base teórica, a Relatividade Geral. O conteúdo aqui apre-

sentado faz parte dos livros texto de cosmologia e relatividade geral, como por exemplo

Weinberg (1972) e Peebles (1993).

34

Cap´ıtulo 1. Modelo Padr˜

ao da Cosmologia

1.2 A Teoria da Relatividade Geral (TRG)

A TRG é uma teoria de espaço, tempo e gravitaç˜ao, proposta por Einstein em 1915

para incorporar os efeitos gravitacionais à relatividade especial. Esta teoria explicava

os fenômenos mecânicos e eletromagnéticos mas n˜ao levava o campo gravitacional em

consideraç˜ao. Muito mais do que uma simples generalizaç˜ao, a TRG mudou nossa forma

de compreender o espaço-tempo.

A TRG se baseia em dois conjuntos de idéias. O primeiro se trata do princ´ıpio de

equivalência, o fato de que todos os corpos caem da mesma forma em um campo gravi-

tacional, independentemente de sua natureza. Assim sendo, o movimento de part´ıculas

em queda livre define um conjunto preferencial de curvas no espaço-tempo, assim como na

relatividade especial, o que sugere que podemos atribuir propriedades do campo gravita-

cional à própria estrutura do espaço-tempo. Logo, a gravidade n˜ao age como um campo,

mas sim deforma a geometria do espaço-tempo.

O segundo conjunto de idéias está relacionado ao princ´ıpio de Mach. Este princ´ıpio

diz que caracter´ısticas como movimento inercial e n˜ao-rotacional s˜ao influenciadas pela

matéria presente no universo. É importante enfatizar que tal conceito n˜ao está presente

em teorias anteriores a TRG. Einstein buscou seguir tal princ´ıpio, onde algumas idéias de

Mach foram incorporadas à TRG.

Na relatividade especial, o elemento de linha do espaço-tempo é dado por:

ds 2 = dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 ,

(1.1)

onde t é o tempo e x, y e z s˜ao as coordenadas espaciais. Podemos escrever a equaç˜ao acima de uma forma mais compacta, como mostrado abaixo:

ds 2 = ηµνdxµdxν,

(1.2)

onde ηµν é a métrica do espaço-tempo plano e s˜ao as coordenadas espaço-temporais.

Na TRG, as propriedades intr´ınsecas do espaço-tempo também s˜ao dadas por uma

métrica. Esta, entretanto, n˜ao tem a mesma forma que (1.2), uma vez que ela representa

o efeito da gravitaç˜ao sobre a estrutura do espaço-tempo. O elemento de linha é dado por

(Weinberg, 1972):

Seç˜

ao 1.3. Métrica FLRW (Friedmann–Lemaˆıtre–Robertson–Walker)

35

ds 2 = gµνdxµdxν,

(1.3)

onde gµν é a métrica que pode representar um espaço-tempo curvo. A presença de matéria

no universo influencia a estrutura do espaço-tempo de acordo com as equaç˜oes de campo

de Einstein (Weinberg, 1972):

Gµν − Λ gµν = χTµν,

(1.4)

onde Gµν é o tensor de Einstein, Λ é a constante cosmológica, Tµν é o tensor de energia-

momento e χ = 8 πG é a constante de Einstein obtida quando se toma o limite para campos

c 4

fracos. No tensor de energia-momento devemos considerar todas as fontes de energia e

press˜ao. As equaç˜oes de campo de Einstein têm o seguinte significado: do lado direito

da equaç˜ao temos as fontes de energia e press˜ao que curvam o espaço-tempo, já do lado

esquerdo temos a geometria que diz como os corpos se movimentam no espaço-tempo.

Logo, vemos que a presença de matéria influencia na curvatura do espaço, de acordo com

o princ´ıpio de Mach.

O tensor de Einstein Gµν pode ser escrito em funç˜ao do tensor de Ricci Rµν, que está

ligado às derivadas da métrica gµν, sendo expresso por:

1

Gµν = Rµν − Rg

2

µν ,

(1.5)

onde R = é o escalar de curvatura, obtido através da contraç˜ao dos ´ındices do tensor

µ

de Ricci.

De posse das equaç˜oes de Einstein, podemos construir modelos cosmológicos. Para isso,

devemos especificar as hipóteses básicas do modelo, a fim de determinarmos a métrica, e

os componentes do tensor de energia-momento, o que nos permite discutir a dinâmica

cósmica.

1.3 Métrica FLRW (Friedmann–Lemaˆıtre–Robertson–Walker)

A métrica FLRW é obtida através da imposiç˜ao do Princ´ıpio Cosmológico. Este

princ´ıpio diz que n˜ao existem observadores privilegiados no universo. Desta forma, a

cada instante t, todos os observadores devem ver o mesmo universo, o que implica que o

36

Cap´ıtulo 1. Modelo Padr˜

ao da Cosmologia

universo é homogêneo e isotrópico em grande escala. O elemento de linha para a métrica

FLRW, de uma forma geral, é dado por:

dr 2

ds 2 = dt 2 − a( t)2

+ r 2 2 + r 2 sen 2 θdφ 2 ,

(1.6)

1 − kr 2

onde r, θ e φ s˜ao coordenadas esféricas comóveis, a( t) é o fator de escala, que mede distâncias f´ısicas no universo, e k é o parâmetro de curvatura das seç˜oes espaciais assumindo os valores: k = 0 (universo plano), k = 1 (universo fechado) e k = 1 (universo hiperbólico) . Determinamos qual é a dinâmica com a obtenç˜ao do fator de escala a( t).

Para isso, devemos dizer qual é o tensor de energia-momento e a partir da´ı resolver as

equaç˜oes de Einstein (1.4).

1.4 O Redshift

O redshift é um parâmetro cosmológico observável de suma importância, visto que ele

permite determinar a raz˜ao entre o fator de escala entre dois instantes distintos. Conside-

remos um raio de luz que viaja até nós pela direç˜ao −r, com θ e φ fixos. A equaç˜ao de movimento desse raio é dada por uma geodésica nula, que nesse caso é dada por:

dr 2

ds 2 = dt 2 − a( t)2

0 .

(1.7)

1 − kr 2

Considerando que o raio saiu de uma fonte em t 1, r 1, θ 1 e φ 1, ele nos atingirá em t 0

dado pela equaç˜ao abaixo:

t 0 dt = f( r 1) ,

(1.8)

t

a( t)

1

onde:

r 1

dr

f ( r 1) =

.

(1.9)

0

1 − kr 2

Suponha também que a próxima crista da onda seja emitida em t 1 + δt 1, sendo recebida

em t 0 + δt 0. Logo, a equaç˜ao de movimento é dada por:

t 0+ δt 0 dt = f( r 1) .

(1.10)

t

a( t)

1+ δt 1

Seç˜

ao 1.5. Tensor de Energia-Momento

37

Subtraindo (1.10) de (1.8) e notando que o fator de escala varia pouco entre o tempo

t´ıpico de emiss˜ao entre duas cristas, temos que:

δt 0

δt

=

1 .

(1.11)

a( t 0)

a( t 1)

A freqüência observada hoje está relacionada à freqüência emitida pelo inverso da raz˜ao

entre as diferenças de tempo, logo temos que:

ν 0

a( t

=

1) .

(1.12)

ν 1

a( t 0)

O redshift é definido por:

λ

z = 1 − λ 0 ,

(1.13)

λ 1

sendo um parâmetro observável, uma vez que podemos relacionar o comprimento de onda

de uma linha, obtido espectroscopicamente, com o valor medido no laboratório. Podemos

reescrever o redshift em funç˜ao do fator de escala:

a( t

z =

0) 1 .

(1.14)

a( t 1)

Portanto, vemos que através da mediç˜ao do redshift da fonte podemos relacionar o fator

de escala hoje com o fator de escala no instante em que a luz foi emitida.

1.5 Tensor de Energia-Momento

No tensor de energia-momento, devemos inserir todas as componentes do universo,

como matéria e radiaç˜ao. Devido à hipótese de que o universo é homogêneo e isotrópico

em grande escala, uma boa descriç˜ao dessas componentes é feita supondo que tais podem

ser descritas por fluidos perfeitos.

Um fluido perfeito é definido como um fluido sem viscosidade e que n˜ao conduz calor

em um referencial comóvel. Matematicamente, essa última condiç˜ao é expressa por T 0 i =

T i 0 = 0. A componente tempo-tempo expressa a densidade de energia do fluido: ρ = T 00.

Se n˜ao há conduç˜ao de calor e viscosidade, só há fluxo de energia se houver fluxo de

part´ıculas. Quando o número de part´ıculas é conservado a evoluç˜ao do cosmos é adiabática.