Reconstrução Melhorada De Dados De Ressonânica Magnética Usando Aproximação De Ordem Baixa Baseada E por Davi Marco Lyra-Leite, João Paulo Lustosa da Costa - Versão HTML

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XXIII Congresso Brasileiro em Engenharia Biomédica – XXIII CBEB

RECONSTRUÇÃO MELHORADA DE DADOS DE RESSONÂNICA

MAGNÉTICA USANDO APROXIMAÇÃO DE ORDEM BAIXA BASEADA

EM DECOMPOSIÇÃO POR VALORES SINGULARES

Davi Marco Lyra-Leite, João Paulo C. Lustosa da Costa, e João L. A. Carvalho

Grupo de Processamento Digital de Sinais (GPDS)

Departmento de Engenharia Elétrica / Universidade de Brasília, Brasília–DF, Brasil

E-mail: davi@ieee.org, joaopaulo.dacosta@ene.unb.br, e joaoluiz@pgea.unb.br

Abstract: The reconstruction of magnetic resonance

ruído [3]. Em sistemas de aquisição com vários canais, a

imaging (MRI) data can be a computationally

SVD pode ser utilizado para compressão dos dados das

demanding task. Signal-to-noise ratio is also a

bobinas, a fim de trabalhar com menos matrizes durante

concern, specially in high-resolution imaging. Data

a reconstrução [5]. Aproximações baseadas em redução

compression may be useful not only for reducing

de ordem a partir de SVD podem ser aplicadas tanto

reconstruction

complexity

and

memory

antes do processo de reconstrução das imagens —

requirements, but also for reducing noise, as it is

trabalhando com os dados no espaço- k — como depois

capable of eliminating spurious components. This

da reconstrução — lidando com as imagens e visando

work proposes the use of SVD-based low-rank

reduzir a quantidade de memória necessária para o

approximation for the reconstruction and denoising

armazenamento.

of MRI data. The Akaike information criterion is

used to estimate the appropriate model order. The

model order is used to remove noisy components and

to reduce the amount of data to be stored and

processed. The proposed method is evaluated using

in vivo MRI data. We present images reconstructed

using less than 20% of the original data size and with

a similar quality in terms of visual inspection. A

quantitative evaluation is also presented.

Figura 1: Processo de aquisição e reconstrução de dados

Palavras-chave: decomposição em valores singulares;

de RMN.

aproximação por matriz de baixo posto; ressonância

magnética; redução de ruído em imagens médicas.

Este artigo propõe o uso da seleção de ordem de

modelo, bem como da aproximação por matriz de baixo

Introdução

posto, para reconstrução de dados de RMN, baseados no

critério de informação de Akaike e decomposição por

A ressonância magnética nuclear (RMN) de tecidos

valores singulares. Usando a seleção de ordem de

humanos vivos começou na década de 1970. Por ser

modelo, é possível calcular o número de componentes

uma técnica muito recente, a RMN é uma área muito

necessários para representar os dados de RMN. Então,

profícua de pesquisa nos campos de engenharia

uma aproximação de valores singulares de baixo posto é

biomédica e processamento de sinais [1]. O processo

utilizada para reconstruir a imagem de RMN, a partir de

geral de aquisição e reconstrução de dados de RMN está

um número menor de componentes. Com o intuito de

ilustrado na Figura 1. A aquisição da imagem pode usar

validar essa técnica, as reconstruções no domínio da

uma ou mais bobinas, diferentes sequências de pulsos e

imagem e no espaço- k são avaliadas e comparadas por

formatos de gradientes, sendo essa uma área de intensa

meio da razão sinal-erro ( signal-to-error ratio, ou SER)

pesquisa e trabalho. Os dados adquiridos correspondem

e por inspeção visual. Os resultados aqui apresentados

à transformada de Fourier da imagem, A( kx, ky), que

foram originalmente apresentados no IEEE Workshop

também são chamados de dados no espaço- k. A imagem

on Engineering Applications, realizado em Bogotá,

é obtida usando algoritmos de reconstrução, que

Colômbia, em maio de 2012 [6].

normalmente se baseiam na transformada inversa de

Fourier.

Formulação Matemática

A decomposição em valores singulares ( singular

value decomposition, ou SVD) é uma técnica conhecida

Nesta seção são apresentados os fundamentos

de compressão de dados [2], bem como de remoção de

teóricos da reconstrução de imagens de RMN e da

ruído [3]. Algumas aplicações já foram demonstradas

decomposição em valores singulares.

para RMN em reconstrução de dados [4] e remoção de

1

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XXIII Congresso Brasileiro em Engenharia Biomédica – XXIII CBEB

Ressonância magnética nuclear – O sinal de

reconstrução e, com isso, diminuir a quantidade de

ressonância magnética adquirido em um dado instante

dados a se trabalhar e armazenar.

no tempo t corresponde a uma amostra da transformada

Na matriz de valores singulares, é possível

de Fourier A( kx, ky) da imagem A( x,y), a saber,

identificar a ordem do modelo e com isso aplicar um

algoritmo que trabalhe apenas com a informação

ܣ൫݇

relevante à caracterização do sinal e, dessa forma,

௫, ݇௬൯ = ׬ ׬ ܣ(ݔ, ݕ)݁ି௝ଶగ(௞ೣ௫ା௞೤௬)݀ݔ݀ݕ

௫ ௬

, (1)

propicie redução do nível de ruído. O número de

componentes a serem utilizados para reconstrução do

em que as coordenadas de Fourier são dadas por

sinal foi definido a partir do critério de informação de

Akaike (AIC) [9].

݇

௫ = ఊ ׬ ܩ

ଶగ

௫(߬)݀߬

,

(2)

Critério de Informação de Akaike – O critério de

݇

informação de Akaike é usado para selecionar o número

௬ = ఊ ׬ ܩ

ଶగ

௬(߬)݀߬

,

(3)

necessário de componentes que descreve um sinal sem

perda de informação. Ele é um critério matemático

onde ߛ é a razão giromagnética (para os prótons de

baseado em teoria da informação, em que dentre um

hidrogênio ߛ = 42,57 MHz/T), e Gx( t) e Gy( t) são os

determinado conjunto de candidatos de modelos para os

gradientes variantes no tempo ao longo dos eixos x e y,

dados, o modelo preferencial será aquele que minimize

respectivamente.

o valor de AIC, dado por:

A imagem A( x,y) é reconstruída utilizando-se a

transformada inversa bidimensional de Fourier ao longo

ܣܫܥ = 2݇ − 2ln (ܮ),

(6)

de kx e ky. Os dados no espaço- k são valores digitais e

reconstruídos no computador. Assim, a imagem de

onde k é o número de parâmetros do modelo estatístico

RMN reconstruída corresponde a uma matriz de dados

e L é o valor maximizado da função de verossimilhança

em escala de cinza, A.

para o modelo estimado [9,10].

Decomposição

em

Valores

Singulares

Na análise proposta, o número AIC é calculado de

Considerando-se o sinal correspondente à imagem, que

acordo com [11]:

é usualmente uma matriz de tamanho M por N, é

possível obter os seus valores e vetores singulares de

acordo com:

ܣܫܥ = −ܰ ∙ (ܯ − ݉) ∙ log ቀ௚(௠)ቁ + ݉ ∙ (2ܯ − ݉), (7)

௔(௠)

ܣ = ்ܷܸܵ,

(4)

em que M e N correspondem ao tamanho da imagem, m

= ∑ே௜ୀଵ ߪ

௜ݑ௜ݒ௜ ,

(5)

é o número de componentes selecionados — logo o

valor que deve ser encontrado de forma a minimizar a

em que U é uma matriz M por M, S é uma matriz

expressão —, g( m) é a média geométrica dos m menores

diagonal M por N e V é uma matriz N por N.

autovalores dos dados e a( m) é a média aritmética dos m

Considerando que o posto da matriz A é r e que ܯ ≥ ܰ,

menores autovalores. Note que o quadrado dos valores

então ݎ ≤ ܰ. A equação (4) descreve a decomposição de

singulares correspondem aos autovalores utilizados em

A [7,8].

na equação (7).

As colunas de U são chamadas vetores singulares à

Depois de encontrar o valor de m que minimiza a

esquerda, { uk}, as linhas de VT correspondem aos

equação (7), é possível encontrar a ordem do modelo a

vetores singulares à direita, { vk} e os elementos da

qual fornecerá o número mínimo de componentes que

matriz S são chamados de valores singulares. Além

corretamente representam o sinal. Isso possibilita

disso, ݏ௄ > 0 para 1 ≤ ܭ ≤ ݎ , enquanto que ݏ௜ = 0

descartar as outras componentes, que passam a ser

para (ݎ + 1) ≤ ݅ ≤ ܰ. Os valores singulares são

considerados ruidosas.

organizados do maior para o menor. Com essa

Aplicação da Seleção de Ordem para a

formulação, os valores singulares que apresentam os

aproximação do Sinal por Valores Singulares – Após

menores índices são aqueles que correspondem aos

encontrar a ordem do modelo que descreve o sinal, é

componentes mais importantes do sinal. Portanto, é

possível reduzir as matrizes dos valores singulares e dos

possível aplicar um algoritmo para descobrir a ordem do

vetores singulares, selecionando apenas os elementos

modelo que representa esse sinal, possibilitando reduzir

que corretamente descrevem o sinal. Para uma matriz A

o número de componentes das matrizes U, S e V, mas

de tamanho M por N, inicialmente descrita na equação

obtendo os dados sem perdas de informação em relação

(4) — em que UM×M, SM×N e VN×N —, então, se a ordem

ao conjunto original e, possivelmente, reduzindo o nível

do modelo é dada por D ( 1 ≤ ܦ ≤ min (ܯ, ܰ) ), é

de ruído [8].

possível utilizar apenas os D valores singulares mais

altos e os primeiros D vetores singulares à direita e à

Modelo Proposto

esquerda para representar o conjunto original de dados.

Assim:

O modelo proposto visa o uso de esquemas de

decomposição baseados nas estatísticas do sinal para a

ܣ = ܷ

ௌܵௌܸௌ ,

(8)

redução dos elementos nas matrizes usadas na

= ∑஽௜ୀଵ ߪ

௜ݑ௜ݒ௜ ,

(9)

2

1169

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em que U

S e VS contêm as primeiras D colunas de U e

linhas de VT, respectivamente, e S

ೖೣ ೖ ሺห௑

S é a matriz diagonal

ೖ൫௞ೣ,௞೤൯ห

SER(dB)ൌ

.

(11)

com os D maiores valores singulares. Esse processo é

ೖೣ ೖ ሺห௑

ೖ൫௞ೣ,௞೤൯ି ஺ೖ൫௞ೣ,௞೤൯ห ሻ

chamado de aproximação por matriz de baixo posto ou

truncamento por baixa ordem.

Quanto mais alto o valor da SER, melhor a qualidade da

reconstrução.

Métodos

Resultados

Foram avaliadas as reconstruções de dados obtidos a

Depois de se aplicar a decomposição em valores

partir da seleção de ordem proposta, para conjuntos no

singulares no domínio da frequência e da imagem,

domínio da imagem e da frequência. As imagens obtidas

obtém-se os perfis dos valores singulares. A Figura 3

foram comparadas qualitativa e quantitativamente, por

apresenta o perfil de valores singulares para a análise no

meio

de

inspeção

visual

e

razão

sinal-erro,

domínio da frequência. Os dois perfis são similares,

respectivamente.

variando apenas no valor de amplitude, devido ao uso

Os dados de RMN usados neste trabalho foram

de transformada não ortonormal. De acordo com esses

obtidos de http://shorty.usc.edu/class/591/fall04/, sendo

perfis, os valores singulares mais importantes são os 50

a imagem apresentada na Figura 2 o resultado da

primeiros. Então, por essa análise simples, é possível

reconstrução usando todos os componentes das suas

verificar que a matriz de valores singulares, inicialmente

matrizes de valores e vetores singulares. Para tanto, é

de tamanho 256×256, pode ser reduzida para 50×50,

necessário apenas aplicar uma transformada discreta

sem perdas significantes de informação. Essa redução

bidimensional de Fourier inversa. Esse resultado foi

significa lidar com menos de um quinto dos dados da

usado como referência para as análises realizadas.

matriz S original. Consequentemente, U e V também

podem ser reduzidas, o que implicará em menos

operações matemáticas e um menor uso de memória de

armazenamento.

Figura 2: Imagem tomada como referência, obtida pela

reconstrução usando todos os componentes da matriz de

valores singulares.

Essa imagem corresponde a uma matriz complexa

Figura 3: Perfil dos valores singulares para a

256×256 que gera matrizes U, S e V de tamanho

decomposição no domínio da frequência (espaço- k).

256×256. Com o intuito de verificar a validade do

modelo proposto, ruído aleatório Gaussiano é

O erro quadrático médio (EQM) em função do

adicionado ao conjunto original de dados que está no

número de componentes para SVD no domínio da

domínio da frequência. Cabe ressaltar que estes já são

frequência, é apresentado na Figura 4. Com 50

originalmente ruidosos, devido ao processo de aquisição

componentes, o EQM é próximo a −11 dB, o que é um

e às heterogeneidades do canal. A seguir, a

bom limite a ser utilizado nas reconstruções.

decomposição em valores singulares é aplicada, no

domínio da imagem e no domínio da frequência. A

adição de ruído proposta pode ser modelada como:

ܺ௞൫݇௫, ݇௬൯ ൌ ܣ௞൫݇௫, ݇௬൯ ൅ ݊ሺ݇௫, ݇௬ሻ, (10)

em que n( kx, ky) corresponde a ruído Gaussiano aditivo

com variância ߪଶ

ௌ ൌ 9.

O número de valores singulares usado para a

reconstrução final é escolhido utilizando-se o critério de

Akaike e inspeção visual.

Os resultados das reconstruções são analisados (i)

sob a ótica qualitativa, em que se verificam visualmente

Figura 4: Erro quadrático médio em função do número

as reconstruções e como elas se comportam com relação

de componentes, para análise no espaço- k.

è referência (se há novos artefatos, se as principais

características da imagem estão presentes, etc.), e (ii)

Ao se aplicar o critério da seleção de Akaike no

quantitativamente, por meio da SER, calculada como:

domínio da frequência, o critério indica o menor

3

1170

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número de componentes a ser utilizado como sendo 30.

Os resultados apresentados na Tabela 1 mostram que

Então, as matrizes U, S e V ficam com tamanhos

o método se comporta quantitativamente bem, visto que,

256×30, 30×30 e 256×30, respectivamente. A imagem

mesmo para pequenos números de componentes, a SER

reconstruída utilizando esses 30 componentes pode ser

é superior a 10dB. Ao se comparar os resultados do

vista na Figura 5(a), enquanto o erro da reconstrução é

truncamento no domínio da imagem e no espaço- k em

apresentado na Figura 5(b). Embora a imagem de erro

termos da razão sinal-erro, pode-se concluir que as duas

apresente elementos coerentes com a imagem do

abordagens são idênticos. Logo, é equivalente

cérebro, a SER dessa reconstrução é 18,8 dB, o que é

implementar o algoritmo no domínio da imagem ou no

um valor alto e indica que o processo foi realizado

espaço-k, isto é, antes da reconstrução. Esse é um

corretamente.

resultado importante, pois permite que os dados sejam

reconstruídos a partir de um conjunto de dados menor,

implicando assim em um menor custo computacional,

sem diferenças na qualidade da reconstrução.

(a)

(b)

Figura 5: Resultados obtidos utilizando a abordagem

(a)

(b)

AIC/SVD proposta e apenas 30 componentes, para o

domínio da frequência: (a) imagem reconstruída; (b)

erro residual, com relação à imagem de referência,

apresentada na Figura 2.

Aplicando o mesmo processo para os dados no

domínio da imagem, o AIC retorna como número

suficiente de componentes, o mesmo número obtido na

análise anterior: 30. A imagem usando o truncamento

(c)

(d)

com 30 componentes da SVD é apresentado na Figura 6.

Figura 7: Imagens obtidas utilizando apenas 10

Como esperado, os dois resultados são bem similares,

componentes das matrizes da SVD: (a) reconstrução dos

sendo que a maior diferença entre dois pixels das

dados com o processamento no espaço- k; (b)

imagens obtidas em ambas reconstruções é 10-14, o que

reconstrução com o processamento no domínio da

pode ser considerado erro de quantização. Desse modo,

imagem; (c) erro entre a reconstrução no espaço- k e a

os dois resultados podem ser considerados idênticos.

imagem de referência; e (d) erro entre o resultado do

processamento no domínio da imagem e a referência.

Tabela 1: Razões sinal-erro (em dB) para reconstruções

no domínio da frequência (DF) e domínio da imagem

(DI), além do erro quadrático médio para diferentes

números de componentes.

Número de

SERDF

SERDI

EQM

componentes

(dB)

(dB)

(dB)

10

13,4

13,4

−6,7

31

19,0

19,0

−9,5

Figura 6: Imagem reconstruída utilizando a abordagem

55

22,4

22,4

−11,2

AIC/SVD proposta, para o domínio da imagem.

79

24,9

24,9

−12,5

Na Figura 7, são apresentadas as reconstruções nos

88

25,8

25,8

−12,9

dois domínios, utilizando-se apenas 10 componentes.

97

26,7

26,7

−13,3

Vê-se que ambos processos apresentam resultados ruins,

109

27,9

27,9

−13,9

e o processo de remoção de ruído não é muito eficiente.

118

28,8

28,8

−14,4

Nesse caso, dados significativos são interpretados como

124

29,4

29,4

−14,7

ruído e são removidos no truncamento. Com isso, a

130

30,1

30,1

−15,0

imagem de erro é muito coerente com a imagem

original, o que indica que importantes componentes

Usando o AIC para selecionar o número de

foram descartadas.

componentes (30), a SER é de 18,8 dB, o que é um

resultado aceitável. Entretanto, quando o esforço

4

1171

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XXIII Congresso Brasileiro em Engenharia Biomédica – XXIII CBEB

computacional não é um problema, pode-se aumentar a

espaço- k, visto que os resultados apresentados são

SER usando-se um número maior de componentes,

idênticos tanto para a análise qualitativa como para

como, por exemplo, 128 (isto é, 50% dos dados

quantitativa. Desse modo, é viável e recomendado

originais). Isso resultaria em matrizes maiores,

utilizar o processo ainda no espaço- k, isto é, antes da

entretanto a SER subiria para 29,8 dB.

reconstrução, possibilitando assim reduzir o custo

Realizando uma análise qualitativa, é possível

computacional deste procedimento.

identificar o ponto aproximado em que a reconstrução

se torna visualmente similar à referência e aquele em

Agradecimentos

que ela começa a representar corretamente a imagem

desejada. Na análise realizada nesse experimento, essas

Este trabalho foi financiado pelo Conselho Nacional

imagens correspondem àquelas reconstruídas com 10 e

para Desenvolvimento Tecnológico e Científico (Edital

28 componentes, respectivamente. Eles estão indicados

MCT/CNPq Nº 014/2010 - Universal). Lyra-Leite

na Figura 8 pelos pontos vermelho e verde.

recebeu

uma

bolsa

de

iniciação

científica

ProIC/DPP/UnB do CNPq.

Referências

[1] Larkman, D. J., Nunes, R. G. (2007) “Parallel magnetic resonance

imaging”, In: Physics in Medicine and Biology, 52:R15-R55.

[2] Chen, W., Duan, W. (2009) “Computational aspects of

mathematical models in image compression”, Dissertação de

Mestrado, Chalmers University of Technology, Göteborg, Suécia.

[3] Patel, V., Shi, Y., Thompson, P. H., Toga, A. W. (2011), “MRI

Figura

8:

Quantidade

de

memória

de

reconstruction using SVD in the least square sense”, In:

Proceedings of the 8th IEEE International Symposium on

armazenamento para os dados reconstruídos de acordo

Biomedical Imaging (ISBI 2011), Chicago, Estados Univos, 30

com o número de componentes utilizados no processo.

Mar. - 02 Apr.

Por fim, também se verificou a quantidade de

[4] Yaacoub, F., Abche, A., Karam, E., Hamam, Y. (2008), “MRI

reconstruction using SVD in the least square sense”, In:

memória requerida para armazenamento dos dados

Proceedings of the 21st IEEE International Symposium on

utilizando a reconstrução proposta, visto que essa

Computer-Based Medical Systems, Jyväskylä, Finlândia, 17-19

abordagem é comumente utilizada para compressão de

Jun.

dados. Usando o AIC, o processo de reconstrução usa

[5] Buehrer, M., Pruessmann, K., Boesiger, P., Kozerke, S. (2007)

11,7% da memória usada para a reconstrução com o

“Array compression for MRI with large coil arrays", In: Magnetic

conjunto completo de dados. Entretanto, como citado

Resonance in Medicine, 57(6): 1131-1139.

anteriormente, a reconstrução usando a metodologia

proposta se mostra similar à imagem de referência,

[6] Lyra-Leite, D. M., da Costa, J. P. C. L., Carvalho, J. L. A. (2012),

obtida sem descartar componentes. Portanto, além de

“Improved MRI reconstruction and denoising using SVD-based

low-rank approximation”, In: Proceedings of the 2012 IEEE

reduzir

as

componentes

ruidosas,

o

uso

da

Workshop on Engineering Applications, Bogotá, 02-04 Maio

decomposição por valores singulares e seleção da ordem

do modelo reduz a quantidade de memória necessária

[7] Haykin, S. (1993), Adaptive Filter Theory, New Jersey: Prentice-

para o armazenamento, mostrando-se uma abordagem

Hall International.

interessante para ser aplicada com dados de RMN em

[8] Wall, M. E., Rechtsteiner, A., Rocha, L. M. (2003) “Sigular value

alta-resolução, de múltiplos canais ou de várias

decomposition and principal component analysis”, In: A Practical

dimensões.

Approach to Microarray Data Analysis Ed.: D. P. Berrar, W.

Dubitzky, M. Granzowr, Norwell: Kluwer, p. 91-109.

Conclusão

[9] Bozdogan, H. (2000) “Akaike's Information Criterion and Recent

Developments on Information Complexity ", In: Journal of

Os resultados sugerem que o truncamento baseado

Mathematical Psychology, 44: 62-91.

nos valores singulares funciona para dados de RMN e

[10] Burnhamand, K. P., Anderson, D. R. (2004) “Multimodel

pode melhorar a reconstrução ao reduzir o nível de

inference: understanding AIC and BIC in Model Selection", In:

ruído observado e diminuir a demanda computacional

Sociological Methods and Research, 33: 261-304.

do processo. Além disso, menos memória é necessária

para realizar os processamentos e o armazenamento dos

[11] Wax, M., Kailath, T. (1985) “Detection of signals by information

theoretic criterion”, In: IEEE Transactions on Acoustics, Speech

dados. Os resultados ainda mostraram que é indiferente

and Signal Processing, 33: 387-392.

realizar o processo no domínio da imagem ou no

5

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