Relações de poder no processo de ensino e aprendizagem de matemática por João Paulo Attie - Versão HTML

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

FACULDADE DE EDUCAÇÃO

JOÃO PAULO ATTIE

Relações de poder no processo de

ensino e aprendizagem de matemática

São Paulo

2013

JOÃO PAULO ATTIE

Relações de poder no processo de

ensino e aprendizagem de matemática

Tese apresentada à Banca

Examinadora da Faculdade de

Educação da Universidade de São

Paulo, para obtenção do título de

Doutor em Educação.

Área de Concentração: Ensino de

Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Manoel

Oriosvaldo de Moura.

São Paulo

2013

Autorizo a reprodução total ou parcial deste

trabalho, por qualquer meio convencional

ou eletrônico, para fins de estudo e

pesquisa, desde que citada a fonte.

Attie, João Paulo.

Relações de poder no processo de ensino e

aprendizagem de matemática / João Paulo Attie;

orientador Manoel Oriosvaldo de Moura – São

Paulo, 2013.

164 p.:

Tese (Doutorado) – Universidade de São Paulo,

2013.

1. Interação Professor-Aluno. 2. Relações de

Poder. 3. Educação Matemática. I. Moura, Manoel

Oriosvaldo. II. Título.

ATTIE, J. P. Relações de poder no processo de ensino e

aprendizagem de matemática.

Tese apresentada à Faculdade de

Educação da Universidade de São

Paulo para obtenção do título de

Doutor em Educação.

Aprovado em: 23/ 04 / 2013

Banca Examinadora

Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura Instituição: FEUSP

Julgamento: Assinatura:

Prof. Dr. Vinício de Macedo Santos Instituição: FEUSP

Julgamento: Assinatura:

Prof. Dr. Oscar João Abdounur Instituição: IME – USP

Julgamento: Assinatura:

Profa. Dra. Flavia Dias Ribeiro Instituição: UFTPR

Julgamento: Assinatura:

Prof. Dr. Wellington Lima Cedro Instituição: IME – UFG

Julgamento: Assinatura:

À Rosana,

ao Gabriel

e à Beatriz.

Agradecimentos

Ao meu orientador, Ori, que, mais uma vez, me acompanha nesta trilha,

mostrando, com sua ação e seu exemplo, que os caminhos que percorremos para aprender

e conhecer são árduos e, por vezes, temíveis, mas imensamente compensadores.

Aos professores que, mesmo sem saber, foram responsáveis por certas

alternativas escolhidas nesta trilha acadêmica. Flávia Schilling, pelo precioso auxílio em

minhas primeiras incursões ao mundo foucaultiano. Vinício de Macedo Santos e

Wellington Cedro, pelas fundamentais contribuições, especialmente por terem vindo em

um momento tão decisivo do trabalho. Oscar Abdounour, pela incomparável capacidade

de ouvir e de buscar as estruturas ocultas por trás da realidade aparente. E, por fim,

Bernard Charlot, que, em uma das encruzilhadas mais difíceis do caminho, foi a bússola

que me manteve na trilha.

Aos colegas do Grupo GEPAPe, um agradecimento especial pelo amparo nesse

processo. Flávia Ribeiro, as Carolinas, Flávia Asbahr, Bel, Elaine, Ronaldo, enfim, o

grupo todo foi fundamental nessa caminhada e sei que é injusto citar apenas alguns nomes,

mas, de toda forma, as relações evoluem de maneiras e em direções diversas.

Aos colegas da Universidade Federal de Sergipe, pela acolhida e pelo

companheirismo, quero fixar o agradecimento especialmente nos nomes de Rita e Denize,

mas também ao Franklin, Lúcia, Aryana, Francisco e Danilo.

Aos amigos que acompanharam e me mantiveram nessa jornada, de perto ou de

longe, Gleidson, Nádia, Marta e Lorisvaldo, Janice, Ana Paula e Nilson.

Aos estudantes, a seus pais e aos profissionais da educação, especialmente aos

da rede pública estadual, que se dispuseram a dar um pouco do seu tempo e de sua

reflexão para a coleta dos dados deste estudo.

Ao professor Jorge Miguel, cujas aulas encantadas (de literatura!) me levaram a

seguir a carreira de professor.

Aos familiares e amigos, que tiveram horas de convívio subtraídas nesta etapa,

e que souberam compreender e amparar esta empreitada. Em particular, além do Biel e da

Bia, esses rebentos cada vez mais belos e ao Tito, novo e promissor parceiro, um obrigado

especial ao Zé Luís e ao João, parceiros inestimáveis e incomparáveis no apoio.

RESUMO

ATTIE, J. P. Relações de poder no processo de ensino e aprendizagem de

matemática. 164 p. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação, Universidade de São

Paulo, São Paulo, 2013.

A sala de aula de matemática é um contexto no qual são tecidas as relações de poder

entre professor e aluno, ainda que esse possa não ser um fenômeno consciente para os

sujeitos diretamente envolvidos. Consideramos que a ocorrência dessas relações não é,

por si, um acontecimento que mereça um julgamento moral. O objetivo deste trabalho é

investigar as Relações de Poder estabelecidas entre professor e aluno na aula de

matemática e discutir suas implicações para o ensino e a aprendizagem dessa disciplina.

Para esse objetivo ser alcançado, nos aprofundamos nos conceitos de poder e de

relações de poder e em algumas características das relações de poder, que

fundamentamos principalmente nos escritos de Foucault e Bourdieu. Detivemo-nos

também no processo histórico de institucionalização da matemática na sociedade. Foi

realizado um trabalho de campo, que desenvolvemos com a aplicação de entrevistas,

semiestruturadas, no caso de professores e pais de alunos, separadamente, e utilizando

as técnicas de Grupo Focal, com alunos, em duas escolas com algumas características

distintas. No trabalho de campo, obtivemos de cada grupo elementos que ampararam

nossa análise. Dos alunos, alcançamos elementos que nos permitiram perceber como

são descritas por eles as modalidades instrumentais, o sistema de diferenciações e as

formas de institucionalização do exercício do poder nas relações entre estes e seus

professores; dos pais, obtivemos suas impressões sobre a importância que atribuem ao

desempenho em matemática para a vida dos filhos, configurando uma das formas de

institucionalização do poder atribuído à disciplina; por fim, dos professores,

vislumbramos a presença do formalismo, as modalidades instrumentais e os graus de

racionalização que são produzidos em suas práticas pedagógicas.

Palavras-Chave: Interação Professor-Aluno. Relações de Poder. Educação Matemática.

ABSTRACT

ATTIE, J. P. Power Relations in the Process of Teaching and Learning of

Mathematics. 164 p. PhD Thesis. Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo,

São Paulo, 2013.

The mathematics classroom is a context in which are woven the power relations

between teacher and student, although this may not be a conscious phenomenon for

subjects directly involved. We consider that the occurrence of these relationships is not,

in itself, an event that deserves a moral judgment. The objective of this study is to

investigate the relations of power established between teacher and student in math class

and discuss their implications for the teaching and learning of the discipline. For this

goal to be achieved, we delve into certain concepts, such as power and power relations

and some characteristics of power relations, that we base in the writings of Foucault and

Bourdieu and we studied also the historical process of institutionalization of

mathematics in society. We conducted a field study, we developed the application with

interviews, semi-structured, in the case of teachers and parents separately, and using the

techniques of focus group with students in two schools with some distinct

characteristics. During the fieldwork, each group got elements that bolstered our

analysis. Students, elements that have allowed us to reach realize how they are

described by the terms instrumental in the exercise of power relations between them and

their teachers; parents, got their impressions of the importance they attach to

mathematics performance for the life of the children, configuring a form of

institutionalization of power assigned to the discipline; finally, the teachers, we see the

degrees of rationalization that are produced in their teaching.

Keywords: Teacher-Student Interaction. Power Relations. Mathematics Education.

9

LISTAS

FIGURAS:

Figura 1. Matemática e Religião ............................................ p. 22

Figura 2. Tirei Dez …............................................................. p. 26

Figura 3. Nota …..................................................................... p. 26

Figura 4. As Namoradas de Papai .......................................... p. 65

Figura 5. Crescei e Multiplicai-vos ….................................... p. 69

Figura 6. Visão Geral das Posições... ..................................... p. 71

Figura 7. Problema 32: Papiro de Rhind .............................. p. 155

Figura 8. Melancholia .......................................................... p. 164

TABELAS:

Tabela 1. Índices do IDEB ..................................................... p. 91

Tabela 2. Distribuição de dez vagas: Regra atual …............ p. 142

Tabela 3. 1a Vaga, Distribuição de onze vagas .................... p. 143

Tabela 4. 2a Vaga, Distribuição de onze vagas …................ p. 143

Tabela 5. Distribuição de dez vagas: Regra antiga ….......... p. 143

Tabela 6. Distribuição de onze vagas ................................... p. 144

Tabela 7. Resultados da Votação …..................................... p. 145

Tabela 8. Algoritmo de Duplicação …................................. p. 155

GRÁFICOS

Gráfico 1. Diversidade entre os índices …............................ p. 91

10

SUMÁRIO

Introdução ........................................................................................................ p. 11

I. A Produção de um paradoxo: o orgulho da ignorância …............................ p. 14

II. A Presença da Matemática na Escola e na Sociedade …........................... p. 26

III. Representações sobre os modos de fazer, ensinar e aprender Matemática:

rastros do humano ........................................................................................... p. 57

IV. Relações de Poder ..................................................................................... p. 74

V. Metodologia ................................................................................................ p. 88

VI. Dados e Análise ......................................................................................... p. 98

VII. Considerações Finais ............................................................................ p. 117

VIII. Bibliografia ........................................................................................... p. 131

IX. Apêndices ................................................................................................ p. 142

X. Anexo ........................................................................................................ p. 164

11

Introdução:

Este trabalho teve como objetivo investigar as Relações de Poder estabelecidas

entre professor e aluno na aula de matemática e discutir suas implicações para o ensino

e a aprendizagem dessa disciplina. Dentro do contexto das interações professor-aluno,

que é um dos inúmeros fenômenos que influenciam o processo de ensino e

aprendizagem, emergem relações de poder, ainda que este elemento possa não ser

conscientemente compreendido pelos sujeitos do processo. Longe de ser um fenômeno

restrito à sala de aula, compreendemos que ele permeia o campo de toda a sociedade e

sofre influência de vários agentes, como por exemplo, os pais, os meios de

comunicação, os professores de outras áreas, entre tantos outros.

A maneira como os alunos e os professores de matemática enxergam as

interações ocorridas em sala de aula influenciam fortemente as reações e

comportamentos assumidos pelos primeiros e também a prática pedagógica como um

todo destes últimos, aí incluídos vários componentes dessa prática, tais como o

planejamento e a avaliação, por exemplo. Assumimos como pressuposto, também

apoiados em pesquisa bibliográfica realizada (PISCARRETA, 2001; HELIODORO,

2002; SILVA, 2004; UTSUMI, 2008), que essas interações são determinantes na

disposição dos estudantes para a aprendizagem da disciplina, residindo aí um dos

fatores importantes para analisarmos as Relações de Poder entre professor e aluno

vivenciadas em relação à matemática e discutirmos suas implicações para o ensino e a

aprendizagem dessa disciplina.

O objeto de pesquisa com o qual trabalhamos nos foi proporcionado a partir de

uma questão principal, que se constituiu ao longo de nossa trajetória acadêmica e

profissional, a partir de um locus ao mesmo tempo peculiar e abrangente, que é o lugar

de professor de matemática. Peculiar, pois ser (e já ter sido durante vários anos)

professor de Matemática 1 é a especificidade, a particularidade que nos permitiu

enxergar indícios de dois fenômenos complementares em estudantes, pais, colegas de

outras disciplinas, coordenadores, etc. E abrangente, pois a percepção desses elementos

não se deu apenas na sala de aula, ao contrário, pois nos parece que eles ocorriam e

ocorrem tanto dentro como fora da escola.

1 Em nosso caso, nos níveis de Ensino Fundamental, Médio e/ou Superior nas últimas três

décadas.

12

A questão a que estamos nos referindo é o fenômeno da “aversão à matemática”,

experimentada de maneira quase espontânea por grande número de indivíduos, que pode

se desdobrar em um segundo fenômeno, que chamaremos de “renúncia em aprender

matemática”.

No capítulo I, fazemos uma análise acerca de como se processa, a nosso ver, o

mecanismo disparador desses fenômenos. Além disso, em se tratando do universo

escolar, ressaltamos aspectos que se mostraram relacionados ao longo do trabalho,

acerca de três elementos principais, o ensino de matemática, o conhecimento

matemático e a aprendizagem da matemática. Nas representações atualmente presentes

sobre o conhecimento matemático necessário na escola, aparecem características tais

como a necessidade do rigor, e as supostas exatidão e infalibilidade deste conhecimento.

Em relação ao ensino, destacamos a predominância do aspecto formalista e a

consequente diferença que essa característica implica relativamente ao ensino das outras

disciplinas. Acerca da aprendizagem, sobressaem aspectos como a necessidade da

linearidade e também da submissão às regras. Tais características implicam em uma

enorme disparidade entre o que seriam a matemática escolar e a atividade matemática.

Enquanto a primeira envolveria principalmente a repetição e a memorização de regras e

algoritmos, na segunda haveria a necessidade da compreensão dos processos por trás

dos procedimentos. Uma das mais trágicas decorrências desse cenário seria a carência

de argumentações (lógica e didaticamente) válidas no processo de ensino e

aprendizagem da disciplina, com evidentes implicações na produção das relações de

poder dentro do processo.

Em seguida, no capítulo II, discorremos sobre o papel e a valorização da

matemática na escola e na sociedade, a partir de uma série de elementos. A partir da

importância que os pais de alunos atribuem ao desempenho na disciplina, abordamos

também a quantidade de horas que as aulas de matemática ocupam dentro dos currículos

escolares, identificando as várias justificativas apontadas para essa prerrogativa. Além

disso, também destacamos a força que esse conhecimento empresta aos principais

sistemas de avaliação, finalizando com uma descrição do processo histórico de

valorização do conhecimento matemático, com a identificação de alguns pontos de

inflexão desse processo dentro da história humana. Ressaltamos ainda que, apesar da

inegável penetração do conhecimento matemático em quase todas as instâncias do

13

cotidiano, a invisibilidade desse conhecimento se apresenta também como um

fenômeno inquestionável.

No capítulo III, consideramos a importância de identificarmos as representações

que os indivíduos possuem a respeito, por exemplo, da matemática ou do professor de

matemática, pois estas representações irão interferir nas interações que incluam esses

elementos. Dessa forma, neste capítulo, identificamos várias dessas representações, nos

fornecendo elementos que irão subsidiar nossa investigação sobre as relações de poder,

que são consideradas no capítulo IV. Neste capítulo, destacamos os fundamentos

teóricos que utilizamos para a compreensão dos processos que alicerçam, produzem,

modificam e perpetuam as relações de poder. De como, por exemplo, conforme afirma

Bourdieu, o poder simbólico necessita da legitimidade do outro para se firmar, passando

pelas características necessárias para as análises das relações de poder, especialmente

trazidas por Foucault, como, por exemplo, as modalidades instrumentais, o sistema de

diferenciações e as formas de institucionalização, entre outras.

No capítulo V, apresentamos as opções trilhadas na pesquisa e fazemos uma

descrição de como se deu esse desenvolvimento, como por exemplo, o processo de

seleção dos sujeitos e de escolas com características distintas, bem como das escolhas

dos instrumentos de coleta de dados mais apropriados a cada categoria, entrevistas

semiestruturadas para pais e professores e grupo focal para alunos.

Em seguida, apresentamos os dados obtidos e realizamos uma breve análise

interpondo os fundamentos teóricos presentes nos elementos alcançados nas entrevistas.

Finalmente, no último capítulo, fazemos as considerações finais sobre o

trabalho, confirmando a ocorrência das características das relações de poder e da

existência das representações e ainda, considerando algumas das consequências para o

processo de ensino e aprendizagem de matemática. Consideramos ainda o fato de que a

invisibilidade do conhecimento matemático estimula e é estimulada pelo processo de

alienação do indivíduo, que sucede e se eterniza em face de um crescente movimento de

abstração desse conhecimento, historicamente determinado, consequência do

afastamento de seus processos de significação.

14

Capítulo I: A produção de um paradoxo: o orgulho da ignorância

Saber matemática parece ser um domínio em que, no sentimento da maioria das

pessoas, não existem meios termos. Ou a pessoa sabe matemática, ou não sabe, é o que

se acredita e se propaga. É uma área que ainda é “... vista pela grande maioria como

algo a ser dominado somente por poucos iluminados” (SAKAY, 2007, p. 119), crença

essa que estaria ligada a questões “arraigadas e vivenciadas por todos nós” ( idem,

ibidem).

É uma arena 2 em que as atribuições sobre esse saber se valem de uma lógica

binária, em que as várias, quase infinitas, gradações de cinza existentes entre o preto e o

branco, ou respectivamente, o saber tudo e o não saber nada em matemática, não tem

oportunidade de aparecer. Consideramos desnecessário, porém não exagerado, salientar

que não existe atualmente um indivíduo que conheça toda a matemática produzida.

Alguns dos mais respeitados historiadores da matemática consideram que o matemático

francês Henri Poincaré tenha sido, na passagem dos séculos XIX e XX, o último

“universalista” da matemática (BELL, 1986, p.527; BOYER, 1974, p.441; EVES, 2005,

p.617) 3. Considera-se que o início do século XX tenha sido o ponto em que a qualidade

e a quantidade da matemática produzida tenham chegado a um nível “muito além do

entendimento de qualquer pessoa” (DAVIS & HERSH, 1995, p.35). E, em

contrapartida, tampouco seria possível afirmar que exista um indivíduo que não saiba

nada do assunto. Além das tradicionalmente conhecidas capacidades de contar e de

fazer relações geométricas, usualmente as únicas atribuídas ao pensamento matemático,

as capacidades de comparar, ordenar, classificar, estimar, relacionar e generalizar, entre

outras, também fazem parte do que pode ser considerado o saber matemático. Com isso,

é razoável ponderarmos que seria impossível a própria sobrevivência de um indivíduo

sem nenhuma dessas capacidades, mesmo desconhecendo qualquer vestígio de

matemática formal. Apesar disso, são constrangedores a intensidade e o alcance social

do pensamento de que um indivíduo deve pertencer a apenas um desses dois conjuntos

2 O termo arena é utilizado bem a propósito, pois acreditamos estar diante de um dos “campos

de luta” da realidade, em torno da imposição de sentidos (FOUCAULT, 2007). Consideramos,

entretanto, que, sem uma espécie de planejamento (uma metodologia, ou mesmo uma

perspectiva), não será uma luta de verdade.

3 Um dos mais importantes matemáticos do século XIX, James Sylvester, comenta seu enlevo ao

encontrar-se pessoalmente com Poincaré: “... Na presença de tão imensa força intelectual,

minha língua, de início, se recusou a agir, e não seria depois de alguns minutos que eu tivesse

percebido e absorvido sua presença, que pude estar em condições de falar qualquer coisa.”

(BELL, 1986, p.526-527, tradução nossa).

15

excludentes. Acredita-se, em geral, que, ou a pessoa “sabe” matemática e, neste caso, é

considerada uma pessoa inteligente, “eleita”, in, fazendo parte do seleto grupo dos

quase gênios, ou então, no caso de o indivíduo não pertencer a esse grupo de seres

“especiais”, ou seja, de estar incluído entre os que “não sabem” matemática, é

considerada, conscientemente ou não, uma pessoa inferior, ignorante, out, comparada a

um “deficiente”, com o sentido pejorativo que frequentemente acompanha o termo.

O bom desempenho em Matemática é considerado, em geral, como

uma mostra de sabedoria e inteligência. Consideram-se as pessoas que

têm facilidade para Matemática como gente especial, com algum dom

extraordinário: o saber matemático goza de prestígio [...] e esse

“prestígio”, por sua vez, gera em quem tem dificuldades uma aversão

muito forte à Matemática. (MARKARIAN, 2004, p. 276, 277).

Não seria excessivo, supomos, dizer que a imensa maioria da humanidade se

considera fazendo parte do segundo grupo, o dos que “não sabem matemática”. Essa

dicotomia, essa binariedade que se coloca entre o ‘saber tudo’ e o ‘não saber nada’, sem

a existência de gradações de cinza entre os dois polos, é um dos elementos que, aliados

à aversão à matemática 4, produzem um campo fértil para o nascimento e crescimento

do fenômeno da renúncia em aprender o conteúdo da disciplina. O sentimento de ser

excluído, de estar fora de um grupo inconfessadamente desejado, porém tido como

inalcançável, faz com que uma parte dos indivíduos reaja desdenhando esse desejo e

esse grupo. Cria-se assim, numa consequência secundária, um contingente que termina

propagando com altivez sua ignorância em matemática, um conjunto de indivíduos que,

por estar obrigatoriamente colocado em uma categoria de suposta inferioridade, reage

não somente aceitando a classificação de inferioridade que lhes é impingida (pois

considera não possuir os meios para refutá-la), mas inverte essa classificação e, de

modo altaneiro, até mesmo orgulhoso, publicamente se regozija ao abraçar essa fortuna,

a de pertencer ao conjunto, ao grupo dos que não sabem matemática. E é importante que

esse propagar seja feito de forma pública, alardeada aos quatro cantos, pois, de maneira

particular, reservada, essa alegria não conseguiria esconder um ressentimento inicial,

que está na origem desse tipo de reação. É somente no corpo social que esse falso

orgulho viceja e sobrevive. Entre as pessoas ditas letradas, inclusive, é comum que

4 “... nossa sociedade parece estar repleta de indivíduos que desenvolveram uma aversão a esta

disciplina e que, irremediavelmente, vão transmitindo uma imagem pejorativa da Matemática a

quem os rodeia” (SOUSA, 2005, pág. 3).

16

alguém se envergonhe “... de ser flagrada incapaz de diferenciar concretismo de

futurismo, mas essa mesma pessoa se orgulha de “odiar” a matemática...” (SILVA,

2004, p.99).

O matemático Godfrey Hardy utiliza-se de uma certa dose de acidez ao

comentar o fenômeno:

O fato é que existem poucas disciplinas tão “populares” como a

matemática. A maioria das pessoas tem alguma estima pela

matemática, do mesmo modo que a maioria consegue apreciar uma

melodia agradável, e, com toda a probabilidade, há mais pessoas

realmente interessadas em matemática do que em música. As

aparências podem até sugerir o contrário, mas há explicações simples

para o fenômeno. A música pode ser usada para estimular as emoções

das massas, ao passo que a matemática não; se a incapacidade musical

é reconhecida (e bem) como ligeiramente descredibilizante, a maior

parte das pessoas sente tal pavor pelo nome da matemática que está

genuinamente disposta a exagerar a sua estupidez na matéria.

(HARDY, 2007, p.74)

Aparece desta forma, como podemos perceber, a outra face dessa mesma

moeda, uma das características complementares da renúncia em aprender matemática,

um pretenso, mas, ao nosso ver, falso, “orgulho da ignorância”, uma certa alegria de não

fazer parte de um grupo com a evidente tentativa de desqualificação do mesmo.

Parafraseando a fábula de Esopo 5, poderíamos afirmar que sim, as uvas estavam mesmo

verdes e não nos interessaram verdadeiramente em nenhum momento. Se, na fábula a

que nos referimos, faltam à raposa melhores instrumentos, ou talvez um pouco mais de

sorte, para que as uvas pudessem ter sido alcançadas, a situação não se mostra tão

diferente fora do mundo da fantasia, no caso do grupo que estamos considerando. No

animal, falta a consciência de que ele tem condições para agarrar o alimento, se

possuísse ferramentas apropriadas. No indivíduo que acredita “não saber matemática”,

da mesma forma falta essa consciência, a de que existem instrumentos adequados para

que ele possa compreender como já utiliza matemática em sua vida (e como pode

utilizá-la melhor). Dessa forma, o que poderia diferenciar o humano do animal não se

faz presente nestes indivíduos, a disposição de poder modificar sua própria história, de

superar as limitações impostas pelas condições existentes. Falta assim, tanto no homem

quanto na raposa, a consciência de que fala o filósofo espanhol, quando afirma que “o

5 Na fábula “A Raposa e as Uvas”, a primeira, não conseguindo, após várias tentativas, alcançar

as frutas, por estarem no alto da parreira, vai-se embora, afirmando não querer de fato as uvas

por estas não estarem maduras. (ESOPO, 1997).

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homem rende ao máximo de sua capacidade quando adquire plena consciência de suas

circunstâncias” (ORTEGA y GASSET, 1981, p.21, tradução nossa) 6. A suposta

incapacidade do indivíduo é algo que ele acredita estar dentro dele (e que se configura,

para ele, imutável, quase uma marca genética que esse indivíduo carregará pela vida

após ter sido qualificado como incapaz). A analogia que se permite fazer com a raposa é

a de que ela mesma tivesse um “defeito” incorrigível que não a permitisse sequer sonhar

com a suculenta refeição. Pois, mesmo que as uvas estivessem maduras e ao alcance,

nunca lhe seria permitido saboreá-las, e, pior, por sua própria suposta incapacidade.

Ainda que esse fenômeno careça de comprovação estatística, consideramos que

ele ocorra tão frequentemente nos vários campos sociais, além da própria escola, que

podemos atribuir a ele uma expressão, cunhada por Foucault, como sendo um daqueles

“fatos banais”. O filósofo francês, quando utiliza a expressão “fato banal”, não o faz

considerando o sentido de que o acontecimento não seja algo importante, mas sim com

o significado de ser um fato que acontece “o tempo todo” e que “todo o mundo

conhece”. E é justamente por ocorrer com tanta frequência, que esse acontecimento

acabaria passando pelos indivíduos de maneira completamente despercebida, causando,

aí sim, a impressão de que seria um fato pouco importante, ou seja, banal, no sentido

mais corrente do termo na linguagem cotidiana. A aversão à matemática e a

consequente renúncia em aprendê-la, é, a nosso ver, um desses acontecimentos sobre o

qual afirmaríamos, como o autor, que: “não é por serem fatos banais que não existem”.

O que é necessário fazer com esses fatos é “descobrir, ou pelo menos tentar descobrir

qual o problema específico e, talvez original, que aí se estabelece” (FOUCAULT, 1995,

p.232).

A existência desse fenômeno é igualmente ratificada pelo historiador Paul

Veyne, segundo o qual certos fatos humanos não são óbvios e, no entanto, “... parecem

tão evidentes aos olhos dos contemporâneos e mesmo de seus historiadores que nem uns

nem outros sequer o percebem”. (VEYNE, 1982, p.152)

Desta forma, manifesta-se um processo de naturalização do fenômeno, conceito

apontado e criticado por Marx (1987, p. 83-84), como parte de um procedimento que

torna o indivíduo incapaz de compreender o processo histórico e social de sua própria

formação. Tal artifício remete à tentativa de justificar as desigualdades por meio de

supostas causas naturais. No caso da naturalização do fenômeno ao qual fazemos

6 E em outra passagem: “Eu sou eu e minha circunstância” (ORTEGA y GASSET, 1981, p.25,

tradução nossa).

18

referência, a relação de animosidade do indivíduo com a matemática, esse processo

significa um apagamento da história dessa relação que se torna, desse modo, uma

relação apontada como natural, permanente e imutável. De acordo com Duarte (2003),

O fetichismo faz com que os homens, tanto em sua vida cotidiana

como em seu pensamento, não percebam as relações mediadas pelo

valor de troca como relações sociais, isto é, como produtos históricos

da ação humana. Ao invés disso, os homens naturalizam o valor de

troca, como se ele fosse uma propriedade natural, física, das coisas

[...] a naturalização, ao contrário de significar uma tentativa de retorno

a um primitivo estágio natural, significa a tentativa de justificação,

através da eternização e da universalização, de uma determinada

realidade, apresentando-a como correspondente à natureza humana.

(DUARTE, 2003, p. 63-64)

No processo de desenvolvimento dessas percepções, alguns questionamentos e

reflexões tiveram lugar. Num primeiro momento, pensamos sobre como a relação entre

os fenômenos – aversão a certo corpo de conhecimentos e a renúncia em aprendê-lo –

poderiam ser compreendidos como se o segundo fosse uma consequência espontânea,

ou reação instintiva, ao primeiro. Outra cogitação que nos deteve foi relativa à questão

da própria matemática escolar. Quais teriam sido as características do processo

(histórico, social e econômico) que levaram à atual configuração da matemática escolar?

De que forma o conhecimento matemático, em si, contribuiria para essa configuração e

para a importância atribuída à matemática na sociedade? E, entre esses elementos, nos

parecia claro que partes como a própria história escolar do aluno (e aí a figura do

professor de matemática e do conhecimento matemático seriam relevantes) e o alcance

da representação que a sociedade (representada por pais, meios de comunicação, etc.)

faz a respeito da matemática e da matemática escolar, deveriam ter alguma influência

nesse processo.

Neste ponto do trabalho, consideramos que, além de uma análise relativa à

institucionalização social do conhecimento matemático, também seria apropriado

anteciparmos algumas questões, relativas a algumas das principais variáveis envolvidas

(o conhecimento, o professor e o aluno) no fenômeno das Relações de Poder na sala de

aula, que poderiam vir a ser pertinentes, na análise a ser realizada após a concretização

da pesquisa de campo.

Assim, primeiramente, em relação ao conhecimento matemático, conjeturamos

19

que poderia vir a aparecer, nos resultados (de professores e alunos), alguma alusão à

necessidade do rigor, que seria imperativo para esse conhecimento. Neste caso,

advogaríamos considerar uma defesa do equilíbrio entre a intuição e o rigor, que devem

ser tratados como complementares, sendo, na apreciação de alguns autores, “...

inadmissível separar intuição e rigor no ensino de qualquer conteúdo matemático...”

(REIS, 2001, p.79).

Outras características que esperávamos encontrar, relativas ao conhecimento

matemático, foram as da exatidão e da infalibilidade desse conhecimento, que

poderíamos relacionar à denominada ideologia da certeza (SKOVSMOSE, 2001). Neste

ponto, consideramos que, se fosse esse o caso, seria necessário discorrer sobre de que

maneira a utilização desse sistema teria potencialidades para o controle político, ou de

elementos que poderiam ser uma resposta, ou um desafio a essa ideologia, a partir, por

exemplo, da teoria da votação, ou dos paradoxos lógicos ou semânticos. Como falar, por

exemplo, em certezas quando se observa que uma simples e ingênua escolha de uma

opção diversa de operações aritméticas em um sistema eleitoral pode modificar os

resultados de uma votação, mesmo após ela ter sido realizada? 7 Ou ainda, como é

possível se garantir a infalibilidade desse conhecimento ao nos depararmos com

situações estritamente objetivas em que uma afirmação e a afirmação contrária podem

ser consideradas verdadeiras simultaneamente? 8

Acerca dos predicados do aprendizado em matemática, acreditávamos que, nos

dados, poderia aparecer como característica, a necessidade de que este fosse realizado

de maneira metódica e linear, isto é, encadeada, seguindo uma ordem, visto que a forma

de arranjo linear é vista como “... amplamente predominante na organização do trabalho

escolar” (MACHADO, 1993, p.29), especialmente na matemática, um conhecimento

que, para os alunos, “... é linear, se não aprendeu uma coisa, não consegue aprender a

próxima.” (CHAMIE, 1990, p. 99). Fosse o caso de aparecer esse aspecto em nossos

dados, considerávamos afirmar que há múltiplos exemplos de aspectos positivos do

ensino de matemática como uma rede de conteúdos e significados, que mostram que a

linearidade não é necessariamente uma característica inerente à matemática, “... mas sim

uma mera questão de como organizar os conteúdos.” ( idem, ibidem).

Um aspecto que, implicitamente, poderia aparecer como característica do

aprendizado em matemática seria a necessidade de submissão às regras. O

7 Ver Apêndice A.

8 Ver Apêndice B.

20

questionamento principal que nos remeteu a este atributo era relativo ao processo de

negociação estabelecido nas aulas de matemática, em que nem sempre apareceriam

argumentos válidos para as conclusões ou conteúdos presentes na aula.

Consideramos necessário elucidar a situação descrita acima com dois exemplos,

a nosso ver, emblemáticos, ainda que, lamentavelmente, não sejam os únicos. Tomemos

um conteúdo essencial, como o dos critérios de divisibilidade entre naturais, ensinados

atualmente no 6º ano do Ensino Fundamental. Vários livros didáticos trazem as regras

para a divisibilidade pelos primeiros números naturais (exceto o zero) no 6º ano do

Ensino Fundamental (alguns no 7º ano e até no 8º ano). Verificamos, a partir dos dez

livros recomendados pelo Programa Nacional do Livro Didático – PNLD – 2011 9,

relativo a este nível de ensino, o conteúdo dos critérios de divisibilidade. Em todos eles,

as regras de divisibilidade aparecem. Entretanto, aparecem, ora incompletas, ora sem

nenhuma justificação. As deduções desaparecem, e cedem lugar a uma ambicionada

indução dos critérios, a partir de poucos exemplos. Em um dos títulos inclusive, surge o

pretexto de que não se percebe um padrão que leve a uma regra de divisibilidade para

aquele número específico sendo, portanto, forçoso, que se demonstrem os resultados

mais tarde (o que de fato é realizado, no livro do 9º ano desta coleção, mas apenas no

nível algébrico). É como se as regras passassem a existir a partir de mentes iluminadas,

superiores (discurso que, de fato, aparece implicitamente em uma das coleções).

Sabemos que existem demonstrações para cada uma delas, e a maior parte das

justificativas pode ser elaborada em nível compatível à compreensão de alunos do

Ensino Fundamental 10, e que, portanto, poderiam estar presentes nos livros didáticos

deste nível. Entretanto, ao nosso aluno é negada a possibilidade de compreensão do

processo que justifica esse conhecimento, em privilégio de uma espécie de adestramento

das regras 11.

Outro exemplo relevante é relativo aos algoritmos operatórios, em geral,

ensinados nas séries iniciais. A automatização dos procedimentos nos parece

plenamente justificada pela facilidade que imprime aos cálculos. Assim, justifica-se a

9 Ver Apêndice C.

10 Em todos os casos, a demonstração pode ser feita utilizando-se de congruências, o que não

seria recomendável em termos didáticos, visto que é um assunto de nível universitário. Mesmo

o uso da álgebra do final do Ensino Fundamental seria uma antecipação ao tratar do assunto.

Entretanto, com algumas das mais simples operações aritméticas, como adição, multiplicação e

mais a propriedade distributiva, seria possível ao menos justificar as regras.

11 E provavelmente, também ao professor, que se apoia no livro didático como ferramenta

principal na preparação de suas aulas (BITTENCOURT, 1993; FREITAG, 1997).

21

efetivamente a necessidade do ensino dos algoritmos. Entretanto, assumir os métodos

como invariantes historicamente tem sido a norma nas práticas pedagógicas,

desconsiderando o fato de que os procedimentos empregados atualmente sofreram

alterações ao longo da história, não sendo, portanto, únicos 12. Talvez nesse ponto, seja

necessário reforçar que consideramos imperativo o ensino dos algoritmos habituais. O

que queremos é chamar a atenção para o fato de que essas técnicas são ensinadas como

se fossem a única forma existente de se efetuar um produto, ou uma divisão, por

exemplo, desconsiderando a evolução histórica desses procedimentos, com evidentes

consequências pedagógicas. Além disso, a conformação atual dos métodos para o

cálculo das operações fundamentais termina por ser considerado um fim em si mesmo,

deslocando a compreensão dos conceitos envolvidos para uma mera justificação inicial

ao assunto, quando muito.

Diante deste quadro, nos aventuramos a conjeturar que, a partir de episódios

como esse, poderia ser desenvolvida uma justificativa consistente para a atual e

permanente associação que se faz entre o processo de ensino e aprendizagem da

matemática e o que Paulo Freire denominou de pensamento mágico (FREIRE, 1983),

em que a justificativa para os acontecimentos se encontraria em um lugar além de

nossas possibilidades de compreensão.

Esta é a razão pela qual ao perceber um fato concreto da realidade sem

que o ‘ad-mire’, em termos críticos, para poder ‘mirá-lo’ de dentro,

perplexo frente à aparência do mistério, inseguro de si, o homem se

torna mágico. Impossibilitado de captar o desafio em suas relações

autênticas com outros fatos, atônito ante o desafio, sua tendência,

compreensível, é buscar, além das relações verdadeiras, a razão

explicativa para o dado percebido. (FREIRE, 1983, p. 29).

Desta forma, não chega a ser surpreendente que os indivíduos (inclusive os

letrados) relacionem os resultados em matemática à... magia, ou à religião, tornando o

sucesso nesta área “uma questão de fé”, pois, a partir de uma atitude em que não se

colocam as causas e nem o processo de desenvolvimento dos conceitos, “a aceitação ou

não dessas regras não decorre de uma análise racional das necessidades concretas. É

antes uma questão de passividade, aceitando, ou de mera rebeldia, se opondo a ela sem

saber por que” (DUARTE, 1986, p.8).

12 Ver Apêndice D.

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22

Esse distanciamento entre a técnica e o conhecimento evidentemente incentiva

que o conhecimento matemático seja representado como o faz, por exemplo, Bill

Watterson, na seguinte tira de quadrinhos,

Fig. 1: Matemática-Religião, por Bill Watterson.

Fonte: Watterson (1996).

em que a representação que se faz do conhecimento matemático é de um elemento

que, além de ser incompreensível, tem sua justificação apoiada em dogmas, não

logicamente verificáveis, sendo fundamentado em propriedades mágicas, ou até

mesmo religiosas, de fé, sendo assim algo que se mostra distante da realidade

concreta do menino Calvin. O personagem, no segundo quadro, ao afirmar que as

equações são “como milagres”, apoia-se no fato de que, para ele, a operação de

adição de dois números dá um certo resultado “por magia” e que “ninguém pode

dizer como é” que se chegou a esse resultado ou porque o resultado é aquele e não

outro. Desta forma, chega à conclusão de que, em Matemática, os resultados (e

também os procedimentos que os produzem) são inexplicáveis, incompreensíveis e,

tal qual a existência de Deus, nesses resultados e procedimentos o indivíduo está

posto em uma situação em que simplesmente “acredita-se ou não”.

Talvez a analogia entre Matemática e Religião possa parecer despropositada, a

princípio, pois nada sugere alguma afinidade entre maneiras humanas tão distintas de

compreensão da realidade, já que apoiadas em elementos tão contrapostos como a razão

e a fé. Entretanto, é interessante considerarmos que, se em termos religiosos, não é dado

ao indivíduo conhecer ou discutir os processos que levaram à elaboração e aceitação dos

23

dogmas 13 próprios daquela religião particular e, mais que isso, existe a concordância de

que talvez esses processos só possam ser conhecidos apenas por alguns “eleitos”, ou

iluminados por uma força maior, essa mesma visão pode ser sobreposta para indivíduos

que, assim como o personagem Calvin, da tira de quadrinhos, enxergam a matemática

como um conjunto de “coisas” cujos significados e processos lhes parece enigmático e

misterioso, só podendo ser aceitos, portanto, como uma questão de fé. Se admitirmos

que a atitude de submeter-se a certos dogmas é considerada socialmente como uma

postura aceitável em se tratando de questões religiosas, emerge fortemente, além das

questões específicas da aprendizagem, uma das consequências negativas dessa possível

(e indesejável) analogia entre Matemática e Religião, quando as regras da matemática

são percebidas como dogmas, com a necessidade da subordinação às regras. De

qualquer forma, consideramos necessário enfatizar que essa analogia deve ser

caracterizada muito mais como uma semelhança entre posturas, atitudes e

procedimentos em relação ao elemento (Matemática ou Religião) do que como uma

semelhança entre os elementos em si.

Dentro desse contexto, consideramos necessário ponderar que uma das imediatas

consequências a uma possível necessidade de submissão às regras, além das evidentes

implicações sociais e políticas, é a forte probabilidade da transformação (ou da

consolidação) da relação professor-aluno em uma relação difícil e/ou autoritária.

Finalmente, em relação às características do ensino de matemática, nos parece

apropriado esperar que apareçam, em nossos resultados, indicativos da concepção

platônica da matemática, com o saber matemático associado fortemente às ideias de

verdade, perfeição e exatidão. Há uma forte vinculação do platonismo com o

formalismo 14, o que, pelos aspectos inerentes ao formalismo, traz consequências para a

perspectiva da sala de aula, já que “é legítimo [...] concluir que o método de ensinar

matemática que constitui o paradigma do formalismo pedagógico clássico enfatiza a

exposição, a imitação, a repetição e a memorização” (MIGUEL, 1993 p.165).

Nesta perspectiva, se solidifica uma dissociação entre a matemática escolar e a

realidade, sendo este um aspecto fundamental, que diferencia extraordinariamente o

13 Definidos como “Verdades inquestionáveis, para as quais não se admitem discussões”

(DUROZOI & ROUSSEL, 2005, p.141).

14 Com a matemática, no platonismo, sendo considerada a representação mais apropriada do

mundo ideal, sua vinculação com a realidade pode ser preterida completamente, sendo esta uma

das mais importantes consequências do formalismo para o processo de ensino e aprendizagem.

24

ensino de matemática, em relação ao ensino dos demais saberes. Nas disciplinas que se

dedicam ao estudo dos fenômenos naturais, por exemplo, é possível ao professor

[...] recorrer a elementos do ambiente para completar suas

explicações; pode propor a observação de fenômenos na natureza ou

provocar sua ocorrência, mediante experimentação. Ele pode solicitar

a análise e a manipulação de coisas para que os alunos elaborem as

relações entre causas e efeitos, percebam as relações entre o trabalho

científico e os seus resultados.

(MICOTTI, 1999, p.163-164).

Nas demais disciplinas, ligadas ao estudo das línguas ou aos fenômenos sociais é

inegável a ligação entre os conhecimentos e a realidade do aluno, visto que este se

comunica e existe no meio social.

Não queremos com isso afirmar que a matemática não se faz presente na

realidade concreta dos indivíduos, alunos ou não. Ao contrário, apesar de considerarmos

que existem incalculáveis aplicações da matemática na vida cotidiana, o panorama que

se apresenta, no contexto do método de ensino denominado de formalista clássico ou

tradicional (MIGUEL, 1993; FIORENTINI, 1995) é o de que a matemática escolar não

busca se apropriar desse fato. Nesse contexto, ainda aparecem as “exigências de

adestramento, repetição e disciplinamento, entendidas na escola como condição de

sucesso em Matemática” (SANTOS, 1989, p.3). Por mais que o desenvolvimento e a

utilidade da matemática estejam fortemente vinculados às demandas da realidade, ela é

a única disciplina em que o professor pode, caso assim o deseje (e essa opção pode ou

não ser consciente e intencional), explanar seus conteúdos sem qualquer conexão com o

mundo sensível. Nas demais disciplinas, o aluno possui algum entendimento precedente

acerca dos assuntos abordados. Na matemática escolar, que, enfatizamos, é diferente da

matemática, esse entendimento não é compulsório. A despeito de um movimento em

que é incentivada cada vez mais a contextualização dos conteúdos matemáticos, a

disciplina ainda se conserva como sendo a única em que aparece a possibilidade de não

vinculação com o mundo.

Como já foi mencionado anteriormente, consideramos que o processo do

aprendizado em matemática não se desenvolve pela mera posse dos conteúdos e

procedimentos, mas sim pela compreensão dos raciocínios e processos envolvidos

nesses conteúdos. De outra forma, a se considerar apenas a detenção dos conteúdos, já

que nesse caso o professor parece possuir o conhecimento e o aluno não, a decorrência

natural é a utilização do conhecido “argumento de autoridade”, no qual a conclusão se

25

sustenta unicamente numa suposta autoridade do sujeito que a pronuncia e não nas

deduções lógicas relativas ao assunto considerado. Essa maneira de convencimento traz

inegavelmente, embutida dentro de si, a possibilidade de desenvolver uma postura de

não questionamento das normas em vigor (tendo, evidentemente, como também já foi

citado, sérias implicações na vida social e política dos indivíduos).

As indagações relativas a esses fatores, o conhecimento, o professor e o aluno, e