Seleção dinâmica de portfólios em média-variância com saltos Markovianos por Michael Viriato Araujo - Versão HTML

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MICHAEL VIRIATO ARAUJO

SELEÇÃO DINÂMICA DE PORTFÓLIOS EM

MÉDIA-VARIÂNCIA COM SALTOS

MARKOVIANOS

São Paulo

2007

MICHAEL VIRIATO ARAUJO

SELEÇÃO DINÂMICA DE PORTFÓLIOS EM

MÉDIA-VARIÂNCIA COM SALTOS

MARKOVIANOS

Tese apresentada ao Departamento de Engenharia

de Telecomunicações e Controle da Universidade de

São Paulo para obtenção do título de Doutor em

Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Engenharia de Sistemas

Orientador: Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa

São Paulo

2007

FICHA CATALOGRÁFICA

Araujo, Michael Viriato

Seleção dinâmica de portfólios em média-variância com

saltos markovianos / M.V. Araujo. -- São Paulo, 2007.

146 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politécnica da Universidade de

São Paulo. Departamento de Engenharia de Telecomunicações e

Controle.

1.Controle estocástico 2.Sistemas discretos 3.Administração

de carteiras 4.Processos de Markov 5.Administração de portfólio

I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento

de Engenharia de Telecomunicações e Controle II.t.

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

FOLHA DE APROVAÇÃO

Seleção Dinâmica de Portfólios em Média-Variância com

Saltos Markovianos

MICHAEL VIRIATO ARAUJO

Tese apresentada ao Departamento de Engenharia de Telecomunicações e Con-

trole da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Doutor em Engenharia

Elétrica.

Área de Concentração: Engenharia de Sistemas

Banca Examinadora constituída por:

Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa – Orientador

Universidade de São Paulo

Dra. Celma de Oliveira Ribeiro

Universidade de São Paulo

Dr. Fuad Kassab Junior

Universidade de São Paulo

Dr. João Bosco Ribeiro do Val

Universidade Estadual de Campinas

Dr. Takashi Yoneyama

Instituto Tecnológico da Aeronáutica

São Paulo, 2007

Dedicatória

A Jane Araújo Ferreira, minha esposa, pela sua compreensão, incentivo e apoio funda-

mentais para a conclusão deste trabalho.

A minha família, Haroldo Euclides de Araújo, Alice Maria Viriato Araújo, Haroldo

E. A. Júnior, Rodrigo V. Araújo e sobrinhos, que mesmo distantes acompanharam e

estimularam a realização desta obra.

i

Agradecimentos

Ao Professor Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa pelo que muito me ensinou, pela opor-

tunidade única de desenvolver este trabalho e pela paciência e disponibilidade na ori-

entação desta Tese. A experiência adquirida ao longo do curso de doutorado foi sem

dúvida engrandecedora para meu desenvolvimento pessoal e profissional.

À Escola Politécnica da USP pela oportunidade de realização do curso de doutorado

e a todos os professores do curso pelos ensinamentos transmitidos.

Não posso deixar de citar a relevante contribuição do Banco Itaú S.A. pelo incentivo

e disponibilização de tempo para realização deste trabalho.

ii

“There is nothing so disastrous as a rational investment policy in an

irrational world”.

John Maynard Keynes

iii

Resumo

Investiga-se, em tempo discreto, o problema multi-período de otimização de carteiras

generalizado em média-variância cujos coeficientes de mercado são modulados por uma

cadeia de Markov finita. O problema multi-período generalizado de média-variância

com saltos Markovianos (P GMV ) é um problema de controle estocástico sem restrição

cuja função objetivo consiste na maximização da soma ponderada ao longo do tempo

da combinação linear de três elementos: o valor esperado da riqueza do investidor, o

quadrado da esperança desta riqueza e a esperança do quadrado deste patrimônio. A

principal contribuição deste trabalho é a derivação analítica de condições necessárias

e suficientes para a determinação de uma estratégia ótima de investimento para o

problema P GMV . A partir deste modelo são derivadas várias formulações de média-

variância, como o modelo tradicional cujo objetivo é maximizar o valor esperado da

riqueza final do investidor, dado um nível de risco (variância) do portfólio no horizonte

de investimento, bem como o modelo mais complexo que busca maximizar a soma

ponderada das esperanças da riqueza ao longo do tempo, limitando a perda deste

patrimônio em qualquer momento. Adicionalmente, derivam-se formas fechadas para a

solução dos problemas citados quando as restrições incidem somente no instante final.

Outra contribuição deste trabalho é a extensão do modelo P GMV para a solução do

problema de seleção de carteiras em média-variância com o objetivo de superar um

benchmark estocástico, com restrições sobre o valor esperado ou sobre a variância do

tracking error do portfólio. Por fim, aplicam-se os resultados obtidos em exemplos

numéricos cujo universo de investimento são todas as ações do IBOVESPA.

iv

Abstract

In this work we deal with a discrete-time multi-period mean-variance portfolio se-

lection model with the market parameters subject to Markov regime switching. The

multi-period generalized mean-variance portfolio selection model with regime switching

(P GM V ) is an unrestricted stochastic control problem, in which the objective function

involves the maximization of the weighted sum of a linear combination of three parts:

the expected wealth, the square of the expected wealth and the expected value of the

wealth squared. The main contribution of this work is the analytical derivation of

necessary and sufficient conditions for the existence of an optimal control strategy to

this P GMV model. We show that several mean–variance models are derived from the

P GM V model, as the traditional formulation in which the objective is to maximize the

expected terminal wealth for a given final risk (variance), or the complex one in which

the objective function is to maximize the weighted sum of the wealth throughout its

investment horizon, with control over maximum wealth lost. Additionally, we derive

closed forms solutions for the above models when the restrictions are just in the final

time. Another contribution of this work is to extend the P GMV model to solve the

multi-period portfolio selection problem of beating a stochastic benchmark with con-

trol over the tracking error variance or its expected value. Finally, we run numerical

examples in which the investment universe is formed by all the stocks belonging to the

IBOVESPA.

v

Sumário

1 Introdução

1

2 Revisão Bibliográfica

6

3 Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

15

3.1 Descrição do Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 O Portfólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3 Formulação do Problema Generalizado de Média-Variância e dos Mode-

los Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.1 Formulação para o Problema Generalizado de Média-Variância

com Saltos Markovianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3.2 Formulação do Problema Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4 Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com Pa-

râmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

30

4.1 Lei de Controle Ótima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2 Resultados da Formulação Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.3 Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância . . . . . . .

41

4.3.1 Condição Necessária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3.2 Condição Suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5 Aplicação do P GM V a Problemas Específicos de Média-Variância

56

vi

5.1 Solução para os Problemas de Média-Variância com Custo e Controle

nos Períodos Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.2 Solução para os Problemas de Média-Variância com Custo nos Períodos

Intermediários e Restrição apenas no Instante Final . . . . . . . . . . .

60

5.3 Solução para os Problemas Multi-Período Tradicionais de Média-Variância

com Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos . . . . . . . . . . . . . .

68

5.4 Modelo no qual o Mercado é Formado por n Ativos de Risco e um Ativo

Livre de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4.1 Simplificações no Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4.2 Solução para os Problemas no Caso em que Existe um Ativo

Livre de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

6 Seleção de Carteiras para Superar um Benchmark

77

6.1 O Tracking Error do Portfólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

6.2 Formulação do Problema Generalizado de Média-Variância do Tracking

Error com Saltos Markovianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

6.2.1 Formulações Derivadas do P GMV T E . . . . . . . . . . . . . .

82

6.3 Solução do Problema P GMV T E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.4 Solução dos Problemas Derivados do P GMV T E . . . . . . . . . . . . .

85

6.4.1 Solução para os Problemas com Custo e Restrições Intermediárias 85

6.4.2 Solução para os Problemas com Custo Intermediário e Restrições

apenas no Instante Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.4.3 Solução para os Problemas com Custo e Restrições apenas no

Instante Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

7 Exemplos Numéricos

91

7.1 Mercado apenas com Ativos de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

7.2 Mercado no qual Existe um Ativo Livre de Risco . . . . . . . . . . . .

98

7.3 Otimização de Carteira para Superar um Benchmark . . . . . . . . . . 104

vii

8 Conclusão

124

Referências Bibliográficas

126

viii

Lista de Figuras

7.1 Fronteiras Eficientes (Esperança da Riqueza Final x Variância do Patrimônio

Final) - Mercado formado apenas por ativos de risco brasileiros. . . . . . .

96

7.2 Fronteiras Eficientes (Esperança da Riqueza Final x Variância do Patrimônio

Final) - Mercado formado apenas com ativos de risco brasileiros e com vetor

de probabilidade de estado π (t) = (40%,60%)′. . . . . . . . . . . . . . . .

99

7.3 Fronteiras Eficientes (Esperança da Riqueza Final x Variância do Patrimônio

Final) - Mercado formado apenas com ativos de risco brasileiros e com vetor

de probabilidade de estado π (t) = (80%,20%)′. . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.4 Fronteiras Eficientes (Esperança da Riqueza Final x Variância do Patrimônio

Final) - Mercado formado por ativos de risco e um livre de risco. . . . . . . 103

7.5 Fronteiras Eficientes (Valor Esperado do Tracking Error Final x Variância

do Tracking Error Final) para os problemas de seleção de carteiras para

superar um benchmark, com controle sobre a volatilidade do tracking error

(variância do tracking error). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ix

Lista de Tabelas

7.1 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P . . . . . . .

96

7.2 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P MV . . . . .

97

7.3 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P BC . . . . .

97

7.4 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema PSM . . . . . .

97

7.5 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P . . . . . . .

99

7.6 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P MV . . . . . 100

7.7 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P BC . . . . . 100

7.8 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P BC . . . . . 101

7.9 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P MV . . . . . 102

7.10 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P BC . . . . . 102

7.11 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P . . . . . . . 103

7.12 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P MV . . . . . 104

7.13 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P BC . . . . . 104

7.14 Resultados das simulações de Monte Carlo para o problema P sm . . . . . 104

7.15 Resultados das simulações para o problema P MV T E . . . . . . . . . . . . 106

7.16 Resultados das simulações para o problema P MV T E

. . . . . . . . . . . 106

sm

7.17 Carteiras para o Primeiro Período no Problema de Otimização de Carteiras

com Ativos de Risco apenas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.18 Carteiras para o Primeiro Período no Problema de Otimização de Carteiras

com um Ativo Livre de Risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

x

7.19 Carteiras para o Primeiro Período no Problema de Otimização de Carteira

para Superar um Benchmark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.20 Tabela com Ativos de Risco, seus códigos Bloomberg e retornos médios

trimestrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.21 Matriz de covariância dos ativos de risco em todo o período amostral (2000

a 2006)(Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.22 Matriz de covariância dos ativos de risco em todo o período amostral (2000

a 2006)(Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.23 Matriz de covariância dos ativos de risco em todo o período amostral (2000

a 2006)(Parte III). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.24 Matriz de covariância dos ativos de risco em todo o período amostral (2000

a 2006)(Parte IV). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.25 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

positiva no período amostral (2000 a 2006)(Parte I). . . . . . . . . . . . . . 116

7.26 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

positiva no período amostral (2000 a 2006)(Parte II). . . . . . . . . . . . . 117

7.27 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

positiva no período amostral (2000 a 2006)(Parte III). . . . . . . . . . . . . 118

7.28 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

positiva no período amostral (2000 a 2006)(Parte IV). . . . . . . . . . . . . 119

7.29 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

negativa no período amostral (2000 a 2006)(Parte I). . . . . . . . . . . . . 120

7.30 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

negativa no período amostral (2000 a 2006)(Parte II). . . . . . . . . . . . . 121

7.31 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

negativa no período amostral (2000 a 2006)(Parte III). . . . . . . . . . . . 122

7.32 Matriz de covariância dos ativos de risco para o cenário com tendência

negativa no período amostral (2000 a 2006)(Parte IV). . . . . . . . . . . . 123

xi

Capítulo 1

Introdução

A pesquisa em otimização de portfólios de investimentos se destaca pela relevância

econômica dos impactos que as decisões de grandes investidores, como os fundos de

pensão, exercem sobre economias de empresas e até de países. Uma administração

não eficiente dos ativos de um fundo de pensão pode provocar prejuízos para todo um

conjunto de entidades relacionadas a ele: prejuízos para a aposentadoria de seus bene-

ficiários, para suas empresas patrocinadoras, mediante a elevação de sua contribuição

periódica, perdas financeiras aos acionistas das empresas patrocinadoras, risco de ima-

gem e prejuízos financeiros para o administrador destes recursos.

A pesquisa em otimização de carteiras evoluiu de forma relevante a partir do tra-

balho pioneiro de Markowitz (1952). Desde então, o desafio de estudo nesta área tem

sido o de adaptar os modelos financeiros de forma a se aproximarem cada vez mais ao

real ambiente que os administradores de recursos enfrentam.

Neste contexto, como uma forma de ampliar as fontes de incerteza nos mode-

los financeiros e assim capturar uma classe mais ampla de fenômenos que perme-

iam os mercados de capitais, tem havido um crescente interesse no estudo de mo-

delos financeiros nos quais os parâmetros chave (taxa de retorno e volatilidade dos

1

1. Introdução

2

preços) são modulados por uma cadeia de Markov, por exemplo, em (Zhang (2000)),

(Cajueiro (2002)), (Bauerle e Rieder (2004)), (Zhou e Yin (2003)), (Yin e Zhou (2004)) e (Çakmak e Özekici (2006)). Tais modelos refletem de forma mais apropriada o movimento do mercado, já que, usualmente os ativos oscilam seguindo uma tendência geral

ditada pelo estado da economia, pelo humor dos investidores ou por outro evento global.

Nesta tese, propõe-se um modelo generalizado de otimização multi-período de

carteiras em média-variância com os coeficientes de mercado modulados por uma cadeia

de Markov finita, o qual será denotado de P GMV . O modelo P GMV pode ser visto

como um problema de controle estocástico no qual a função objetivo consiste da soma

ponderada ao longo do tempo de uma combinação linear entre três elementos: o valor

esperado da riqueza do investidor, o quadrado da esperança desta riqueza e a esperança

do quadrado deste patrimônio.

Demonstra-se que a partir do modelo P GMV , derivam-se várias formulações de

média-variância. Dentre estas formulações, três são objetivo de análise neste trabalho:

I a formulação multi-período tradicional de média-variância, que pode ser posta em

duas formas: aquela cuja função objetivo é maximizar a riqueza final esperada

dado um nível de risco para o instante final (variância da riqueza final) (P (σ2)),

ou minimizar a variância do patrimônio terminal do investidor para um desejado

valor esperado deste patrimônio final (P (ǫ));

II a formulação multi-período de média-variância, que também pode ser posta em

duas formas: uma em que a função objetivo é a maximização da soma ponderada

do valor esperado da riqueza ao longo do tempo, tendo como restrição o risco

(variância do patrimônio) em cada instante de tempo (P MV (σ2)), ou outra em

que a função objetivo é minimizar a soma ponderada da variância da riqueza

ao longo do tempo, tendo como restrição a esperança do patrimônio em cada

momento (P MV (ǫ));

III a formulação com controle sobre perda máxima, cuja função objetivo é maximi-

1. Introdução

3

zar a soma ponderada do valor esperado da riqueza ao longo do tempo, tendo

como restrição a probabilidade máxima (̺) de o patrimônio cair abaixo de um

determinado valor (ψ) em cada instante, denotada por P BC (̺, ψ).

A principal contribuição deste trabalho é a derivação de condições necessárias e

suficientes para obtenção de uma política ótima de controle para o problema P GMV .

Recorda-se a diferença entre uma condição necessária e uma condição suficiente. Uma

condição necessária é aquela que deve ser satisfeita para que a afirmação seja verdadeira.

Enquanto a condição suficiente é aquela que se satisfeita garante que a afirmação é

verdadeira. Assim, apresenta-se um algoritmo de condição necessária e um algoritmo

de condição suficiente para determinação de uma estratégia ótima de controle para o

problema P GMV . Portanto, para o algoritimo de condição necessária, mostra-se que

se a estratégia de investimento é ótima, então ela atende a uma determinada condição.

Para o segundo algoritimo, mostra-se que se as condições suficientes são satisfeitas,

então a estratégia de investimento obtida é ótima.

Demonstra-se que esta estratégia ótima de investimentos é obtida através de um

procedimento recursivo baseado em um conjunto de equações a diferenças de Riccati

interconectadas e em um segundo conjunto de equações recursivas.

Destaca-se que não se tem conhecimento sobre trabalhos anteriores que derivaram

uma condição suficiente para determinação da solução ótima a tempo discreto de pro-

blemas multi-período de seleção de carteiras em média–variância com saltos Marko-

vianos. Além disso, também não se tem conhecimento de trabalhos anteriores que

tenham derivado uma condição necessária para o modelo generalizado de média–variân-

cia aqui proposto.

Através da solução do problema P GMV é possível encontrar a solução dos demais

problemas citados. Mostra-se que para as formulações II e III, quando as restrições

também incidem nos períodos intermediários, após a derivação da solução do pro-

blema P GMV ainda é necessário um procedimento numérico que objetiva encontrar

um conjunto de Multiplicadores de Lagrange que atendam às restrições dos respectivos

1. Introdução

4

problemas.

Para os casos em que a restrição incide apenas no período final, uma solução em

forma fechada pode ser derivada analiticamente. Portanto, para o caso em que todos

os ativos do universo de investimento são de risco, são derivadas formas fechadas para

a solução da formulação I e II, quando a restrição incide apenas no instante final. Para

a formulação I, também é derivada uma solução analítica no caso em que existe um

ativo livre de risco, que não sofre a influência de nenhuma fonte de incerteza. Mostra-se

que para este último caso, as expressões analíticas para o valor esperado da riqueza

final, bem como para a variância final deste patrimônio e para a fronteira eficiente de

investimentos apresentam simplificações em relação ao modelo quando todos os ativos

são de risco.

Uma abordagem alternativa ao modelo até aqui apresentado, que busca otimizar

uma carteira tendo em vista um retorno absoluto é a de otimizá-la com a finalidade

de superar um benchmark. A relevância desta nova abordagem resulta do fato dos

profissionais de investimento estarem usualmente mais preocupados com o desempenho

de suas carteiras em relação a um determinado benchmark do que com seu retorno

absoluto. Isto ocorre, pelo fato de que é o desempenho adicional de suas carteiras em

relação a um benchmark que define a remuneração destes gestores.

Portanto, outra contribuição desta tese é a de estender a investigação em período

simples do modelo de média-variância do tracking error introduzida por Roll (1992)

para o modelo em multi-período de seleção de carteiras generalizado de média-variância

do tracking error, cujos parâmetros de mercado estão sujeitos a saltos Markovianos,

denotado por P GMV T E. Demonstra-se como estender os resultados encontrados para

o modelo P GMV para determinar a solução do problema P GMV T E. Adicionalmente,

reformulam-se os modelos I a III acima para o enfoque do tracking error, e demonstra-

se que para estas formulações, quando as restrições incidem apenas no instante final,

as soluções analíticas derivadas anteriormente são simplificadas quando utilizado o

enfoque do tracking error.

1. Introdução

5

Destaca-se que os resultados encontrados nos Capítulos 4 a 7 são todos inéditos.

Esta tese está organizada da seguinte forma. No Capítulo 2, realiza-se uma revisão

bibliográfica, mostrando a evolução dos modelos de média-variância e as diferenças en-

tre os trabalhos anteriores e esta tese. O mercado em estudo é apresentado no Capítulo

3, juntamente com a formulação do problema P GMV e dos problemas derivados deste.

A solução para o problema P GMV é analiticamente obtida no Capítulo 4. Neste capí-

tulo também são estabelecidas condições necessárias e suficientes para a determinação

desta solução. No Capítulo 5, apresenta-se as leis de controle ótimas para os problemas propostos. Também neste capítulo, quando nestes modelos as restrições incidem apenas no instante final, encontram-se expressões explícitas para as fronteiras eficientes de

investimentos nos casos com e sem a existência de um ativo livre de risco. No Capítulo

6, estende-se os resultados obtidos para o problema P GMV na derivação da solução

do modelo P GMV T E e de modelos a este derivados. O benefício alcançado pelos

presentes modelos em relação aos que não estão sujeitos a saltos é ilustrado através

de exemplos numéricos no Capítulo 7. Conclui-se este trabalho no Capítulo 8 com as possíveis ampliações de estudos e considerações finais.

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

A pesquisa para encontrar a melhor combinação entre risco e retorno em problemas

de seleção de investimentos teve seu ponto de inflexão com o pioneiro trabalho de

Markowitz (1952). O reconhecimento dos benefícios da diversificação não são recentes,

sendo identificados já no artigo de Daniel Bernoulli em 1738 sobre o Paradoxo de St.

Petersburg quando este cita em (Bernoulli (1954)):

“... it is advisable to divide goods which are exposed to some small

danger into several portions rather than to risk them all together ...”,

e por William Shakespeare em O Mercador de Veneza, ambos lembrados pelo próprio

Markowitz (1999). Entretanto, embora os benefícios da diversificação já fossem conhe-

cidos, foram os trabalhos de Markowitz (1952) e Roy (1952) que primeiro propuseram formas de quantificar os efeitos da diversificação sobre os investimentos.

A formulação original de média-variância em período simples, apresentada em

(Markowitz (1952)), consiste em selecionar um portfólio que apresente o maior valor

esperado para a riqueza final (E (V (T ))) para um nível de risco desejado neste mesmo

instante (variância da riqueza final - V ar (V (T ))), ou encontrar uma carteira que

6

2. Revisão Bibliográfica

7

apresente a menor variância do patrimônio terminal (V ar (V (T ))) para um desejado

valor esperado deste patrimônio final (E (V (T ))). Vale recordar que, como o modelo

é de período simples, o momento final é o próximo período. Formalmente, estas duas

formulações, podem ser expressas, respectivamente, como:

max E (V (T ))

sujeito a :

V ar (V (T )) ≤ σ2, T = 1

(2.1)

e

min V ar (V (T ))

sujeito a :

E (V (T )) ≥ ǫ, T = 1.

(2.2)

Apesar de vastamente utilizado, o modelo original de média-variância tem recebido

críticas desde sua introdução, como em (Gressis et al. (1976)) e (Campbell e Viceira

(2001)). Recentemente, estas críticas têm se concentrado sobre a utilização da va-

riância como medida de risco na otimização de portfólios, pois ela não considera de

forma apropriada a característica de "caudas gordas"de algumas distribuições e por

penalizar uniformemente os desvios positivos e negativos, ver (Artzner et al. (1999)),

(Rockafellar et al. (2006)), (Ortobelli et al. (2005)) e (Fabozzi et al. (2007)).

Artzner et al. (1999) propuseram quatro axiomas que definem as condições necessá-

rias para uma medida de risco ser "coerente". Apesar do desvio padrão não ser conside-

rado uma medida coerente de risco segundo Artzner et al. (1999), ele se qualifica como uma medida de dispersão pelos axiomas definidos em Rockafellar et al. (2006) e por

Ortobelli et al. (2005). De fato, como reconhecido por Fabozzi et al. (2007), nenhuma medida de risco única conseguiria capturar todas as preferências de um investidor e a

busca por esta medida de risco ideal talvez nunca termine.

Na verdade, a discussão sobre qual a formulação mais adequada para otimizar um

portfólio não é recente, e os estudos sobre funções utilidades diferentes da média-

2. Revisão Bibliográfica

8

variância a antecedem. Como citado por Roy (1952), antes de Markowitz (1952) já haviam estudos em otimização de carteiras envolvendo a maximização de utilidades

esperadas. Entretanto, a difusão dos modelos que maximizam uma função utilidade

genérica da riqueza final se intensificou através do trabalho de Pratt (1964), que in-

troduziu a quantificação da aversão ao risco do investidor, utilizando a relação entre

a segunda e a primeira derivada de sua função utilidade, e dos trabalhos de Merton

(1969) e Samuelson (1969), que, respectivamente, otimizaram em tempo contínuo e discreto funções utilidades côncavas do consumo e investimento. A partir de então,

como observado por Zhou e Li (2000) e Zhou e Yin (2003), a pesquisa em otimiza-

ção de portfólios tem sido dominada pelos modelos que maximizam funções utilidades

diferentes da média-variância.

Contudo, como citado por Markowitz (2000), Zhou e Li (2000) e Zhou e Yin (2003), o enfoque da média-variância se destaca em relação à maximização de outras funções

utilidades pela facilidade computacional, pela dificuldade de se determinar a função

utilidade que melhor se adapta ao perfil do investidor e por apresentar de forma mais

explícita ao investidor as possíveis relações ótimas entre risco e retorno. Além destes

benefícios, Markowitz (1970) demonstra que, se a função utilidade de um investidor

pode ser aproximada por uma quadrática, um dos portfólios encontrados na fronteira

eficiente terá um retorno próximo ao encontrado na maximização desta função uti-

lidade. O mesmo autor em (Markowitz (2000)) também apresenta uma relação de

trabalhos que encontraram resultados semelhantes comparando os dois modelos. Em

estudo mais recente, Zhao e Ziemba (2000) concluíram que os resultados obtidos pela

média-variância são superiores se o preço realizado dos ativos se situar próximo de seu

valor esperado e, inferiores, se a realização ocorrer nas caudas da distribuição.

Não demorou muito e logo se percebeu que os modelos de período simples não eram

adequados, já que os investidores usualmente promovem alterações em suas carteiras

antes do instante final e que os efeitos das decisões iniciais afetam futuras decisões, por-

tanto, induzindo estes modelos a serem estendidos para uma abordagem multi-período.

2. Revisão Bibliográfica

9

Em vista disso, problemas de seleção de portfólios em multi-período têm sido investi-

gados desde a década de 60, ver (Tobin (1965)), (Merton (1969)), (Samuelson (1969)),

(Mossin (1968)), (Ingersoll (1987)), (Karatzas (1997)) e (Pliska (1997)). Entretanto, devido à dificuldade de se resolver diretamente os problemas de média-variância em

multi-período, as pesquisas se concentraram na otimização de funções utilidades dife-

rentes da formulação de Markowitz.

A formulação multi-período tradicional de média-variância é igual aos modelos ori-

ginais (2.1) e (2.2). A diferença reside na necessidade de se obter um conjunto de portfólios intermediários que levem à otimização da função objetivo, em vez de apenas

uma carteira como na formulação original de período simples. Uma forma de resolver

o problema multi-período de média-variância é através da programação dinâmica. En-

tretanto, verifica-se que na função objetivo dos problemas de média-variância há um

termo do tipo E (V (T ))2 oriundo da expansão da expressão da variância, ou seja,

V ar (V (T )) = E V (T )2 − E (V (T ))2. Como descrito por Zhou e Li (2000), a exis-

tência na função objetivo do termo E (V (T ))2, ou de forma mais ampla, do termo

U (E (·)), onde U é uma função utilidade não linear, dificulta a aplicação da progra-

mação dinâmica. Apenas recentemente, em (Li e Ng (2000)), foi introduzida uma téc-

nica para solucionar esta dificuldade. Associando ao problema principal um problema

auxiliar, ao qual é possível aplicar a teoria da programação dinâmica, Li e Ng (2000)

resolveram analiticamente em tempo discreto o problema de otimização multi-período

de carteiras em média-variância com coeficientes determinísticos.

A abordagem introduzida por Li e Ng (2000) inspirou este trabalho e várias ou-

tras estensões, como (Zhou e Li (2000)), (Zhou e Yin (2003)), (Yin e Zhou (2004)),

(Leippold et al. (2004)), (Zhu et al. (2004)), (Costa e Nabholz (2005)), (Bielecki et al.

(2005)), (Araujo e Costa (2006a)), (Araujo e Costa (2006b)), (Çakmak e Özekici (2006)),

(Costa e Araujo (2007a)) e (Costa e Araujo (2007b)). Em (Zhou e Li (2000)), por exemplo, o modelo de Li e Ng (2000) foi analisado em tempo contínuo, aplicando-se a

teoria de controle linear quadrático estocástico.

2. Revisão Bibliográfica

10

Além da ampliação para multi-período, outras evoluções ao modelo inicial de Mar-

kowitz também foram propostas, como por exemplo a utilização de custos de transação

em (Goldsmith (1976)) e (Dumas e Luciano (1991)). Entretanto, tão importante quanto a estrutura do modelo, a modelagem do retorno dos ativos se destaca como um dos

elementos chave para a obtenção do portfólio ótimo.

Um dos pontos fundamentais para a modelagem na seleção de carteiras é a simulação

da incerteza dos mercados financeiros. Esta incerteza se reflete nos modelos através da

evolução dos preços dos ativos. Até recentemente, os preços dos ativos eram modela-

dos de forma ainda semelhante ao dos primeiros modelos. Como em (Merton (1969)),

(Ingersoll (1987)), (Karatzas (1997)), (Pliska (1997)), (Campbell e Viceira (2001)),

(Li e Ng (2000)), (Zhou e Li (2000)) e (Zhu et al. (2004)), o processo de evolução dos preços segue um processo estocástico usualmente composto de dois parâmetros determinísticos: o retorno esperado (µ) e a volatilidade (σ). Dessa forma, em tempo

contínuo e em tempo discreto, estes trabalhos modelam o preço de um ativo i (Si),

respectivamente, conforme os processos abaixo:

n

dSi (t) = Si (t) µi (t) dt +

σij (t) dW j (t) ,

j=1

n

Si (t + 1) = Si (t) 1 + µi (t) +

σij (t) W j (t) , t ∈ [0, T ] ,

j=1

onde W (t) = (W 1 (t) , ..., W n (t)) representa um movimento Browniano em Rn, para

o caso contínuo, ou um vetor de variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas, para o caso discreto.

Utilizando estas formulações para o processo dos preços, estes modelos se adequam

bem apenas por um período relativamente curto de tempo e não conseguem responder

às mudanças no padrão do movimento do mercado. Isto ocorre, pois as constantes

flutuações nos mercados provocam alterações no retorno esperado (µ) e na volatilidade

(σ), invalidando as estimativas anteriores destes parâmetros. Na tentativa de superar

este problema, alguns autores, como Hull (1997), Lim e Zhou (2002) e Bielecki et al.

(2005), evoluíram os modelos financeiros para o caso em que os parâmetros (µ e σ) tam-

2. Revisão Bibliográfica

11

bém são randômicos, seguindo processos estocásticos adicionais. Lim e Zhou (2002),

por exemplo, estenderam o modelo de Zhou e Li (2000), citado acima, para o caso

em que os coeficientes são randômicos. Entretanto, estes modelos também se com-

portam adequadamente apenas no curto prazo, falhando em capturar movimentos de

descontinuidade que modificam de forma drástica a evolução dos preços.

Como descrito por Zhang (2000), uma das importantes características do mercado é

o fato dos ativos evoluírem seguindo tendências mestras. Estas tendências são ditadas

por diversos aspectos: o humor dos investidores, a situação geral da economia ou por

eventos de descontinuidade como os recentes ataques terroristas, as crises ocorridas nos

países asiáticos (1998) ou a queda das bolsas de valores (1929 e 1987). Portanto, uma

melhor abordagem para simular a incerteza nos mercados é a utilização do processo

estocástico para modelar as flutuações normais dos preços, conjuntamente com um

processo de Markov, modulando os parâmetros de mercado (retorno esperado e volati-

lidade), para modelar os movimentos de mudança de tendência ou de descontinuidade.

Desta forma, o processo de evolução dos preços de um ativo i é modelado em tempo

discreto como:

n

Si (t + 1) = Si (t) 1 + µi (t, θ (t)) +

σij (t, θ (t)) W j (t) , t ∈ [0, T ] ,

j=1

onde θ (t) é uma cadeia finita de Markov representando as possíveis tendências do

mercado citadas acima.

Esta última formulação permite com que a simulação do retorno dos ativos consiga

refletir de forma mais adequada o ambiente de incerteza dos mercados financeiros e, as-

sim, proporcionar um melhor resultado para a otimização de carteiras. Outra vantagem

desta forma de modelagem dos preços, conforme citado por (Fabozzi et al. (2007)), é

que ela minimiza o problema do modelo de média-variância em lidar de forma mais

apropriada com a característica de "caudas gordas"de algumas distribuições.

Modelos financeiros que se utilizam de cadeias de Markov para modular os parâ-

metros de mercado têm sido frequentemente utilizados no apreçamento de opções, por

2. Revisão Bibliográfica

12

exemplo (Masi et al. (1994)), (Fouque et al. (2000)) e (Buffington e Elliott (2002)).

Recentemente, Zhang (2000) também utilizou esta abordagem para encontrar uma

estratégia ótima de venda de ativos.

No processo de otimização de carteiras este enfoque ainda é incipiente. Em (Cajueiro

(2002)), os autores aprimoraram o clássico trabalho de Merton (1969), sujeitando as variáveis de mercado a saltos Markovianos. Bauerle e Rieder (2004) investigaram, para

diferentes funções utilidades da riqueza final, um modelo de otimização em tempo con-

tínuo com dois ativos e parâmetros sujeitos a saltos Markovianos. Utilizando o en-

foque de média-variância, uma evolução do modelo de Zhou e Li (2000) para o caso

em que os parâmetros estão sujeitos a saltos Markovianos foi realizada em (Zhou e Yin

(2003)). Estes últimos autores, em (Yin e Zhou (2004)), também investigaram uma versão em tempo discreto deste último modelo. Entretanto, é importante enfatizar

que Yin e Zhou (2004) não derivaram analiticamente em tempo discreto uma fórmula

fechada para a solução ótima do problema de média-variância multi-período com saltos.

A idéia básica em (Yin e Zhou (2004)) é a de aproveitar a estratégia ótima do problema em tempo contínuo, resolvido em (Zhou e Yin (2003)), como solução sub-ótima, ou seja,

apenas assintóticamente ótima, para o problema em tempo discreto, mostrando que,

convenientemente interpolados, os processos em tempo discreto convergem de forma

fraca para seus limites a tempo contínuo. (Çakmak e Özekici (2006)) derivaram analiti-

camente uma solução ótima para o problema tradicional em multi-período de média-

variância com saltos Markovianos (formulação I). Portanto, em (Çakmak e Özekici

(2006)) evitou-se qualquer premissa de aproximação como requeridas no modelo de

Yin e Zhou (2004), e os resultados obtidos são ótimos, em vez de apenas assintótica-

mente ótimos como em (Yin e Zhou (2004)).

Entretanto, Çakmak e Özekici (2006) investigaram apenas o caso em que o mercado

financeiro é formado por n ativos de risco mais um ativo livre de risco, que também

depende da cadeia de Markov. Portanto, os resultados obtidos em (Çakmak e Özekici

(2006)) são generalizados nesta tese para o caso em que todos os ativos do universo de 2. Revisão Bibliográfica

13

investimento são de risco e para o caso em que existe um ativo livre de risco, que não

sofre influência de qualquer fator de incerteza.

Além disso, tanto Çakmak e Özekici (2006) como Yin e Zhou (2004) consideraram apenas o caso particular no qual não se leva em conta os períodos intermediários na

função objetivo e nas restrições. Dessa forma, apesar de considerarem uma abordagem

em multi-período, a formulação dos modelos de média-variância em Çakmak e Özekici

(2006) e em Yin e Zhou (2004) são iguais às originais descritas em (2.1) e (2.2).

Em (Zhu et al. (2004)), os autores se utilizaram da inequação de Tchebycheff para

propor um modelo multi-período de média-variância com restrições sobre a probabi-

lidade de falência do portfólio nos períodos intermediários. O modelo de Zhu et al.

(2004) possui a seguinte formulação:

max E (V (T ))

sujeito a: V ar (V (t)) ≤ ̺ (t) [E (V (t)) − ψ (t)]2 , t = 1, ..., T ,

onde ̺ (t) representa a probabilidade máxima do portfólio cair abaixo de um determi-

nado valor mínimo, definido por ψ (t). No entanto, neste modelo, apenas as restrições

incidem sobre os períodos intermediários e os coeficientes de mercado (µ e σ) na mo-

delagem dos preços são determinísticos.

Ressalta-se novamente que os trabalhos até o momento apenas derivaram condições

necessárias para as soluções ótimas de seus modelos. Portanto, desconhece-se a existên-

cia de trabalhos que derivaram condições suficientes para a obtenção da solução ótima

a tempo discreto de problemas multi-período de seleção de carteira em média-variância

com saltos Markovianos.

Outra abordagem relevante no processo de seleção de carteiras é aquela em que o

objetivo é obter um desempenho superior a um índice de mercado. Como descrito por

diversos autores, entre eles Roll (1992), Brennan (1993), Chow (1995), Browne (1999),

Costa e Paiva (2002), Ammann e Zimmermann (2001), Jorion (2003), Fabozzi et al.

(2004) e Alexander e Baptista (2005), os gestores de carteiras estão usualmente mais 2. Revisão Bibliográfica

14

preocupados com o desempenho de suas carteiras em relação a um determinado bench-

mark do que com seu retorno absoluto.

Este enfoque foi inicialmente formalizado por Roll (1992), que modelou o problema

de média-variância do tracking error em período simples e com coeficientes deter-

minísticos. A formulação de Roll (1992) é similar aos modelos (2.1) e (2.2), apenas substituindo a variável patrimônio final do investidor (V (T )) por seu tracking error

(G (T )) nas expressões da esperança e da variância, conforme abaixo:

max E (G (T ))

sujeito a :

V ar (G (T )) ≤ σ2

e

min V ar (G (T ))

sujeito a :

E (G (T )) ≥ ǫ.

Apesar do relacionamento direto entre as duas abordagens, desconhece-se que resul-

tados em tempo discreto para o problema multi-período de média-variância do tracking

error com parâmetros sujeitos a saltos Markovianos tenham sido obtidos anteriormente.

Capítulo 3

Descrição do Mercado e Formulação

dos Problemas

Neste capítulo, apresenta-se uma descrição do mercado a ser investigado, definindo os

ativos que o formam e o processo que rege a evolução dos preços destes ativos. Além

disso, também são formulados os problemas de média-variância que serão investigados

pelo resto do trabalho.

Neste trabalho a seguinte notação será adotada. Denota-se por Rn o espaço Eu-

clideano n-dimensional e por Rn x m o espaço Euclideano de todas as n x m matrizes

reais. Para uma sequência de números a1, ..., a , define-se como

m

diag (ai) a matriz dia-

gonal em Rm x m composta pelos elementos a nas

i

i-ésimas posições da diagonal, com

i = 1, ..., m. O superscrito ′ indicará o transposto de um vetor ou matriz.

3.1 Descrição do Mercado

No modelo em análise, considera-se um mercado formado por n+1 ativos em um espaço

de probabilidade completo (Ω, F, {Ft} , P). A cadeia finita de Markov em tempo

15

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

16

discreto {θ (t) ; t = 0, ..., T }, tomando valores no conjunto M = {1, ..., m}, representa

os possíveis estados da economia ou modos do mercado, que regem a tendência geral

de movimento dos ativos. P é uma medida de probabilidade tal que:

P (θ (t + 1) = j |θ (0) , ..., θ (t) = i ) = P (θ (t + 1) = j |θ (t) = i ) = pij (t)

com t = 0, ..., T − 1, pij (t) ≥ 0 e

p

j

ij (t) = 1, para i, j ∈ M.

Para t = 0, ..., T ,

estabelece-se

P (t) = [pij (t)]

,

(3.1)

mxm

π (t) = (π1 (t) , ..., πm (t))′ ,

(3.2)

πi (t) = P (θ (t) = i) .

(3.3)

Como em Costa et al. (2005), para z = (z1, ..., zm)′ ∈ Rm, determina-se o operador

E (z, t) = (E1 (z, t) , ..., Em (z, t)) como:

m

E

, para

i (z, t) =

pij (t) zj

i ∈ M.

(3.4)

j=1

Por simplicidade notacional, omitir-se-á, pelo restante do texto, a variável t em E (z, t),

indicando-a como E (z), onde não houver dúvida quanto à sua colocação.

O preço dos títulos é descrito pelo vetor aleatório ¯S (t) = (S0 (t) , ..., Sn (t))′ ∈ Rn+1

com t = 0, ..., T . A filtração F é tal que os vetores aleatórios ¯

t

S (k) ; k = 0, ..., t} e a

cadeia de Markov {θ (k) ; k = 0, ..., t} são F -mensuráveis.

t

Quando o modo de operação do mercado é θ (t) = i ∈ M, ¯µ (t, i) ∈ Rn+1 representa

o vetor com a expectativa de retorno dos ativos e ¯σ (t, i) ¯σ (t, i)′ ∈ R(n+1) x (n+1) é a

matriz de covariância dos retornos dos ativos. Por conveniência, decompõe-se ¯µ (t, i) e

¯

σ (t, i) como:

µ0 (t, i)

¯

µ (t, i) = 

µ (t, i)

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

17

e

σ0 (t, i)

¯

σ (t, i) = 

 ,

σ (t, i)

com

µ (t, i) = (µ1 (t, i) , ..., µn (t, i))′ ∈ Rn,

σ0 (t, i) = (σ00 (t, i) , ..., σ0n (t, i)) ∈ R1xn+1

e

 σ10 (t, i) · · · σ1n (t, i) 

.

.

.

σ (t, i) = 

.

.

.

.

.

.

 ∈ Rnxn+1.

σn0 (t, i) · · · σnn (t, i)

Observa-se que o retorno esperado de cada ativo e a covariância destes dependem da

cadeia de Markov, ou seja, dependem por exemplo do estado da economia ou do humor

geral dos investidores. Portanto, destaca-se, que a incerteza com relação a estes estados

influencia diretamente estes dois parâmetros chave na definição da rentabilidade dos

ativos a ser descrita a seguir.

Seja a rentabilidade dos preços dos ativos definida como o vetor aleatório ¯

R (t) =

(R0 (t) , ..., Rn (t))′, com

S

R

j (t + 1) ,

j (t) =

Sj (t)

satisfazendo o seguinte processo:

¯

Rθ(t) (t) = [¯e + ¯

µ (t, θ (t))] + ¯

σ (t, θ (t)) W (t) ,

(3.5)

onde

¯

e = (1, e′)′ ,

com

e = (1, ..., 1)′,

um vetor de dimensão conveniente com 1′s em todos os seus componentes e {W (t);t =

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

18

0,...,T } é uma sequência de vetores aleatórios independentes de dimensão (n + 1) com

média zero e covariância I (matriz identidade). Considera-se que {W (t) , θ (t)} são

mutuamente independentes. Assim, tem-se que E [W (t)] = 0 e E W (t) W (t)′ = I.

Ressalta-se, portanto, a influência das duas fontes de incerteza sobre a rentabilidade

dos ativos: a cadeia de Markov representada por θ (t) e o vetor randômico representado

por W (t).

Assume-se que:

E ¯

R (t) ¯

R (t)′ |θ (t) = i > 0,

(3.6)

para cada t = 0, ..., T − 1 e i ∈ M.

3.2 O Portfólio

Seja o vetor ¯u (t) = (u0 (t) , u (t))′ ∈ Rn+1, onde u (t) = (u1 (t) , ..., un (t))′ é definido

como o vetor que representa o montante da riqueza alocado nos ativos j = 1 a j = n,

e u0 (t) o montante do patrimônio investido no ativo j = 0.

Definição 3.1 O conjunto de estratégias admissíveis de investimento U = {u =

u (0),..., ¯

u (T − 1))} é tal que para cada t = 0, ..., T − 1, ¯

u (t) = (u0 (t) , ..., un (t))′

é um vetor aleatório F mensurável, tomando valores em Rn+1.

t

Associado a cada estratégia admissível de investimento u, determina-se o processo

do valor de um portfólio como {V u (t) ∈ R; t = 0, ..., T }, que representa a riqueza

do investidor ao final do tempo t. Por simplicidade notacional, o superscrito u será

suprimido onde não se levante dúvida. Dessa forma, o patrimônio do investidor no

instante t é expresso por:

V (t) = ¯

u (t)′ ¯

e = u0 (t) + u (t)′ e.

(3.7)

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

19

Observa-se que o montante da riqueza alocado no ativo i = 0 (u0 (t)) é completa-

mente determinado por V (t) − e′u (t). Esta igualdade será utilizada mais tarde para

excluir u0 (t) do problema de otimização.

Determinando como V (0) = V0 > 0 o patrimônio inicial do investidor e que o

portfólio é auto-financiado, ou seja, não há captações ou resgates de recursos na carteira

de investimentos, a riqueza do investidor evolui, como por exemplo em Li e Ng (2000),

conforme a equação:

V (t + 1) = ¯

u (t)′ ¯

Rθ(t) (t)

= u0 (t) (1 + µ0 (t, θ (t)) + σ0 (t, θ (t)) W (t))

+ u (t)′ (e + µ (t, θ (t)) + σ (t, θ (t)) W (t)) .

(3.8)

Substituindo u0, determinado por (3.7), na equação acima, tem-se que:

V (t + 1) =

V (t) − u (t)′ e (1 + µ0 (t, θ (t)) + σ0 (t, θ (t)) W (t))

+u (t)′ (e + µ (t, θ (t)) + σ (t, θ (t)) W (t))

= V (t) (1 + µ0 (t, θ (t)) + σ0 (t, θ (t)) W (t))

−u (t)′ (e + eµ0 (t, θ (t)) + eσ0 (t, θ (t)) W (t))

+u (t)′ (e + µ (t, θ (t)) + σ (t, θ (t)) W (t))

= V (t) (1 + µ0 (t, θ (t)) + σ0 (t, θ (t)) W (t))

+u (t)′ (µ (t, θ (t)) − eµ0 (t, θ (t))

+ (σ (t, θ (t)) − eσ0 (t, θ (t))) W (t)) .

(3.9)

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

20

Definindo:

Âθ(t) (t) = (1 + µ0 (t, θt)) ,

(3.10)

Aθ(t) (t) = [σ0 (t, θ (t))] ,

(3.11)

ˆ

Bθ(t) (t) = [µ (t, θ (t)) − eµ0 (t, θ (t))] ,

(3.12)

Bθ(t) (t) = [σ (t, θ (t)) − eσ0 (t, θ (t))] ,

(3.13)

reescreve-se (3.9) como:

V (t + 1) = Aθ(t) (t) V (t) + Bθ(t) (t)′ u (t) ,

(3.14)

onde

Aθ(t) (t) =

Âθ(t) (t) + Aθ(t) (t) W (t) ,

(3.15)

Bθ(t) (t) = ˆ

Bθ(t) (t) + Bθ(t) (t) W (t) .

(3.16)

A seguir, apresentam-se algumas definições que serão necessárias pelo resto do texto.

Para cada i, j ∈ M e t ∈ T , define-se:

χi (t) = E (Bi (t)) = ˆ

Bi (t) ,

(3.17)

φi (t) = E Bi (t) Bi (t)′ = ˆ

Bi (t) ˆ

Bi (t)′ + Bi (t) Bi (t)′ ,

(3.18)

2

δ

,

(3.19)

i (t)

= E Ai (t)2 = Âi (t)2 + Ai (t)

ϕi (t)′ = E Ai (t) Bi (t)′ = Âi (t) ˆ

Bi (t)′ + Ai (t) Bi (t)′ ,

(3.20)

βi (t) = χi (t)′ φi (t)−1 χi (t) ,

(3.21)

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

21

β (t) = diag (βi (t)) ,

(3.22)

Qi (t) = δi (t) − ϕi (t)′ φi (t)−1 ϕi (t) ,

(3.23)

Q (t) = diag (Qi (t)) ,

(3.24)

Ri (t) =

Âi (t) − χi (t)′ φi (t)−1 ϕi (t) ,

(3.25)

R (t) = diag (Ri (t)) .

(3.26)

A partir da condição (3.6), a inversa de φi (t) é bem definida. Isto pode ser justifi-

cado pela expressão:

E Ai (t)2

E Ai (t) Bi (t)′ 

 =

E (Ai (t) Bi (t)) E Bi (t) Bi (t)′

 1

0 

 1 −e′ 

 E ¯

Rθ(t) (t) ¯

Rθ(t) (t)′ 

 > 0

−e I

0

I

para todo t = 0, ..., T − 1 e i ∈ M. Portanto, φi (t) é positivo definido e Qi (t) > 0 e

Ri (t) > 0 para todos os períodos.

3.3 Formulação do Problema Generalizado de

Média-Variância e dos Modelos Derivados

Os problemas tradicionais de média-variância em multi-período buscam selecionar um

conjunto de portfólios que proporcionem a maior riqueza final esperada para um nível

de risco desejado para o instante final (variância da riqueza final), ou encontrar uma

sequência de portfólios que produzam a menor variância do patrimônio terminal do

investidor para um desejado valor esperado deste patrimônio final.

Formalmente, as duas formulações citadas acima, nomeadas respectivamente de

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

22

P (σ2) e P (ǫ), podem ser expressas como:

P σ2

: max E (V (T ))

u∈U

sujeito a : V ar (V (T )) ≤ σ2

(3.27)

e

P (ǫ) : max − V ar (V (T ))

u∈U

sujeito a : E (V (T )) ≥ ǫ.

(3.28)

Como já comentado, problemas como estes foram resolvidos analiticamente em

tempo discreto e contínuo para o caso sem saltos Markovianos em Li e Ng (2000) e

Zhou e Li (2000), respectivamente, e em Çakmak e Özekici (2006), quando foi incluída a possibilidade de saltos nas variáveis de mercado (retorno esperado dos ativos e vari-

ância dos retornos).

No entanto, estas expressões não consideram os valores da riqueza nem do risco

nos períodos intermediários. Algumas classes de investidores, como as entidades de

previdência e de seguros, devem manter controles e, regularmente (anualmente ou

trimestralmente), prestar contas a órgãos reguladores sobre pontos definidos em suas

políticas de investimentos como o retorno, o risco e o nível de seus patrimônios que de-

vem honrar seus passivos. Portanto, estes investidores necessitam acompanhar ao longo

de todo o período de investimento a evolução do patrimônio e do risco incorrido em

cada instante. Dessa forma, estes investidores devem incluir os períodos intermediários

em suas funções objetivo e restrições.

Define-se T := {τ1, . . . , τι }, com τ

= T . Introduz-se o coeficiente

f

0 = 0 e τιf

α(t) ≥ 0, para todo t ∈ T , com α(T ) > 0 e α(t) = 0, para t /

∈ T , como um conjunto

de números reais positivos que representará o peso que o investidor atribui à riqueza

(ou risco) a cada período desejado de seu horizonte de investimento.

Para atender à demanda daqueles investidores institucionais, uma formulação mais

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

23

apropriada é a que a função objetivo é constituída pela soma ponderada do valor

esperado da riqueza ao longo do tempo, tendo como restrição o risco (variância do

patrimônio) em cada instante t ∈ T . Outra formulação indicada a estes investidores é

a que a função objetivo é minimizar a soma ponderada da variância da riqueza ao longo

do tempo, tendo como restrição a esperança do patrimônio em cada instante t ∈ T .

Portanto, reformulam-se os problemas P (σ2) e P (ǫ), denominando-os, respectivamente

de P MV (σ2) e P MV (ǫ), como:

P M V σ2

: max

α(t)E (V (t))

u∈U

t∈T

sujeito a : V ar (V (t)) ≤ σ2 (t) , t ∈ T

(3.29)

e

P M V (ǫ) : max −

α(t)V ar (V (t))

u∈U

t∈T

sujeito a : E (V (t)) ≥ ǫ (t) , t ∈ T .

(3.30)

A relevância que o investidor atribui a cada instante de tempo t ∈ T pode ser

controlada através do parâmetro α(t). Quanto maior for o valor atribuído a este coe-

ficiente em um determinado instante em relação aos outros valores de α(t), maior será

a importância da esperança ou da variância da riqueza neste período em relação aos

outros instantes de tempo no processo de otimização.

Entretanto, estas formulações ainda desconsideram a possibilidade do portfólio falir

antes do período final, ou seja, uma possível perda completa do patrimônio em um ins-

tante intermediário. Como demonstrado por Zhu et al. (2004), na formulação multi-

período tradicional de média-variância o portfólio pode ter seu patrimônio reduzido a

um valor negativo e mesmo assim continuar investindo em ativos através da captação

de recursos oriundos da venda a descoberto de outros ativos. No entanto, a possi-

bilidade de um investidor com patrimônio negativo continuar operando no mercado é

praticamente inviável em casos reais. De fato, muitos investidores, como entidades de

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

24

previdência, possuem metas de rentabilidade mínima ou metas atuariais e não podem

permitir que seus patrimônios caiam abaixo de um limite mínimo sob pena de sofrerem

sanções de órgãos reguladores e sob pressão das empresas patrocinadoras que podem

ter de elevar o nível de contribuição para que os ativos sejam suficientes para fazer

frente aos passivos.

Zhu et al. (2004) apresentaram uma estratégia para controlar a probabilidade de

perda máxima ou de falência de portfólios. Este controle pode ser realizado através

da inequação de Tchebycheff. Dessa forma, assumindo um nível mínimo aceitável

para o valor do portfólio em cada período t como V (t)

= ψ (t), tem-se que a

minímo

probabilidade do patrimônio do investidor em cada instante t ser menor que este valor

mínimo pode ser limitada pela inequação:

V ar (V (t))

P (V (t) ≤ ψ (t)) ≤

≤ ̺ (t) ,

[E (V (t)) − ψ (t)]2

onde ̺ (t) é uma variável informada pelo investidor, representando seu desejo com

relação à probabilidade máxima de seu patrimônio cair abaixo do valor mínimo ψ(t),

também definido por este mesmo agente.

Portanto, inserindo a restrição de controle sobre a probabilidade máxima da riqueza

ser inferior a um determinado limite mínimo, mas sem considerar a possibilidade de

saltos Markovianos nos parâmetros de mercado, Zhu et al. (2004) reescreveram o pro-

blema P (σ2) como:

P CF (̺, ψ)

:

max E (V (T ))

u∈U

V ar (V (t)) ≤ ̺ (t) [E (V (t)) − ψ (t)]2 , t = 1, ..., T ,

onde

̺ = ̺ (τ1) , ̺ (τ2) , ..., ̺ τ

e

são vetores, cujos

ι

ψ = ψ (τ

f

1) , ψ (τ2) , ..., ψ τιf

componentes ̺ (t) e ψ (t) indicam a probabilidade máxima do portfólio cair abaixo de

um determinado valor mínimo ao final do período t, e este valor mínimo, respectiva-

mente.

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

25

Novamente, ressalta-se a vantagem de permitir que o investidor possa ponderar da

forma que achar mais adequado a relevância do valor esperado da riqueza em cada

instante no processo de otimização. Dessa forma, inclui-se ao problema P CF (̺, ψ)

a possibilidade de ponderação da riqueza ao longo do tempo e a existência de saltos

Markovianos nas variáveis de mercado, reescrevendo-o como:

P BC (̺, ψ)

:

max

α(t)E (V (t))

u∈U

t∈T

V ar (V (t)) ≤ ̺ (t) [E (V (t)) − ψ (t)]2 , t ∈ T .

(3.31)

Destaca-se que o problema P BC (̺, ψ) engloba o problema P MV (σ2), já que a restri-

ção sobre a variância final em (3.29) pode ser replicada em (3.31), bastando escolher convenientemente as variáveis ̺ (T ) e ψ (T ).

3.3.1

Formulação para o Problema Generalizado de

Média-Variância com Saltos Markovianos

As formulações citadas acima e outras variações dos problemas de média-variância são

derivadas de uma forma generalizada do problema multi-período de média-variância,

que será descrita a seguir e que será alvo de estudo neste trabalho.

Como descrito anteriormente, o problema multi-período generalizado de média-

variância com saltos Markovianos (P GMV ) é um problema de controle estocástico

sem restrição cuja função objetivo consiste em maximizar a soma ponderada ao longo

do tempo da combinação linear de três elementos: o valor esperado da riqueza do

investidor, o quadrado da esperança desta riqueza e a esperança do quadrado deste

patrimônio.

Considere uma sequência de números positivos ρ(t), ν(t), e uma sequência de

números reais ℓ(t), para t ∈ I := {τ1, . . . , τι }, com ρ(T ) > 0, ν(T ) > 0, e ℓ(T ) = 0.

f

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

26

Define-se, portanto o problema o P GMV como:

P GM V (ρ, ℓ, ν) : max

ν(t)E (V (t))2 − ρ(t)E V (t)2 + ℓ(t)E (V (t)) .

(3.32)

u∈U

t∈I

Convenientemente, estende-se a definição de ℓ(t), ν(t) e ρ(t) para t /

∈ I, fixando

nestes casos ℓ(t) = 0, ν(t) = 0 e ρ(t) = 0. Além disso, define-se para o momento inicial

τ0 = 0, ℓ(0) = 0, ν(0) = 0 e ρ(0) = 0.

As formulações P (σ2), P (ǫ), P MV (σ2), P MV (ǫ) e P BC (̺, ψ) podem ser rees-

critas na formulação sem restrição P GMV (ρ, ℓ, ν), através da introdução de Multipli-

cadores de Lagrange. Este processo será apresentado a seguir.

Iniciando com o problema P BC (̺, ψ), insere-se os Multiplicadores de Lagrange

não negativos ω (t), com t ∈ I = T e ω (T ) = 0 em (3.31). Dessa forma, reescreve-se

P BC (̺, ψ) como um problema de maximização Lagrangiano (LP BC (ω, ̺, ψ)) descrito

por:

LP BC (ω, ̺, ψ) : max

α(t)E (V (t))

u∈U

t∈T

ω (t) V ar (V (t)) − ̺ (t) [E (V (t)) − ψ (t)]2 ,

t∈T

Expandindo o termo V ar (V (k)) como V ar (V (k)) = E V (k)2 − E (V (k))2, e de-

senvolvendo o termo ao quadrado no lado direito da equação, determina-se:

LP BC (ω, ̺, ψ) : max

(α(t) − 2ω (t) ̺ (t) ψ (t)) E (V (t)) −

ω (t) E V (t)2

u∈U

t∈T

t∈T

+

ω (t) (1 + ̺ (t)) E (V (t))2 +

ω (t) ̺ (t) ψ (t)2 .

(3.33)

t∈T

t∈T

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

27

Estabelece-se uma relação entre LP BC (ω, ̺, ψ) e P GMV (ρ, ℓ, ν), fazendo, para t ∈ I,

 ρ (t) = ω (t) ,

(3.34)

 ν (t) = ρ (t) (1 + ̺ (t)) ,

 ℓ (t) = α(t) − 2ρ (t) ̺ (t) ψ (t) .

A relação entre P MV (σ2) e P MV (ǫ) para o problema P GMV (ρ, ℓ, ν) é bem mais

direta. Seguindo o mesmo procedimento, insere-se os Multiplicadores de Lagrange não

negativos ω (t), com t ∈ I, definindo o problema sem restrição(LP MV (σ2)):

LP M V ω, σ2

: max

α(t)E (V (t)) −

ω (t) V ar (V (t))

u∈U

t∈T

t∈T

: max

α(t)E (V (t)) −

ω (t) E V (k)2 − E (V (k))2

u∈U

t∈T

t∈T

: max

ω (t) E (V (k))2 − E V (k)2

+ α(t)E (V (t)) .

u∈U

t∈T

(3.35)

Neste caso, a relação entre LP MV (ω, σ2) e P GMV (ρ, ℓ, ν) é obtida fazendo, para

t ∈ I,

 ρ (t) = ν (t) = ω (t)

(3.36)

 ℓ (t) = α(t).

Para o problema P MV (ǫ), a relação segue diretamente do processo descrito para

P M V (σ2). Dessa forma, define-se o problema sem restrição(LP M V (ω, ǫ)):

LP M V (ω, ǫ) : max −

α(t)V ar (V (t)) −

ω (t) E (V (t))

u∈U

t∈T

t∈T

: max −

α(t) E V (k)2 − E (V (k))2 −

ω (t) E (V (t))

u∈U

t∈T

t∈T

: max

α(t) E (V (k))2 − E V (k)2

− ω (t) E (V (t)) , (3.37)

u∈U

t∈T

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

28

e a relação entre LP MV (ω, ǫ) e P GMV (ρ, ℓ, ν) é obtida fazendo, para t ∈ I,