Seleção dinâmica de portfólios em média-variância com saltos Markovianos por Michael Viriato Araujo - Versão HTML

ATENÇÃO: Esta é apenas uma visualização em HTML e alguns elementos como links e números de página podem estar incorretos.
Faça o download do livro em PDF, ePub, Kindle para obter uma versão completa.

 ρ (t) = ν (t) = α(t)

(3.38)

 ℓ (t) = −ω (t) .

Os problemas P (σ2) e P (ǫ) têm uma formulação similar a P MV (σ2) e P MV (ǫ),

diferenciando-se apenas por suas funções objetivo e restrições atuarem apenas no ins-

tante final (T ). Portanto, para P (σ2) e P (ǫ), nota-se que ω (t) = 0, α(t) = 0, para

t = T , e α(T ) = 1 e ω (T ) > 0, em (3.36) e (3.38), respectivamente.

3.3.2

Formulação do Problema Auxiliar

Como descrito em Li e Ng (2000) o problema estocástico multi-período de média-

variância apresenta a característica de ser não separável no sentido da programação

dinâmica. Isto ocorre porque o problema envolve uma função utilidade não linear de

uma esperança (mais especificamente o quadrado da esperança da riqueza (E(V (t))2)),

e, portanto, não pode ser diretamente resolvido através da programação dinâmica.

Li e Ng (2000) propuseram uma solução para esta impossibilidade de se resolver pro-

blemas como o P GMV (ρ, ℓ, ν), através da programação dinâmica. Esta solução é

baseada em um problema auxiliar que pode ser resolvido através da programação

dinâmica. Este mesmo procedimento foi utilizado por Zhou e Li (2000), Zhou e Yin

(2003), Yin e Zhou (2004), Zhu et al. (2004) e Çakmak e Özekici (2006).

Dessa forma, para a solução do problema P GMV (ρ, ℓ, ν), considerou-se uma for-

mulação auxiliar como a desenvolvida em Li e Ng (2000). Seja λ (t) um conjunto de

números reais, para t = 1, ..., T , atribui-se a P GMV (ρ, ℓ, ν) o seguinte problema au-

xiliar:

T

A (λ, ρ) : min

E ρ(t)V (t)2 − λ(t)V (t) .

(3.39)

u∈U

t=1

Também se estende a definição de λ (t) para t /

∈ I, como λ (t) = 0.

3. Descrição do Mercado e Formulação dos Problemas

29

A formulação auxiliar A (λ, ρ) tem a vantagem de possuir uma função objetivo

quadrática separável no sentido da programação dinâmica.

Capítulo 4

Solução para o Problema Generalizado

de Média-Variância com Parâmetros

Sujeitos a Saltos Markovianos

Neste capítulo investiga-se o problema generalizado de média-variância (P GMV (ρ, ℓ, ν))

descrito na Seção 3.3 para o caso geral em que o mercado é formado apenas por ativos de risco. Inicialmente, deriva-se analiticamente, através da programação dinâmica, uma

lei de controle ótima para o problema auxiliar A (λ, ρ) descrito no capítulo anterior e

se obtém uma expressão para a função valor deste problema. A partir desta estratégia

ótima de controle, determinam-se expressões explícitas para a solução do problema

generalizado de média-variância com parâmetros sujeitos a saltos Markovianos.

4.1 Lei de Controle Ótima

A função custo associada ao problema auxiliar (3.39) com uma política ótima de con-

trole admissível u = (u (0) , ..., u (T − 1)) e com condições iniciais (V (0) , θ (0)) é

30

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

31

denotada por J (V (0) , θ (0)), e seu mínimo por J∗ (V (0) , θ (0)). Assim, objetiva-se

encontrar uma política admissível de controle u ∈ U tal que:

T

J∗ (V (0) , θ (0)) = min

E ρ(t)V (t)2 − λ(t)V (t) .

u∈U

t=1

Considerando o problema intermediário iniciando no instante k, a função valor para

o problema auxiliar no tempo k ∈ {0, ..., T − 1} é definida por:

T

J∗ (V (k) , θ (k) , k) = min

E ρ(t)V (t)2 − λ(t)V (t) Fk ,

(4.1)

u(k)∈Uk t=k

onde U

mensurável para

k = {uk = (u (k) , ..., u (T − 1))′ ; u (t) = (u1 (t) , ..., un (t))′ é Ft

cada t = k, ..., T − 1}.

Com a definição da função custo do problema, passa-se à derivação da lei de controle

ótima que é solução do problema auxiliar A (λ, ρ) de média-variância a tempo discreto

com saltos. Como nos problemas estocásticos lineares quadráticos clássicos, a lei de

controle ótima depende da solução de um conjunto de equações recursivas a diferença

de Riccati interconectadas.

Sejam os vetores m-dimensionais K (t) = (K1 (t) , . . . , Km (t))′, Z (t) = (Z1 (t) ,

. . . , Zm (t))′ e D (t) = (D1 (t) , . . . , Dm (t))′, onde Ki (t), Zi (t) e Di (t) são calculados

recursivamente de trás para frente através das equações a diferença interconectadas de

Riccati:

 K

i (t) = ρ(t) + Qi (t) Ei [K (t + 1)] ,

Ki (T ) = ρ(T ),

(4.2)

 Zi (t) = −λ(t) + Ri (t) Ei [Z (t + 1)] , Zi (T ) = −λ(T ),

 Di (t) = − Ei[Z(t+1)]2 β

4E

i (t) + Ei [D (t + 1)] ,

Di (T ) = 0,

i[K (t+1)]

para t = T − 1, . . . , 0 e i ∈ M.

Para s, t = 0, . . . , T , com s ≤ t, convenientemente definem-se Q(t, s) ∈ Rm×m,

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

32

R(t, s) ∈ Rm×m K(t, s) ∈ Rm e Z(t, s) ∈ Rm como:

t−1

Q(t, s) =

Q (k) P (k) , K(t, s) = Q(t, s)e, K(s) = K(T, s),

(4.3)

k=s

t−1

R(t, s) =

R (k) P (k) , Z(t, s) = R(t, s)e, Z(s) = Z(T, s),

(4.4)

k=s

onde Q(s, s) = I e R(s, s) = I. A partir de (4.2) deriva-se que

T

K (t) =

ρ(s)K(s, t)

s=t

e

T

Z (t) = −

λ(s)Z(s, t).

s=t

Apresenta-se então o seguinte teorema com a estratégia ótima de investimentos ou lei

de controle ótima.

Teorema 4.1 A lei de controle ótima u∗ = (u (0) , ..., u (T − 1)) para o problema

(3.39), é dada como:

E

u (t) = −φ

θ(t) [Z (t + 1)]

θ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t) −

φ

2E

θ(t) (t)−1 χθ(t) (t) .

(4.5)

θ(t) [K (t + 1)]

Além disso, a função valor para o problema intermediário (4.1) é expressa como:

J∗ (V (t) , θ (t) , t) = Kθ(t) (t) V (t)2 + Zθ(t) (t) V (t) + Dθ(t) (t) .

(4.6)

Prova. Aplica-se indução em t. Para t = T , tem-se que:

T

J∗ (V (T ) , θ (T ) , T ) =

min

E ρ(t)V (t)2 − λ(t)V (t) FT

u(T )∈UT t=T

= ρ(T )V (T )2 − λ(T )V (T )

= Kθ(T) (T ) V (T )2 + Zθ(T) (T ) V (T ) + Dθ(T) (T ) ,

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

33

satisfazendo o Teorema 4.1.

Supondo que o resultado atenda ao Teorema 4.1 em t = k + 1. Mostra-se que para

t = k, (4.6) continua válida. Assim, para θ (k) = i ∈ M e E (V (k)) = υ, segue, através do princípio de otimalidade de Bellman, que:

T

J∗ (υ, i, k) =

min

E ρ(t)V (t)2 − λ(t)V (t) Fk

u(k)∈Uk t=k

=

min E {J∗ (V (k + 1) , θ (k + 1) , k + 1)| Fk}

u(k)∈Uk

+ρ(k)υ2 − λ(k)υ.

Substituindo (4.6) na equação acima, obtém-se:

J∗ (υ, i, k) =

min E Kθ(k+1) (k + 1) V (k + 1)2 + Zθ(k+1) (k + 1) V (k + 1)

u(k)∈Uk

+Dθ(k+1) (k + 1) Fk + ρ(k)υ2 − λ(k)υ.

Utilizando (3.14), encontra-se que:

2

J∗ (υ, i, k) =

min E

Kθ(k+1) (k + 1) · Aθ(k) (k) V (k) + Bθ(k) (k)′ u (k)

u(k)∈Uk

+Zθ(k+1) (k + 1) Aθ(k) (k) V (k) + Bθ(k) (k)′ u + Dθ(k+1) (k + 1) Fk

+ρ(k)υ2 − λ(k)υ

=

min Ei (K (k + 1)) E A2 (k) υ2 + 2E A

i

i (k) Bi (k)′

u(k)∈Uk

·u (k) υ + u (k)′ E Bi (k) Bi (k)′ u (k) + Ei (Z (k + 1))

· E [Ai (k)] υ+E Bi (k)′ u (k) + Ei (D (k + 1))

+ρ(k)υ2 − λ(k)υ,

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

34

ou

J∗ (υ, i, k) =

min Ei [K (k + 1)] δi (k) υ2 + 2ϕi (k)′ u (k) υ + u (k)′ φi (k) u (k)

u(k)∈Uk

+Ei (Z (k + 1)) Âi (k) υ + χi (k)′ u (k) + Ei (D (k + 1))

+ρ(k)υ2 − λ(k)υ.

(4.7)

Tomando-se a derivada de (4.7) em relação a u (k) e igualando o resultado a zero,

encontra-se:

2Ei [K (k + 1)] (ϕi (k) υ + φi (k) u (k)) + Ei [Z (k + 1)] χi (k) = 0.

Portanto:

E

u (k) = −φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ −

φ

2E

i (k)−1 χi (k) ,

(4.8)

i [K (k + 1)]

como em (4.5).

Substituindo (4.8) em (4.7), chega-se a:

J∗ (υ, i, k) =

Ei [K (k + 1)] δi (k) υ2 + 2ϕi (k)′

E

· −φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ −

φ

2E

i (k)−1 χi (k)

υ

i [K (k + 1)]

E

+ −φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ −

φ

φ

2E

i (k)−1 χi (k)

i (k)

i [K (k + 1)]

E

· −φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ −

φ

2E

i (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

+Ei [Z (k + 1)] Âi (k) υ + Ei [Z (k + 1)] χi (k)′

E

· −φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ −

φ

2E

i (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

+Ei [D (k + 1)] + ρ(k)υ2 − λ(k)υ ,

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

35

J∗ (υ, i, k) =

Ei [K (k + 1)] δi (k) υ2 − 2ϕi (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ2 − 2ϕi (k)′

E

· i [Z (k + 1)] φ

2E

i (k)−1 χi (k) υ + ϕi (k)′ φi (k)−1 υφi (k) φi (k)−1

i [K (k + 1)]

E

·ϕ

i [Z (k + 1)]

i (k) υ + ϕi (k)′ φi (k)−1 υφi (k)

φ

2E

i (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

E

+ i [Z (k + 1)] χ

2E

i (k)′ φi (k)−1 φi (k) φi (k)−1 ϕi (k) υ

i [K (k + 1)]

E

E

+ i [Z (k + 1)] χ

i [Z (k + 1)] φ

2E

i (k)′ φi (k)−1 φi (k)

i (k)−1

i [K (k + 1)]

2Ei [K (k + 1)]

· χi (k)] + Ei [Z (k + 1)] Âi (k) υ − Ei [Z (k + 1)] χi (k)′ φi (k)−1

·ϕi (k) υ − Ei [Z (k + 1)] χi (k)′ Ei [Z (k + 1)] φ

2E

i (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

+Ei [D (k + 1)] + ρ(k)υ2 − λ(k)υ .

Logo,

J∗ (υ, i, k) =

Ei [K (k + 1)] δi (k) υ2 − 2Ei [K (k + 1)] ϕi (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ2

−Ei [Z (k + 1)] ϕi (k)′ φi (k)−1 χi (k) υ + Ei [K (k + 1)] ϕi (k)′

E

·φ

i [Z (k + 1)]

i (k)−1 ϕi (k) υ2 +

ϕ

2

i (k)′ φi (k)−1 χi (k) υ

E

E

+ i [Z (k + 1)]χ

i [Z (k + 1)]2

2

i (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ + 4Ei [K (k + 1)]

·χi (k)′ φi (k)−1 χi (k) + Ei [Z (k + 1)] Âi (k) υ − Ei [Z (k + 1)]

E

·χ

i [Z (k + 1)]2

i (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ −

χ

2E

i (k)′ φi (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

+Ei [D (k + 1)] + ρ(k)υ2 − λ(k)υ

=

Ei [K (k + 1)] δi (k) υ2 − Ei [K (k + 1)] ϕi (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ2

−Ei [Z (k + 1)] χi (k)′ φi (k)−1 ϕi (k) υ + Ei [Z (k + 1)] Âi (k) υ

E

− i [Z (k + 1)]2 χ

4E

i (k)′ φi (k)−1 χi (k)

i [K (k + 1)]

+Ei [D (k + 1)] + ρ(k)υ2 − λ(k)υ ,

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

36

ou seja,

J∗ (υ, i, k) = (Ei [K (k + 1)] Qi (t) + ρ(k)) υ2 + (Ei [Z (k + 1)] Ri (t) − λ(k)) υ

E

− i [Z (k + 1)]2 β

4E

i (t) + Ei [D (k + 1)] ,

i [K (k + 1)]

produzindo o resultado apresentado em (4.6) para a função valor.

4.2 Resultados da Formulação Auxiliar

A partir da lei de controle ótimo encontrada na seção anterior é possível derivar im-

portantes resultados para o problema auxiliar A (λ, ρ). Nesta seção, deriva-se analiti-

camente as equações para o valor esperado e para a variância do valor terminal da

riqueza sob a lei de controle ótima (4.5).

Antes de apresentar os resultados, define-se para k = 0, . . . , T −1 e κ = 0, . . . , ιf −1:

π

B(k) = P (k)′diag

i(k)βi(k)

P (k),

(4.9)

Ei(K(k + 1))

τκ+1−1

B (τκ) =

R(τκ+1, k + 1)′B(k)R(τκ+1, k + 1),

(4.10)

k=τκ

τκ+1−1

C (τκ) =

Q(τκ+1, k + 1)′P (k)′

k=τκ

E

2

·diag π

i (R(τκ+1, k + 1))

.

(4.11)

i(k)βi(k)

Ei(K(k + 1))

Seja, para j ∈ M,

q (t) = (q1 (t) , ..., qm (t))′ , com qj (t) = E(V (t) 1{θ(t)=j})

(4.12)

e

g (t) = (g1 (t) , ..., gm (t))′ , com gj (t) = E V (t)2 1{θ(t)=j} .

(4.13)

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

37

O seguinte teorema apresenta as formulações analíticas para a esperança e para a

variância da riqueza do investidor em cada momento τκ ∈ I.

Teorema 4.2 Sob a lei de controle ótima (4.5), o valor esperado e a variância do

patrimônio do investidor em cada instante de tempo τκ ∈ I são expressos, respectiva-

mente, como:

1 κ−1

E (V (τκ)) = q (0)′ Z (τκ,0) −

Z (τ

2

k+1)′ B (τk)′ e

(4.14)

k=0

e

1 κ−1

V ar (V (τκ)) = g (0)′ K (τκ, 0) +

diag Z

4

i (τk+1)2 ′ C (k)′ e

k=0

2

1 κ−1

− q (0)′ Z (τ

.

(4.15)

κ,0) −

Z (τ

2

k+1)′ B (τk)′ e

k=0

Prova. Inicialmente, encontram-se as expressões para as esperanças do valor da riqueza

e do quadrado deste sob a lei de controle ótimo (4.5), a qual se repete abaixo:

E

u∗ (t) = −φ

θ(t) [Z (t + 1)]

θ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t) −

φ

2E

θ(t) (t)−1 χθ(t) (t) .

θ(t) [K (t + 1)]

Utilizando esta política ótima de investimento em (3.14), obtém-se:

V (t + 1) = Aθ(t) (t) V (t) + Bθ(t) (t)′

E

· −φ

θ(t) [Z (t + 1)]

θ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t) −

φ

2E

θ(t) (t)−1 χθ(t) (t)

θ(t) [K (t + 1)]

ou

V (t + 1) =

Aθ(t) (t) − Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t)

E

− θ(t) [Z (t + 1)] B

2E

θ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t) ,

(4.16)

θ(t) [K (t + 1)]

que representa o processo da riqueza quando adotada a estratégia u∗ (t).

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

38

Conforme em Costa et al. (2005), (4.12) e (4.16), segue que: m

qj (t + 1) =

E V (t + 1) 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

i=1

m

=

E

Aθ(t) (t) − Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t) 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

i=1

m

E

E

θ(t) [Z (t + 1)] B

2E

θ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t) 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

θ(t) [K (t + 1)]

i=1

m

=

Ai (t) − χi (t)′ φi (t)−1 ϕi (t) · E V (t) 1{θ(t)=i}P (θ (t + 1) = j| Ft)

i=1

m

E

i [Z (t + 1)] χ

2E

i (t)′ φi (t)−1 χi (t) · E

1{θ(t)=i}P (θ (t + 1) = j| Ft) ,

i [K (t + 1)]

i=1

ou

m

1 m

E

q

i [Z (t + 1)]

j (t + 1) =

pij (t) Ri (t) qi (t) −

p

β

2

ij (t) πi (t) E

i (t) .

(4.17)

i [K (t + 1)]

i=1

i=1

Elevando-se ao quadrado os dois lados de (4.16) obtém-se:

V (t + 1)2 =

Aθ(t) (t) − Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t)

E

2

− θ(t) (Z (t + 1)) B

2E

θ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t)

θ(t) (K (t + 1))

=

Aθ(t) (t)2 − 2Aθ(t) (t) Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t)

+ ϕθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 Bθ(t) (t) Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t)2

Aθ(t) (t) − Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t)

E

· θ(t) [Z (t + 1)] B

E

θ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t)

V (t)

θ(t) [K (t + 1)]

1

E

2

+

θ(t) [Z (t + 1)]

χ

4

E

θ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 Bθ(t) (t) Bθ(t) (t)′

θ(t) [K (t + 1)]

·φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t) .

(4.18)

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

39

A partir de Costa et al. (2005), (4.13) e (4.18), tem-se que: m

gj (t + 1) =

E V (t + 1)2 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

i=1

m

=

E

Aθ(t) (t)2 − 2Aθ(t) (t) Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) + ϕθ(t) (t)′

i=1

·φθ(t) (t)−1 Bθ(t) (t) Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t)2 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

m

E

E

θ(t) [Z (t + 1)]

A

E

θ(t) (t) − Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 ϕV i (t)

θ(t) [K (t + 1)]

i=1

· Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t) V (t) 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

m

1

E

2

+

E

θ(t) [Z (t + 1)]

χ

4

E

θ(t) (t)′

θ(t) [K (t + 1)]

i=1

·φθ(t) (t)−1 Bθ(t) (t) Bθ(t) (t)′ φθ(t) (t)−1 χθ(t) (t) 1{θ(t+1)=j}1{θ(t)=i}

m

=

Ai (t)2 − 2ϕi (t)′ φi (t)−1 ϕi (t) + ϕi (t)′ φi (t)−1 ϕi (t)

i=1

m

E

·E V (t)2 1

i [Z (t + 1)]

{θ(t)=i}P ( θ (t + 1) = j| Ft) −

Ei [K (t + 1)]

i=1

· ϕi (t)′ φi (t)−1 χi (t) − ϕi (t)′ φi (t)−1 φi (t) φi (t)−1 χi (t)

1 m

E

2

·E V (t) 1

i [Z (t + 1)]

{θ(t)=i}P ( θ (t + 1) = j| Ft) + 4

Ei [K (t + 1)]

i=1

·χi (t)′ φi (t)−1 φi (t) φi (t)−1 χi (t) E 1{θ(t)=i}P (θ (t + 1) = j| Ft) ,

ou

m

1 m

E

2

g

i [Z (t + 1)]

j (t + 1) =

pij (t) Qi (t) gi (t) +

p

β

4

ij (t) πi (t)

E

i (t) .

(4.19)

i [K (t + 1)]

i=1

i=1

Para duas sequências de vetores em Rm, υ(t) = (υ1(t), . . . , υm(t))′ e ϑ(t)= (ϑ1(t),

. . . , ϑm(t))′, para t = 1, . . . ,T , definem-se para t = 0, . . . ,T − 1, os vetores h(υ, ϑ, t)=

(h1(υ, ϑ, t), . . . ,hm(υ, ϑ, t))′ e r (υ, ϑ, t)=(r1(υ, ϑ, t), . . . ,rm(υ, ϑ, t))′ em Rm como:

1 m

E

h

i [υ(t + 1)]

j (υ, ϑ, t)

=

p

β

2

ij πi (t) E

i (t) ,

(4.20)

i [ϑ(t + 1)]

i=1

1 m

E

2

r

i [υ(t + 1)]

j (υ, ϑ, t)

=

p

β

4

ij πi (t)

E

i (t) .

(4.21)

i [ϑ(t + 1)]

i=1

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

40

Substituindo os vetores (4.20) e (4.21) em (4.17) e (4.19), respectivamente, encontram-se as seguintes equações recursivas para s, t = 0, . . . , T , com s < t:

t−1

q (t)′ = q (s)′ R(t, s) −

h (Z, K, k)′ R(t, k + 1)

(4.22)

k=s

e

t−1

g (t)′ = g (s)′ Q(t, s) +

r (Z, K, k)′ Q(t, k + 1).

(4.23)

k=s

De (4.9), (4.22) e (4.23) tem-se, respectivamente, que para κ = 0, . . . , ιf − 1 e para t = 0, . . . , T − 1

τ

1 κ+1−1

q (τκ+1) = R (τκ+1, τκ)′ q (τκ) −

R (τ

2

κ+1, k + 1)′ B (k) Z (k + 1)

(4.24)

k=τκ

e

τ

1 κ+1−1

g (τκ+1) = Q (τκ+1, τκ)′ g (τκ) +

Q(τ

4

κ+1, k + 1)′P (k)′

k=τκ

E

2

·diag π

i (Z (k + 1))

.

(4.25)

i(k)βi(k)

Ei(K(k + 1))

Lembrando que λ(t) = 0 para t /

∈ I, segue de (4.2) que para τκ ≤ k ≤ τκ+1 − 1

Z (k + 1) = R(τκ+1, k + 1)Z (τκ+1)

(4.26)

e

Z (τκ) = −λ(τκ)e + R(τκ+1, τκ)Z (τκ+1) .

(4.27)

Substituindo (4.10) e (4.26) em (4.24), obtém-se 1

q (τκ+1) = R(τκ+1, τκ)′q (τκ) − B (τ

2

κ) Z (τκ+1).

(4.28)

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

41

Da mesma forma, substituindo (4.11) e (4.26) em (4.25), resulta que τ

1 κ+1−1

g (τκ+1) = Q (τκ+1, τκ)′ g (τκ) +

Q(τ

4

κ+1, k + 1)′P (k)′

k=τκ

E

2

·diag π

i (R(τκ+1, k + 1))

i(k)βi(k)

diag Z

E

i (τκ+1)2

i(K (k + 1))

1

= Q (τκ+1, τκ)′ g (τκ) + C (τ

4

κ) diag

Zi (τκ+1)2 .

(4.29)

Como E (V (k)) = q (k)′ e e E V (k)2 = g (k)′ e, de (4.28) e (4.29) são obtidas as expressões desejadas para a esperança do valor e do quadrado do valor da riqueza no

instante τκ ∈ I, respectivamente como:

1 κ−1

E (V (τκ)) = q (0)′ Z (τκ,0) −

Z (τ

2

k+1)′ B (τk)′ e

k=0

e

1 κ−1

E V (τκ)2 = g (0)′ K (τκ, 0) +

diag Z

4

i (τk+1)2 ′ C (k)′ e.

(4.30)

k=0

A formulação da variância da riqueza em cada instante de tempo (τκ ∈ I) em (4.15) é

resultante de (4.14) e (4.30), completando a prova.

4.3 Solução para o Problema Generalizado de

Média-Variância

Nesta seção, resolve-se o problema geral de média-variância P GMV (ρ, ℓ, ν). Mostra-se

que a solução deste problema segue a partir da solução do problema auxiliar A(λ, ρ)

encontrada nas seções anteriores, utilizando a lei de controle (4.5). Na Subseção 4.3.1

é apresentada uma condição necessária quando u ∈ P GMV (ρ, ℓ, ν), enquanto na Sub-

seção 4.3.2, deriva-se uma condição suficiente para u ∈ P GMV (ρ, ℓ, ν).

Denota-se por Π(A(λ, ρ)) e Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)), respectivamente, o conjunto de

soluções ótimas para os problemas A(λ, ρ) e P GMV (ρ, ℓ, ν).

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

42

4.3.1

Condição Necessária

Inicialmente, apresenta-se uma condição necessária quando u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)). A

seguinte proposição é similar ao Teorema 1 em Li e Ng (2000) e em Zhu et al. (2004), e sua prova também é semelhante à encontrada nestes trabalhos.

Proposição 4.1 Se u ∈ Π(P GM V (ρ, ℓ, ν)) então u ∈ Π (A(λ, ρ)) com

λ(t) = ℓ(t) + 2ν(t)E(V u(t)),

(4.31)

para t = 0, ..., T .

Prova. Seja u ∈ Π(P GM V (ρ, ℓ, ν)) e, por contradição, assume-se que u /

∈ Π (A(λ, ρ)).

Então existe u∗ tal que

 E V u∗ (1)2 

..

.

 E V u∗ (T )2 

[ρ(1), · · · , ρ(T ), −λ(1), · · · , −λ(T )] 

 E V u∗ (1)

..

.

E V u∗ (T )

 E V u (1)2 

..

.

 E V u (T )2 

> [ρ(1), · · · , ρ(T ), −λ(1), · · · , −λ(T )] 

.

(4.32)

 E (V u (1)) 

..

.

E (V u (T ))

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

43

Verifica-se de (3.32) que

∂P GM V (ρ, ℓ, ν) = ℓ(t) + 2ν(t)E(V u(t)) = λ(t),

∂E (V (t))

∂P GM V (ρ, ℓ, ν) = −ρ(t).

∂E V (t)2

Como P GMV (ρ, ℓ, ν) é uma função convexa de E (V (t)) e E V (t)2 , é possível afir-

mar que:

P GM V (ρ, ℓ, ν)|

≥ P GM V (ρ, ℓ, ν)| + [ρ(1), · · · , ρ(T ), −λ(1), · · · , −λ(T )]

u∗

u





E V u∗ (1)2

E V u (1)2









.

.



.

.



.

.













 E V u∗ (T )2 

 E V u (T )2 

·

 − 

 .

(4.33)







E V u∗ (1)

E (V u (1))









.

.



.

.



.

.









E V u∗ (T )

E (V u (T ))

Combinando (4.32) e (4.33), determina-se que:

P GM V (ρ, ℓ, ν)|

> P GM V (ρ, ℓ, ν)| .

u∗

u

Esta conclusão contradiz a hipótese de que u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)), concluindo a prova.

Segue da Proposição 4.1 que para obter u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)), deve-se ter u ∈

Π(A(λ, ρ)) dado por (4.5), com λ(t) tal que (4.31) seja respeitada. Portanto, para encontrar u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)), dado pela expressão (4.5), depende-se da solução

das equações de Riccati (4.2), que, por sua vez, dependem que o parâmetro auxiliar

λ(t) atenda a (4.31).

O procedimento aqui adotado para se chegar a u, com λ(t) tal que (4.31) seja

respeitada, é mais direto que o utilizado por Zhu et al. (2004). Em Zhu et al. (2004), 4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

44

os autores apresentam um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas

para encontrar o parâmetro λ(t) que atende a (4.31), e em seguida o substituem para a

solução de equações recursivas a serem utilizadas na equação de controle. A proposição

a seguir apresenta explicitamente a expressão de Z(t), definido por (4.2), tal que (4.31)

seja satisfeita, e a ser utilizada diretamente na equação de controle (4.5). Antes de

apresentá-la, calcula-se recursivamente, para κ = ιf − 1, . . . , 0 as seguintes matrizes

G (τκ) ∈ Rm×m e vetores S (τκ) ∈ Rm,

−1

G (τκ) = −2ν(τκ)ee′ + R(τκ+1, τκ) I + 1G (τ

G (τ

2

κ+1) B (τκ)

κ+1) R(τκ+1, τκ)′,

 G τι = −2ν(T )ee′,

f

(4.34)

e

−1

S (τκ) = −ℓ(τκ)e + R(τκ+1, τκ) I + 1G (τ

S (τ

2

κ+1) B (τκ)

κ+1) ,

(4.35)

 S τι = −ℓ(T )e,

f

onde se assume que a inversa de I + 1G (τ

2

κ+1) B (τκ)

existe para todo κ = ιf −1, . . . , 0.

Proposição 4.2 Suponha que a lei de controle u definida em (4.5) é aplicada à equação

(3.39). Se (4.31) é satisfeita para cada κ = ιf, . . . , 1, então: Z (τκ) = S (τκ) + G (τκ) q (τκ) .

(4.36)

Prova. Por indução, para κ = ι tem-se que

f

Z(T ) = −λ(T )e = −ℓ(T )e+2ν(T )ee′q(T ),

atendendo à proposição. Suponha que a proposição seja satisfeita para κ+1. De (4.24)

e pela hipótese da indução, tem-se que

1

q (τκ+1) = R (τκ+1, τκ)′ q (τκ) − B (τ

2

κ) (S (τκ+1) + G (τκ+1) q (τκ+1)) .

(4.37)

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

45

Resolvendo (4.37) para q (τκ+1), segue que:

1

−1

q (τκ+1) =

I + B (τ

R (τ

2

κ) G (τκ+1)

κ+1, τκ)′ q (τκ)

1

1

−1

I + B (τ

B (τ

2

2

κ) G (τκ+1)

κ) S (τκ+1) .

(4.38)

Utilizando (4.31) e (4.36) em (4.27), resulta que: Z (τκ) = −(ℓ(τκ) + 2ν(τκ)e′q(τκ))e

+R (τκ+1, τκ) (S (τκ+1) + G (τκ+1) q (τκ+1)) .

(4.39)

Substituindo (4.38) em (4.39), obtém-se:

Z (τκ) = −(ℓ(τκ) + 2ν(τκ)e′q(τκ))e + R (τκ+1, τκ) S (τκ+1)

1

−1

+R (τκ+1, τκ) G (τκ+1) I + B (τ

R (τ

2

κ) G (τκ+1)

κ+1, τκ)′ q (τκ)

1

1

−1

− R (τ

B (τ

B (τ

2

κ+1, τκ) G (τκ+1)

I + 2

κ) G (τκ+1)

κ) S (τκ+1)

1

= −ℓ(τκ)e + R (τκ+1, τκ) S (τκ+1) − R (τ

2

κ+1, τκ) G (τκ+1)

1

−1

· I + B (τ

B (τ

2

κ) G (τκ+1)

κ) S (τκ+1) − 2ν(τκ)e′q(τκ)e

1

−1

+R (τκ+1, τκ) G (τκ+1) I + B (τ

R (τ

2

κ) G (τκ+1)

κ+1, τκ)′ q (τκ) .

(4.40)

Utilizando o lema da matriz inversa, as seguintes identidades são verificadas:

1

−1

1

−1

I + G (τ

G (τ

B (τ

2

κ+1) B (τκ)

κ+1) = G (τκ+1)

I + 2

κ) G (τκ+1)

e

1

1

−1

1

−1

I − G (τ

B (τ

B (τ

G (τ

.

2

κ+1)

I + 2

κ) G (τκ+1)

κ) =

I + 2

κ+1) B (τκ)

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

46

Substituindo estas identidades em (4.40) e utilizando (4.34) e (4.35), encontra-se (4.36), que é o resultado desejado.

Seja para κ = 0, . . . , ιf − 1,

1

−1

A (τκ) =

I + B (τ

R (τ

2

κ) G (τκ+1)

κ+1, τκ)′ ,

(4.41)

1

1

−1

D (τκ) =

I + B (τ

B (τ

2

2

κ) G (τκ+1)

κ) ,

(4.42)

q∗ (τκ+1) = A (τκ) q∗ (τκ) − D (τκ) S (τκ+1) , q∗(0) = q(0).

(4.43)

Finalmente, apresenta-se o seguinte teorema com uma condição necessária de otimali-

dade para o problema P GMV (ρ, ℓ, ν).

Teorema 4.3 Se a lei de controle ótima u é tal que u ∈ Π(P GM V (ρ, ℓ, ν)), então u

é descrito por (4.5), com λ(τκ) = ℓ(τκ) + 2ν(τκ)e′q∗ (τκ) em (4.2) e q∗ (τκ) dado por

(4.43).

Prova.

Suponha que u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)). Considerando a Proposição 4.1 e

de (4.31), resta apenas mostrar que E(V u(τ

.

κ)) = e′q∗ (τκ) para cada κ = 0, . . . , ιf

Recorda-se que qi(t) = E(V u(t)1{θ(t)=i}) e q(t) = (q1(t), . . . , qm(t))′. Demonstra-se

por indução em κ que q(τκ) = q∗ (τκ). Para κ = 0 o resultado segue pela definição

em (4.43). Supondo que a igualdade é válida para κ, ou seja, q(τκ) = q∗ (τκ). Da

Proposição 4.2, das equações (4.38) e (4.43), e da hipótese de indução, segue que q(τκ+1) = A (τκ) q∗ (τκ) − D (τκ) S (τκ+1) = q∗ (τκ+1), chegando, portanto, ao resultado

desejado, já que E(V u(τκ)) = e′q(τκ).

A partir do Teorema 4.3, descreve-se o seguinte algoritmo de condição necessária

para se determinar uma estratégia ótima de controle para o problema generalizado de

otimização de portfólio em média-variância com saltos Markovianos:

Passo i Calcular recursivamente as matrizes G(τκ) e vetores S(τκ) como em (4.34) e

(4.35), respectivamente, para κ = ιf, . . . , 0;

4. Solução para o Problema Generalizado de Média-Variância com

Parâmetros Sujeitos a Saltos Markovianos

47

Passo ii Calcular recursivamente q∗ (τ

;

κ) dado por (4.43) para κ = 0, . . . , ιf

Passo iii Fixar λ(τ

, e

κ) = ℓ(τκ) + 2ν (τκ)e′q∗ (τκ) para κ = 0, . . . , ιf

λ(k) = 0, para

k /

∈ I;

Passo iv Calcular recursivamente K(t) e Z(t) a partir de (4.2), para t = T, . . . , 0;

Passo v A estratégia ótima de investimento é então obtida por (4.5).

4.3.2

Condição Suficiente

Nesta subseção, deriva-se uma condição suficiente para a existência de uma solução (u)

para o problema P GMV (ρ, ℓ, ν), tal que u ∈ Π(P GMV (ρ, ℓ, ν)). Para isto, demonstra-

se que é suficiente identificar uma lei de controle ótima para (3.32) que se atenda à

expressão:

E

uM (t) = −φ

θ(t) [M (t + 1)]

θ(t) (t)−1 ϕθ(t) (t) V (t) −

φ

2E

θ(t) (t)−1 χθ(t) (t) ,

(4.44)

θ(t) [K (t + 1)]

onde

M = (M (1), . . . , M (T )), M (t) ∈ Rm.

(4.45)

Denota-se por U∗ ⊂ U o conjunto de controles ou estratégias admissíveis uM escritas

como em (4.44) para algum M. A partir de (3.32), para qualquer u ∈ U, define-se que J (u) =