Temas e Problemas por Elon Lages Lima - Versão HTML

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Pref ácio

O conte údo deste livro é o mesmo das 10 aulas que foram dadas

pelos autores a professores que atuam no Ensino Médio no Rio de

Janeiro, em janeiro de 2001.

O curso durou uma semana, com duas aulas em cada manh ˜a

enquanto as tardes eram dedicadas à resoluc¸ ˜ao e a discuss ˜ao em

conjunto dos exerc´ıcios propostos.

Todos os problemas aqui apresentados têm respostas comple-

tas no final.

A Sociedade Brasileira de Matemática disp˜oe de um conjunto

de 10 v´ıdeos nos quais est ˜ao gravadas, ao vivo, as aulas. As pes-

soas e instituic¸˜oes interessadas na aquisic¸ ˜ao dos mesmos podem

dirigir-se à SBM nos enderec¸os que constam no presente volume.

Ao pôr este material à disposic¸ ˜ao dos professores e estudan-

tes universit ários que se preparam para o exerc´ıcio do magistério,

a intenc¸ ˜ao dos autores é a de destacar alguns temas usualmen-

te estudados no Ensino Médio, mostrando que, ao lado de sua

conceituac¸ ˜ao apropriada, eles podem ser ilustrados por meio de

problemas simples, acess´ıveis, porém desafiadores e contextuais.

Evidentemente, trata-se de uma pequena amostra, indicando um

fértil e atraente caminho a ser trilhado.

Mais uma vez, as atividades que realizamos, o livro publica-

do e os v´ıdeos gravados devem sua existência em grande parte a

VITAE, ao IMPA e à SBM. A estas not áveis instituic¸˜oes, o agra-

decimento dos autores.

Rio de Janeiro, junho de 2001

Elon Lages Lima

Paulo Cezar P. Carvalho

Eduardo Wagner

Augusto César Morgado

iii

Cap´ıtulo 1

Proporcionalidade e

Func¸˜oes Afins

Em seu livro “Elementos de Álgebra”, publicado em S˜ao Peters-

burgo em 1770, o grande matem ático Leonardo Euler prop˜oe o

seguinte problema:

Uma lebre est á 50 pulos à frente de um cachorro, o qual

d á 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo

que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos

ele deve dar para pegá-la?

Este é um exemplo de quest ˜ao que se refere a proporcionalidade,

assunto que exporemos a seguir.

1

Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas s˜ao proporcionais quando existe uma

correspondência x → y, que associa a cada valor x de uma delas

um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpri-

das as seguintes condic¸˜oes:

1) Quanto maior for x, maior ser á y. Em termos matem áticos:

se x → y e x → y ent ˜ao x < x implica y < y .

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ao o valor

correspondente de y ser á dobrado, triplicado, etc. Na lingua-

gem matem ática: se x → y ent˜ao nx → ny para todo n N.

Nas condic¸˜oes acima, a correspondência x → y chama-se uma

proporcionalidade.

3

4

Temas e Problemas

Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porc¸ ˜ao de um

l´ıquido homogêneo. A correspondência x → y cumpre claramente

as duas condic¸˜oes acima, logo o volume é proporcional ao peso.

Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retângulo

que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com-

primento de um desses lados e z a área do ret ângulo.

s

z

r

Figura 1

A correspondência x → z é uma proporcionalidade. Ou seja:

quando a altura de um ret ângulo é fixada, sua área z é proporcio-

nal à base x.

Com efeito, em primeiro lugar, se x < x ent ˜ao a área z do

ret ângulo de base x é igual à área z do ret ângulo de base x mais

a área de um ret ângulo de base x − x, logo z < z .

Em segundo lugar, um ret ângulo de base n · x pode ser expres-

so como reuni ˜ao de n ret ângulos justapostos de base x (e mesma

área z) logo sua área é n · z.

Observac¸ ˜

ao. A afirmac¸ ˜ao contida no Exemplo 2 é uma conse-

q üência imediata da fórmula que exprime a área de um ret ângulo

como o produto da base pela altura. Esta é, entretanto, uma justi-

ficativa a posteriori. N˜ao é conveniente us á-la no presente contex-

to pois, na verdade, o primeiro passo da deduc¸˜ao daquela fórmula

é a verificac¸ ˜ao da proporcionalidade acima.

Exemplo 3. Consideremos no plano um ângulo AOB e uma re-

ta r que n ˜ao é paralela ao lado OA nem a OB (Figura 2). Dado

qualquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA, as

paralelas a r trac¸adas por suas extremidades determinam sobre o

lado OB um segmento de comprimento y.

index-4_1.png

index-4_2.png

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

5

B

r

y

O

A

x

Figura 2

Afirmamos que a correspondência x → y é uma proporcionali-

dade.

Antes de justificar esta afirmac¸ ˜ao devemos mostrar que o com-

primento y depende apenas do comprimento x mas n ˜ao da posic¸ ˜ao

do segmento tomado sobre o lado OA. (Isto significa que a corres-

pondência x → y está bem definida.)

Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de mesmo

comprimento x ent ˜ao na Figura 3, onde MN e M N s ˜ao paralelos

a OA, os tri ângulos MNP e M N P têm, cada um, um lado de

mesmo comprimento x, compreendido entre dois ângulos M = M

e N = N . Logo s˜ao triângulos congruentes e da´ı MP = M P = y.

A partir desta observac¸ ˜ao inicial, sempre que tivermos x → y e

x → y , se quisermos comparar y com y podemos supor que x e x

s ˜ao medidas de segmentos com origem no vértice O. Ent ˜ao fica

claro que se x < x ⇒ y < y e que x = n · x ⇒ y = n · y, como

mostra a Figura 4 (onde n = 3).

Exemplo 4. Investindo uma quantia x numa caderneta de pou-

panc¸a, após o decurso de um mês obtém-se um montante y. A

correspondência x → y é uma proporcionalidade: o que se recebe

no fim do mês é proporcional ao que se aplicou. Com efeito, é

claro que aplicando-se mais recebe-se mais e investindo-se uma

quantia n vezes maior do que x, pode-se considerar essa operac¸˜ao

como n investimentos iguais a x, logo o que se recebe é n · y.

6

Temas e Problemas

B

P’

y

M’

r

x

N’

P

y

M

N

x

A

O

x

x

Figura 3

B

B

y

y'

y

y

y

O

A

x

O

A

x

x

x

x'

Figura 4

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

7

Observac¸ ˜

ao. Se uma quantia fixa gera, após um mês de investi-

mento, um retorno y, n ˜ao é verdade que após n meses essa mesma

quantia gere o retorno n · y, mesmo que a taxa de juros permanec¸a

constante. Pois ao final de cada mês é como se tivesse sido aplica-

da novamente uma quantia maior, igual à existente no mês ante-

rior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num per´ıodo

fixo) é proporcional ao capital inicial mas n˜ao é proporcional ao

tempo de investimento.

Esta observac¸ ˜ao mostra que a propriedade “quanto maior for x,

maior ser á y ” n ˜ao assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro

exemplo disto é a correspondência x → y, onde x é o lado de um

quadrado e y é sua área.

Diante dos exemplos anteriores, podemos formular a definic¸ ˜ao

matem ática de proporcionalidade, onde as grandezas s˜ao substi-

tu´ıdas por n úmeros reais, que s ˜ao suas medidas.

Estamos considerando apenas grandezas que têm medida po-

sitiva, logo o modelo matem ático da proporcionalidade leva em

considerac¸ ˜ao apenas n úmeros reais positivos.

Uma proporcionalidade (numérica) é uma func¸ ˜ao f : R· → R·

com as seguintes propriedades:

1) f é uma func¸ ˜ao crescente, isto é x < x ⇒ f(x) < f(x ) para

quaisquer x, x R·.

2) Para todo x R· e todo n N tem-se f(nx) = n · f(x).

Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida ape-

nas quando n N, vale para um n úmero real positivo qualquer.

Este é o conte údo do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Se f : R· → R· é uma funç ˜ao crescente tal que f(nx) = n · f(x) para todo x e todo n N , ent ˜ao f(cx) = c · f(x) para quaisquer x e c em .

A demonstrac¸ ˜ao do teorema acima est á no Apêndice 1 na p ág. 16.

Ver também os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu

index-7_1.png

8

Temas e Problemas

Professor de Matem ática”, p ág. 129, e “A Matem ática do Ensino

Médio, vol. 1”, p ág. 94.

Na pr ática, é bem mais f ácil mostrar que f(nx) = n · f(x) para

n N do que verificar que f(cx) = c · f(x) para todo c R·. (Pense

em c =

2 ou c = π.) Por outro lado, o fato de que uma propor-

cionalidade f satisfaz esta igualdade para qualquer número real

positivo c tem importantes conseq üências, como veremos agora.

Corol ´

ario. Se f : R· → R· é uma proporcionalidade ent ˜ao tem-se,

para todo x > 0 , f(x) = ax , onde a = f(1) .

Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c R·,

vale f(xc) = x · f(c) = f(c) · x. Em particular, tomando c = 1,

obtemos f(x) = a · x, onde a = f(1).

Uma func¸ ˜ao f : R → R definida por f(x) = ax, onde a R é

uma constante, chama-se uma funç ˜ao linear. Quando a > 0, a

func¸ ˜ao linear f(x) = ax transforma um n úmero real positivo x no

n úmero positivo ax, logo define, por restric¸ ˜ao, uma proporciona-

lidade f : R· → R·. Acabamos de ver que, reciprocamente, toda

proporcionalidade é a restric¸ ˜ao de uma func¸ ˜ao linear a R·. O coe-

ficiente a chama-se o fator de proporcionalidade.

Esta

última

observac¸ ˜ao

nos

permite

concluir

que

se

f : R· → R· é uma proporcionalidade ent˜ao, para quaisquer x , x

½

¾

com f(x ) = y , f(x ) = y , tem-se y /x = y /x . Com efeito, am-

½

½

¾

¾

½

½

¾

¾

bos esses quocientes s ˜ao iguais ao fator de proporcionalidade a.

A igualdade y /x = y /x chama-se uma proporç ˜ao.

½

½

¾

¾

Chama-se regra de três ao problema que consiste em, conhe-

cendo três dos n úmeros x , y , x , y , determinar o quarto.

½

½

¾

¾

H á duas maneiras tradicionais de resolver esse problema. Su-

ponhamos dados x , y e x . O quarto elemento da proporc¸ ˜ao

½

½

¾

ser á chamado y. Ent ˜ao deve ser y /x

= y/x , donde se tira

½

½

¾

y = x y /x . Esta é uma forma de resolver a regra de três.

¾

½

½

O outro m étodo de resolver a regra de três chama-se “reduc¸ ˜ao

à unidade”. Sabendo que f(x ) = y , ou seja, ax = y , obtemos

½

½

½

½

a = y /x e da´ı vem o valor do termo y que falta na proporc¸˜ao

½

½

y /x = y/x : y = f(x ) = ax = y x /x . O nome “reduc¸ ˜ao à

½

½

¾

¾

¾

½

¾

½

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

9

unidade” provém do fato de que a = f(1) é o valor de f(x) quando

x = 1.

Deve-se ressaltar enfaticamente que a regra de três, prove-

niente da proporc¸ ˜ao y /x = y/x , só pode ser legitimamente em-

½

½

¾

pregada quando se tem uma proporcionalidade f, sendo y = f(x )

½

½

e y = f(x ).

¾

Outra observac¸ ˜ao a ser feita é que, em diversas situac¸˜oes onde

se usa a proporcionalidade (ou a regra de três), o fator de propor-

cionalidade a é irrelevante e/ou complicado de se obter.

No Exemplo 1, o fator de proporcionalidade a = peso / volume,

chamado a densidade do l´ıquido (ou, mais precisamente, o peso

espec´ıfico), é um conceito útil. Assim, peso = densidade × volume.

No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n˜ao tem a menor

import ância. (Por acaso ele é o quociente dos senos dos ângulos

que a reta r forma com os lados OA e OB, mas esta informac¸˜ao é

uma mera curiosidade.)

No Exemplo 4, é costume escrever o fator de proporcionalidade

sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O n úmero i

chama-se o juro. Se o investimento inicial x for mantido durante

n mêses e os juros se mantiverem fixos, tem-se ao final do n-ésimo

mês y = (1 + i)Ò x.

Quanto ao Exemplo 2, ele nos diz que a área z de um ret ângulo

de altura fixa y (= distância entre as paralelas r e s) é proporcional

à base x, logo z = A · x, onde o fator de proporcionalidade A é a

área do ret ângulo de mesma altura y e base 1. Mas é claro que o

que vale para a base vale também para a altura. Logo, a área A

de um ret ângulo de base 1 e altura y é proporcional a y, ou seja,

A = B · y, onde B é a área do ret ângulo de base 1 e altura 1. Ora,

este é o quadrado unit ário logo, por definic¸ ˜ao, B = 1. Assim A = y

e a área z do ret ângulo de base x e altura y é dada por z = xy.

(Veja o livro “Medida e Forma em Geometria”, p ág. 17.)

Existe também a noc¸ ˜ao de proporcionalidade inversa. Diz-se

que duas grandezas s˜ao inversamente proporcionais quando existe

uma correspondência x → y que associa a cada valor x de uma

delas um valor bem definido y da outra, de tal modo que sejam

cumpridas as seguintes condic¸˜oes:

10

Temas e Problemas

1) Quanto maior for x, menor ser á y. Em termos matem áticos:

se x → y e x → y ent ˜ao x < x ⇒ y < y.

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ao o valor

correspondente de y ser á dividido por dois, por três, etc. Em

linguagem matem ática: se x → y ent˜ao nx → y/n, para todo

n N.

Portanto, dizer que y é inversamente proporcional a x equivale

a dizer que y é proporcional a 1/x. Segue-se ent ˜ao do Teorema

Fundamental da Proporcionalidade que se y é inversamente pro-

porcional a x ent ˜ao tem-se y = a/x, onde o fator de proporcionali-

dade a é o valor de y que corresponde a x = 1.

Exemplo 5. Entre os ret ângulos de base x, altura y e área igual

a 1, tem-se y inversamente proporcional a x, com y = 1/x.

2

Grandeza proporcional a v ´

arias outras

Em muitas situac¸˜oes tem-se uma grandeza z, de tal modo rela-

cionada com outras, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha de

valores para estas últimas corresponde um valor bem determina-

do para z. Ent ˜ao z chama-se uma funç ˜ao das variáveis x, y, u, v, w

e escreve-se z = f(x, y, u, v, w).

Nestas condic¸˜oes, diz-se que z é (diretamente) proporcional a x

quando:

1) Para quaisquer valores fixados de y, u, v, w, a grandeza z

é uma func¸ ˜ao crescente de x, isto é, a desigualdade x < x

implica f(x, y, u, v, w) < f(x , y, u, v, w).

2) Para n N e x, y, u, v, w quaisquer tem-se f(nx, y, u, v, w) =

n · f(x, y, u, v, w).

Analogamente, diz-se que z é inversamente proporcional a x

quando:

1’) Para quaisquer valores fixados de y, u, v e w, a grandeza z

é uma func¸ ˜ao decrescente de x, isto é, a desigualdade x < x

implica f(x, y, u, v, w) > f(x , y, u, v, w).

index-10_1.png

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Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

11

2’) Para n N e x, y, u, v, w quaisquer tem-se f(nx, y, u, v, w) =

1 · f(x, y, u, v, w).

n

Segue-se do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que

as propriedades 2) e 2’) acima valem para c > 0 real qualquer em

lugar de n N. Isto tem a seguinte conseq üência:

Se z = f(x, y, u, v, w) é (diretamente) proporcional a

x e y e inversamente proporcional a u, v e w ent ˜ao,

tomando-se a = f(1, 1, 1, 1), tem-se

f(x, y, u, v, w) = a ·

x · y

·

u · v · w

Com efeito,

f(x, y, u, v, w) = f(x · 1, y, u, v, w) = x · f(1, y, u, v, w)

= xy · f(1, 1, u, v, w) = xy · f(1, 1, 1, v, w)

u

= xy · f(1, 1, 1, 1, w) = xy · f(1, 1, 1, 1, 1)

uv

uvw

= a · xy ·

uvw

Exemplo 6. A lei da gravitac¸ ˜ao universal, de Newton, afirma que

dois corpos, de massas m e m respectivamente, situados a uma

dist ância d um do outro, se atraem segundo uma forc¸a cuja in-

tensidade F é proporcional a essas massas e inversamente propor-

cional ao quadrado d¾ da dist ância entre eles. Resulta do acima

exposto que F = c · mm , onde a constante c depende do sistema

de unidades utilizado.

Exemplo 7. A noc¸ ˜ao de grandeza proporcional a várias outras

permite deduzir a fórmula do volume de um bloco retangular. O

volume de um sólido geométrico X, que se escreve vol(X), é um

n úmero real com as seguintes propriedades:

1) Se o sólido X est á contido propriamente no sólido X ent ˜ao

vol(X) < vol(X ).

12

Temas e Problemas

2) Se o sólido Y é a reuni ˜ao de dois sólidos adjacentes X e X

ent ˜ao vol(Y) = vol(X) + vol(X ).

Dessas duas propriedades do volume, e da definic¸˜ao de proporcio-

nalidade acima dada, resulta que se X é um bloco retangular cujas

arestas medem x, y e z respectivamente ent ˜ao o volume de X é pro-

porcional a x, y e z. Portanto vol(X) = a · xyz, onde a é o volume

do bloco retangular cujas três arestas medem 1. Mas tal bloco é

o cubo de aresta 1 e, por definic¸ ˜ao, seu volume é igual a 1. Logo

vol(X) = xyz.

3

Func¸ ˜

oes afins

Exemplo 8. As escalas termométricas assinalam valores posi-

tivos e negativos. Elas se baseiam na altura de uma coluna de

merc úrio, a qual aumenta ou diminui conforme a temperatura so-

be ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde à tempe-

ratura em que o gelo comec¸a a fundir-se e o valor 100 assinala a

temperatura em que a água entra em ebulic¸ ˜ao ( à press ˜ao do n´ıvel

do mar). Na escala Fahrenheit esses valores s˜ao 32 e 212 respec-

tivamente. Assim, 0 C = 32 F e 100 C = 212 F. Os demais valores na escala Celsius s˜ao marcados dividindo-se o intervalo entre

aquelas duas temperaturas em 100 partes de igual comprimento

e, na escala Fahrenheit, em 180 partes também de comprimentos

iguais. Usando-se esses comprimentos em cada caso, as escalas

s ˜ao estendidas para assinalarem valores de temperaturas supe-

riores à da ebulic¸ ˜ao da água e inferiores à da fus ˜ao do gelo. Isso

requer o uso de n úmeros negativos. Pergunta-se: em que tempe-

ratura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor?

Qual a temperatura Celsius que é a metade do valor correspon-

dente em graus Fahrenheit?

O exemplo acima ilustra uma situac¸ ˜ao em que se emprega a

func¸ ˜ao afim, conforme veremos a seguir.

Uma func¸ ˜ao f : R → R chama-se afim quando, para todo x R,

o valor f(x) é dado por uma express˜ao do tipo f(x) = ax + b, onde

a e b s ˜ao constantes.

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

13

Exemplo 9. Uma corrida de t áxi custa a reais por km rodado

mais uma taxa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Ent˜ao o

prec¸o de uma corrida de x km é f(x) = ax + b reais.

Numa func¸ ˜ao afim f(x) = ax + b, o n úmero b = f(0) chama-

se o valor inicial e o coeficiente a = f(1) − f(0) é chamado a taxa

de variaç ˜ao de f. O motivo para esta denominac¸ ˜ao é que, para

quaisquer x, h R, com h = 0, tem-se a = [f(x + h) − f(x)]/h,

donde a = f(x + 1) − f(x), logo a é a variac¸ ˜ao de f(x) por unidade

de variac¸ ˜ao de x. (Compare com o exemplo acima.)

Uma func¸ ˜ao linear f(x) = ax é um caso particular de func¸˜ao

afim. Outro caso particular de func¸ ˜ao afim é o das func¸˜oes cons-

tantes f(x) = b.

Quando a > 0, a func¸ ˜ao afim f(x) = ax + b é crescente, isto é,

x < x ⇒ f(x ) < f(x ). Com efeito se x < x ent ˜ao x − x > 0

½

¾

½

¾

½

¾

¾

½

logo

f(x ) − f(x ) = ax + b − (ax + b) = a(x − x ) > 0,

¾

½

¾

½

¾

½

ou seja, f(x ) < f(x ).

½

¾

Analogamente, se a < 0 ent ˜ao x < x ⇒ f(x ) > f(x ), e a

½

¾

½

¾

func¸ ˜ao afim f(x) = ax + b é, neste caso, decrescente.

Teorema de Caracterizac¸ ˜

ao das Func¸ ˜

oes Afins.

Seja f : R → R uma funç ˜ao crescente ou decrescente. Se a diferença

f(x + h) − f(x) depender apenas de h , mas n ˜ao de x , ent ˜ao f é uma funç ˜ao afim.

(Ver demonstrac¸ ˜ao no Apêndice 2 na p ág. 17.)

Exemplo 10. Retomemos o Exemplo 8. Em última an álise, os

graus C e F s ˜ao diferentes unidades de comprimento, com as quais

se mede a altura de uma coluna de merc úrio. Assim, a mudanc¸a

de escala, de Celsius para Fahrenheit é uma func¸ ˜ao f : R → R

que associa à medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da

mesma coluna de merc úrio. Evidentemente, f é crescente. Além

disso, a diferenc¸a f(x+h)−f(x) é a medida, segundo F, do segmento

de reta de extremos f(x) e f(x+h) o qual, segundo C, tem extremos

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14

Temas e Problemas

x e x + h, logo seu C-comprimento é igual a h. Ora, a medida deste

segmento depende apenas de h mas n ˜ao de x e o mesmo se d á

com a diferenc¸a f(x + h) − f(x). Pelo Teorema de Caracterizac¸˜ao,

conclu´ımos que f é uma func¸ ˜ao afim: f(x) = ax + b. Sabemos que

f(0) = 32 e f(100) = 212. Ent ˜ao b = 32 e 100a + 32 = 212, donde

a = 1,8. Portanto f(x) = 1,8x + 32 é a fórmula que permite passar

da temperatura x na escala Celsius para a temperatura f(x) em

graus Fahrenheit. A primeira pergunta do Exemplo 8 era: para

qual valor de x tem-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x + 32 = x, donde

x = −40. A resposta é: −40 graus Celsius é o mesmo que −40 graus

Fahrenheit. A segunda pergunta era: para qual valor de x tem-se

f(x) = 2x ? Ent ˜ao 1,8x + 32 = 2x e da´ı x = 160. Assim 160 graus

Celsius equivalem a 320 graus Fahrenheit.

Provaremos a seguir que o gráfico de uma func¸ ˜ao afim é uma

reta. Para isso, usaremos a fórmula da dist ância entre dois pon-

tos P = (x , y ) e Q = (x , y ), segundo a qual se tem d(P, Q) =

½

½

¾

¾

(x − x )¾ + (y − y )¾ .

¾

½

¾

½

Dada a func¸ ˜ao afim f : R → R,

f(x) = ax + b, seu gr áfico G

é o conjunto dos pontos (x, ax + b) R¾, onde x R. Sejam

M = (x , ax + b), N = (x , ax + b) e P = (x , ax + b) três pontos

½

½

¾

¾

¿

¿

quaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir que

x < x < x . Mostraremos que d(M, N) + d(N, P) = d(M, P). De

½

¾

¿

fato, temos

d(M, N) =

(x − x )¾ + a¾(x − x )¾ = (x − x ) 1 + a¾ .

¾

½

¾

½

¾

½

Analogamente, d(N, P) = (x − x ) 1 + a¾, logo

¿

¾

d(M, N)+d(N, P) = (x −x +x −x ) 1 + a = ( − )

=

¾

x

x

1 + a¾

d(M, P).

¾

½

¿

¾

¿

½

Portanto três pontos quaisquer do gráfico G s ˜ao colineares. Co-

mo G possui pontos com quaisquer abscissa, segue-se que G é uma

reta.

O n úmero b é a ordenada do ponto em que o gr áfico de f(x) =

ax + b corta o eixo OY. Na Figura 5 vê-se como aos acréscimos

iguais x → x + h e x → x + h dados a x e x correspondem

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

15

acréscimos iguais f(x + h) − f(x) = f(x + h) − f(x ). A inclinac¸ ˜ao

da reta G em relac¸ ˜ao ao eixo horizontal é [f(x + h) − f(x)]/h =

[a(x + h) − ax]/h = a. Portanto, para valores maiores ou meno-

res de a, o gr áfico da func¸ ˜ao afim f(x) = ax + b é mais ou menos

inclinado em relac¸ ˜ao a OX.

G

f( x’+ h) – f( x’)

h

f( x+ h) – f( x)

b

h

x

x+h x'

x'+h

Figura 5

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16

Temas e Problemas

AP ˆ

ENDICE 1

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Seja f : R· → R· uma funç ˜ao com as seguintes propriedades:

1) x < x ⇒ f(x) < f(x ) ;

2) f(nx) = n · f(x) para todo n N e todo x .

Ent ˜ao f(cx) = c · f(x) para todo c e todo x .

Conseq ¨

uentemente, f(x) = ax para todo x , com a = f(1) .

Demonstrac¸ ˜

ao: Em primeiro lugar, para todo n úmero racional

r = m/n, com m, n N, e todo x R· vale

n · f(rx) = f(n · rx) = f(mx) = m · f(x),

por 2), logo f(rx) = m f(x) = r · f(x). Assim, a igualdade f(cx) =

n

c · f(x) é v álida quando c é racional. Suponhamos, por absurdo,

que exista c > 0 irracional tal que f(cx) = c · f(x) para algum

x R·. Ent ˜ao ou f(cx) < c · f(x) ou f(cx) > c · f(x). Consideremos o primeiro caso. Temos ent ˜ao f(cx)/f(x) < c. Seja r um valor

racional aproximado de c, de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logo

f(cx) < r · f(x) < c · f(x). Como r é racional, vale r · f(x) = f(rx).

Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < c · f(x). Em particu-

lar f(cx) < f(rx). Mas, como r < c, tem-se rx < cx e, pela pro-

priedade 1), isso obriga f(rx) < f(cx) e n˜ao f(cx) < f(rx). Esta

contradic¸ ˜ao mostra que n ˜ao é poss´ıvel ter-se f(cx) < c · f(x). De

modo inteiramente an álogo se vê que f(cx) > c · f(x) é imposs´ıvel.

Portanto deve ser f(x) = c · f(x) para quaisquer c, x R·.

Observac¸ ˜

ao. Um teorema an álogo, com a mesma demonstrac¸ ˜ao,

vale para f : R → R, escrevendo, na propriedade 2), n Z em vez

de n N.

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

17

AP ˆ

ENDICE 2

Teorema de Caracterizac¸ ˜

ao das Func¸ ˜

oes Afins.

Seja f : R → R crescente ou decrescente. Se a diferença f(x+h)−f(x) depende apenas de h mas n ˜ao de x , ent ˜ao f é uma funç ˜ao afim.

Demonstrac¸ ˜

ao: Trataremos apenas do caso em que f é crescen-

te pois o outro é an álogo. Pela hipótese feita sobre f, a func¸ ˜ao

ϕ : R → R, dada por ϕ(h) = f(x + h) − f(x), est á bem definida.

Evidentemente ϕ é crescente. Além disso, para todo h R vale

ϕ(2h) = f(x + 2h) − f(x)

= [f((x + h) + h) − f(x + h)] + [f(x + h) − f(x)]

= ϕ(h) + ϕ(h) = 2 · ϕ(h).

Analogamente se vê que ϕ(nh) = n ·ϕ(h) para todo n N. Tem-se

ainda

ϕ(−h) = f(x − h) − f(x) = −[f(x) − f(x − h)] = −ϕ(h)

pois x = (x − h) + h. Segue-se que, para todo n N e todo h R

vale

ϕ((−n)h) = ϕ(−nh) = −ϕ(nh) = −[n · ϕ(h)] = (−n)ϕ(h).

Como é óbvio que ϕ(0) = 0, vemos que ϕ(nh) = n · ϕ(h) para todo

n Z. Pela Observac¸ ˜ao ao final do Apêndice 1, conclu´ımos que

ϕ(ch) = c · ϕ(h) para quaisquer c, h R, logo ϕ é linear. Assim,

pondo a = ϕ(1) = f(x + 1) − f(x), tem-se ϕ(h) = a · h para todo

h R. Ent ˜ao, para quaisquer x, h R vale f(x + h) − f(x) = a · h.

Trocando h por x, vem: f(h + x) − f(h) = ax. Fazendo h = 0 e

escrevendo b = f(0), obtemos f(x) − b = ax, donde f(x) = ax + b e

o teorema est á demonstrado.

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18

Temas e Problemas

Problemas Propostos

1. Sejam r, s retas coplanares. Para cada segmento de reta AB

contido em r, seja A B sua projec¸ ˜ao ortogonal sobre s. Prove que

o comprimento de A B é proporcional ao de AB.

2. Seja P um ponto fora da reta r. Se X e Y s ˜ao pontos distintos

em r, prove que a área do tri ângulo PXY é proporcional ao compri-

mento de XY. Qual é o fator de proporcionalidade?

3. Dado o ângulo α = AOB, para cada par de pontos X em OA e

Y em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respec-

tivamente. Prove que a área do paralelogramo que tem OX e OY

como dois de seus lados é proporcional a x e y. Qual é o fator de

proporcionalidade? Sabendo que a área desse paralelogramo é de

29 cm¾ quando x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa área para

x = 2 cm e y = 3 cm?

4. Sejam OA, OB e OC semi-retas n ˜ao coplanares e x, y, z as

medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidos

em OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelep´ıpedo que tem

OX, OY e OC como tr ês das suas arestas é proporcional a x, y e z.

5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme

quando ele percorre espac¸os iguais em tempos iguais. Sua velo-

cidade é, por definic¸ ˜ao, o espac¸o percorrido na unidade de tempo.

Formule estas definic¸˜oes matematicamente e obtenha a abscissa

f(t) do ponto no instante t explicitamente como func¸ ˜ao de t e do

ponto de partida.

6. Por dois pontos dados no plano passa uma única reta. Como

se traduz esta afirmac¸ ˜ao em termos de func¸ ˜oes afins? Prove-a

algebricamente.

Soluc¸˜oes na página 133.

Proporcionalidade e Func¸ ˜

oes Afins

19

7. Um fazendeiro possui rac¸ ˜ao suficiente para alimentar suas

16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Pas-

sados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total,

durou sua reserva de rac¸ ˜ao?

8. Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42

dias. Seu suprimento de água permite que cada pessoa disponha

de 3,5 litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3 be-

du´ınos sedentos, v´ıtimas de uma tempestade de areia, e os acolhe.

Pergunta-se:

a) Quantos litros de água por dia caber˜ao a cada pessoa se a

caravana prosseguir sua rota como planejado?

b) Se os membros da caravana (bedu´ınos inclusive) continua-

rem consumindo água como antes, em quantos dias, no m á-

ximo, ser á necess ário encontrar um o ásis?

9. Numa estrada retil´ınea, dois carros partem, ao mesmo tempo,

de dois pontos A e B, com d(A, B) = d, dirigindo-se no mesmo

sentido. O que partiu de A vai a v quilômetros por hora e o que

saiu de B roda a w quilômetros por hora. A que dist ância de A

eles se encontram?

10. Dois trens de carga, na mesma linha férrea, seguem uma

rota de colis ˜ao. Um deles vai a 46 km/h e o outro a 58 km/h. No

instante em que eles se encontram a 260 km um do outro, um

p ássaro, que voa a 60 km/h, parte de um ponto entre os dois, até

encontrar um deles e ent ˜ao volta para o outro e continua nesse

vai-e-vem até morrer esmagado no momento em que os trens se

chocam. Quantos quilômetros voou o pobre p ássaro?

11. Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa men-

sal de manutenc¸ ˜ao de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa

2500 reais porém a taxa de manutenc¸ ˜ao é de 50 reais por mês.

Qual das duas opc¸˜oes é a mais vantajosa?

12. Na situac¸ ˜ao do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OA

fac¸amos corresponder o ponto Z em OB, tal que XZ seja paralelo à

20

Temas e Problemas

reta r. Chamando de x e z os comprimentos de OX e XZ respecti-

vamente, mostre que a correspondência x → z é uma proporciona-

lidade. Em que condic¸˜oes o fator de proporcionalidade é o mesmo

que o da correspondência x → y do Exemplo 3?

Cap´ıtulo 2

Func¸˜oes Quadr áticas

Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais

o quilo. Uma pesquisa de opini˜ao revelou que, por cada real de au-

mento no prec¸o, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo

médio de 500 gramas cada um. Qual deve ser o prec¸o do quilo de

comida para que o restaurante tenha a maior receita poss´ıvel?

Este problema recai numa equac¸ ˜ao do segundo grau, ou seja,

na busca dos zeros de uma func¸ ˜ao quadr ática.

1

A forma can ˆ

onica

Uma func¸ ˜ao f : R → R chama-se quadr ática quando, para todo

x R, tem-se f(x) = ax¾ + bx + c, onde a, b, c R s ˜ao constantes, com a = 0.

Diversos problemas interessantes recaem na considerac¸˜ao de

func¸˜oes quadr áticas. Um dos mais antigos consiste em achar dois

n úmeros conhecendo sua soma s e seu produto p. Se um desses

n úmeros é x, o outro ser á s − x, logo x · (s − x) = p. Efetuando a

multiplicac¸ ˜ao, vem sx − x¾ = p ou seja, x¾ − sx + p = 0. Encon-

trar x (e, portanto, s − x) significa resolver a equac¸˜ao do segundo

grau x¾ − sx + p = 0, isto é, achar os valores de x para os quais a

func¸ ˜ao quadr ática f(x) = x¾ − sx + p se anula. Esses valores s˜ao

chamados os zeros da func¸˜ao quadr ática ou as ra´ızes da equac¸˜ao correspondente.

Note que se x for uma raiz da equac¸ ˜ao x¾ − sx + p = 0 ent ˜ao

s − x também ser á, pois

(s − x)¾ − s(s − x) + p = s¾ − 2sx + x¾ − s¾ + sx + p = x¾ − sx + p = 0.

Portanto as duas ra´ızes dessa equac¸ ˜ao s ˜ao os n úmeros procu-

rados. Deve-se observar entretanto que, dados arbitrariamente os

21

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22

Temas e Problemas

n úmeros s e p, nem sempre existem dois n úmeros cuja soma é s e

cujo produto é p.

Exemplo 1. N ˜ao existem dois n úmeros reais cuja soma seja 2 e

cujo produto seja 5. Com efeito, como o produto 5 é positivo esses

n úmeros teriam o mesmo sinal. E como sua soma 2 também é

positiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam < 2. Seu

produto ent ˜ao seria menor do que 4, portanto diferente de 5. Os

n úmeros procurados podem também reduzir-se a um único, como

no caso em que a soma dada é 6 e o produto é 9, pois a equac¸ ˜ao

x¾ − 6x + 9 = 0, da qual eles s˜ao ra´ızes, escreve-se como (x − 3)¾ = 0

logo sua única raiz é 3. J á os n úmeros cuja soma é 1 e cujo produto

é −1 s ˜ao as ra´ızes da equac¸˜ao x¾ − x − 1 = 0, que s ˜ao (1 ± 5)/2.

Um procedimento útil para estudar a func¸˜ao quadr ática é o

completamento do quadrado. Basicamente, o método de comple-

tar o quadrado se resume na observac¸ ˜ao de que

¾

x¾ + px = x + p

− p¾ .

2

4

Exemplo 2.

x¾ + 10x = x¾ + 2 · 5 · x + 5¾ − 5¾ = (x + 5)¾ − 25.

Exemplo 3.

3x¾ + 12x + 5 = 3(x¾ + 4x) + 5 = 3[(x + 2)¾ − 4] + 5 =

3(x + 2)¾ − 7.

Em geral, dada a func¸˜ao quadr ática f(x) = ax¾ + bx + c, escre-

vemos:

¾

¾

f(x) = a x¾+ b x +c = a x+ b

− b¾ +c = a x+ b

+4ac − b¾ ·

a

2a

4a

2a

4a

Como veremos logo em seguida,

é conveniente escrever

m = −b/2a e k = (4ac − b¾)/4a. Verifica-se facilmente que

k = f(m). Com esta notac¸ ˜ao, temos, para todo x R:

f(x) = a(x − m)¾ + k,

onde

m = −b/2a e k = f(m).

Esta é a chamada forma canônica do trinômio f(x) = ax¾ + bx + c.

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Func¸ ˜

oes Quadr áticas

23

Exemplo 4. Se f(x) = 2x¾ − 5x + 3, temos m = 5/4, k = −1/8, logo

a forma canônica deste trinômio é

¾

f(x) = 2 x − 5

− 1 ·

4

8

Escrevendo o trinômio f(x) = 2x¾ − 5x + 3 na forma canônica,

podemos tirar pelo menos duas conclus˜oes:

1) o menor valor de f(x) para todo x R é −1/8, obtido quando

x = 5/4.

2) as ra´ızes da equac¸ ˜ao 2x¾ − 5x + 3 = 0 se obtêm escrevendo

sucessivamente

¾

¾

¾

2 x − 5

− 1 = 0, 2 x − 5

= 1 ,

x − 5

= 1 ,

4

8

4

8

4

16

x − 5 = ± 1 ,

x = 5 ± 1 ·

4

4

4

4

Logo essas ra´ızes s ˜ao x = 1 e x = 3/2.

De um modo geral, a forma canônica f(x) = a(x − m)¾ + k

nos permite concluir que, quando a > 0, o menor valor de f(x) é

k = f(m) e, quando a < 0, k = f(m) é o maior valor de f(x), para

qualquer x R.

A forma canônica nos fornece também, quando b¾ − 4ac 0, as

ra´ızes da equac¸ ˜ao ax¾ + bx + c = 0, pois esta igualdade equivale

sucessivamente a

a(x − m)¾ = −k,

(x − m)¾ = −k/a = b¾ − 4ac ,

4a¾

b¾ − 4ac

x − m = ±

,

2a

b −

¾

4ac

b ±

4ac

x = m ±

=

,

2a

2a

uma fórmula muito bem conhecida.

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24

Temas e Problemas

O n úmero ∆ = b¾ − 4ac chama-se o discriminante da func¸˜ao

quadr ática f(x) = ax¾ + bx + c. Vimos acima que, quando ∆ > 0, a

equac¸ ˜ao f(x) = 0 tem duas ra´ızes reais e quando ∆ = 0, a mesma

equac¸ ˜ao possui uma única raiz, chamada de raiz dupla. Note que

∆ = −4ak, portanto ∆ = 0 equivale a k = 0. Logo, quando ∆ = 0,

a forma canônica se reduz a f(x) = a(x − m)¾, ficando claro ent˜ao

que f(x) = 0 somente quando x = m = − b · Vemos ainda que,

2a

quando ∆ = −4ak é negativo, a e k têm o mesmo sinal, o qual é,

neste caso, o sinal de f(x) = a(x − m)¾ + k para qualquer x R.

Logo ela nunca se anula, ou seja, a equac¸˜ao ax¾ + bx + c = 0 n ˜ao

possui raiz real.

Exemplo 5. Para a func¸˜ao quadr ática f(x) = 2x¾ −12x+19, tem-se

f(x) = 2(x¾ −6x)+19 = 2(x¾ −6x+9)+1 = 2(x−3)¾ +1, logo f(x) > 0

para todo x. Em particular, n ˜ao se tem f(x) = 0 para valor algum

de x R.

Sejam α = (−b +

∆)/2a e β = (−b −

∆)/2a as ra´ızes da

equac¸ ˜ao ax¾ + bx + c = 0. Um c álculo imediato nos mostra que

α + β = −b/a e α · β = (b¾ − ∆)/4a¾ = c/a.

Vemos que a média aritmética das ra´ızes, (α + β)/2 = −b/2a, é

igual ao n úmero m tal que f(m) é o menor valor de f(x) (se a > 0)

ou o maior (quando a < 0).

Vemos também que, quando ∆ 0, isto é, quando a equac¸˜ao

ax¾ + bx + c = 0 possui as ra´ızes reais α, β, tem-se

ax¾ + bx + c = a x¾ + b x + c

= a x¾ − (α + β)x + αβ .

a

a

Logo

ax¾ + bx + c = a(x − α)(x − β).

Esta é a chamada forma fatorada do trinômio do segundo grau.

A

forma

fatorada

fornece

imediatamente

a

seguinte

informac¸ ˜ao sobre o sinal da func¸˜ao quadr ática f(x) = ax¾ + bx + c :