Teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K,X) por Leandro Candido Batista - Versão HTML

ATENÇÃO: Esta é apenas uma visualização em HTML e alguns elementos como links e números de página podem estar incorretos.
Faça o download do livro em PDF, ePub para obter uma versão completa.

Teoria isomorfa dos espaços de Banach

C0(K, X)

Leandro Candido Batista

Tese apresentada

ao

Instituto de Matemática e Estatística

da

Universidade de São Paulo

para

obtenção do título

de

Doutor em Ciências

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Elói Medina Galego

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro

do CNPq (processo 142423/2011-4) e da CAPES

São Paulo, Novembro de 2012

ii

Teoria isomorfa dos espaços de Banach

C0(K, X)

Esta tese contém as correções e alterações

sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa

realizada por Leandro Candido Batista em 12/11/2012.

O original encontra-se disponível no Instituto de

Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Elói Medina Galego - IME-USP

• Prof. Dr. Valentin Raphael Henri Ferenczi - IME-USP

• Prof. Dr. Jorge Tulio Mujica Ascui - UNICAMP

• Prof. Dr. Antonio Roberto da Silva - UFRJ

• Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi - ICMC-USP

iv

Agradecimentos

Ao longo deste trabalho muitos foram os que de alguma forma me ajudaram e encorajaram a

alcançar o seu término. Por essa razão, desejo expressar os meus sinceros agradecimentos:

Ao Professor Doutor Elói Medina Galego, meu orientador, pela competência científica, pela

disponibilidade, pela amizade e generosidade reveladas ao longo deste período.

Aos membros da Comissão Julgadora pelas valiosas sugestões que contribuiram de forma signi-

ficativa para o enriquecimento deste trabalho.

À minha amada esposa, Rita Cavalcanti, pelo inestimável apoio familiar, pela paciência e com-

preensão reveladas ao longo destes anos.

À minha família, meus pais Joaquim e Vera e meu irmão Leonardo, pelo enorme carinho e

incentivo.

Ao Professor Doutor Daniel Victor Tausk pela valiosa ajuda sanando minhas inúmeras dúvidas

sempre com brilhantismo e bom humor.

Aos Professores, Aleksander Pełczyński, Yoav Benyamini e Krzysztof Jarosz, por suas ines-

timáveis opiniões, sugestões e interesse pelo trabalho.

Aos grandes amigos, André Pierro de Camargo, Cesar Adriano Batista e Renato Alessandro

Martins, pelo apoio.

Ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo pela oportunidade.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, CAPES, e ao Conselho Na-

cional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq, pelo apoio financeiro.

Mais uma vez, a todos os meus sinceros agradecimentos.

v

vi

Resumo

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos

por C0(K, X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no

infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937,

estabelecemos que se C0(K1, X) é isomorfo a C0(K2, X), onde X é um espaço de Banach de cotipo

finito e tal que X é separável ou X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são

ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um

resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C.

Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço

de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1, X) em C(K2, X)

com T

T −1

< 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma

soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo

n ∈ N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone

vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de

um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1)

em um subespaço de C(K2, X) com T

T −1 < 3, então a cardinalidade do α-ésimo derivado de

K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do α-ésimo derivado de K1, para todo ordinal α.

Em seguida, seja n um inteiro positivo, Γ um conjunto infinito munido da topologia discreta e

X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não

vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K, X) e C0(Γ, X) é maior ou igual a 2n + 1.

Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur

entre C([1, ωnk], X) e C0(N, X) é exatamente 2n + 1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais

para alguns teoremas de Cambern de 1970.

Para um ordinal enumerável α, denotando por C(α) o espaço de Banach das funções contínuas

no intervalo de ordinal [1, α], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as

distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωnk), 1 ≤ n, k < ω, verificando H(n, k) −

G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Pełczyński

de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(ω) e cada um dos espaços C(α), ω ≤ α < ωω.

Palavras-chave: Espaços de Banach, Espaços de funções contínuas a valores vetoriais, Isomorfis-

mos, Teorema de Banach-Stone, Distâncias de Banach-Mazur.

vii

viii

Abstract

For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K, X) the

space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum

norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1, X) is

isomorphic to C0(K2, X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is

separable or X∗ has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite or K1 and K2

have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case

X = R or X = C.

We also prove that if K1 and K2 are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite

cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K1, X) onto C(K2, X) with T

T −1 < 3

implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum

of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n ∈ N, then K1 is

homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is

an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends

and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2, X) with

T

T −1 < 3, then the cardinality of the α-th derivative of K2 is either finite or greater than the

cardinality of the α-th derivative of K1, for every ordinal α.

Next, let n be a positive integer, Γ an infinite set with the discrete topology and X is a Banach

space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach

Mazur distance between C0(K, X) and C0(Γ, X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also

show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1, ωnk], X)

and C0(N, X) is exactly 2n + 1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern

theorems.

For a countable ordinal α, writing C(α) for the Banach space of continuous functions on the

interval of ordinal [1, α], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach-

Mazur distances between C(ω) and C(ωnk), 1 ≤ n, k < ω, such that H(n, k) − G(n, k) < 2. These

estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Pełczyński question on the Banach-Mazur

distances between C(ω) and each of the C(α) spaces, ω ≤ α < ωω

Keywords: Banach spaces, Spaces of vector-valued continuous functions, Isomorphisms, Banach-

Stone Theorem, Banach-Mazur distances.

ix

x

Sumário

Lista de Símbolos

xiii

Introdução

xv

1

Medidas vetoriais e integração vetorial

1

1.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Medidas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Integração vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Representação de funcionais em C0(K, X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

O Teorema de Radon-Nikodým . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2

Sobre isomorfismos entre espaços C0(K, X) e a cardinalidade de K

15

2.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Sobre espaços C0(K, X), X de cotipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Sobre funções w∗-mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4

Sobre funções semicontínuas inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5

Demonstração do Teorema 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

Sobre isomorfismos entre espaços C(K, X) com distorção menor que 3

27

3.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2

Sobre isomorfismos de C(K1) em espaços C(K2, X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3

Demonstrações dos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4

Considerações finais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4

Sobre distâncias de Banach-Mazur entre espaços C0(K, X) e C0(Γ, X)

39

4.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2

Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3

Cotas inferiores para as distâncias entre C0(K, X) e C0(K, X) . . . . . . . . . . . . . 43

4.4

Cotas superiores as para distâncias entre C([1, ωnk], X) e C0(N, X) . . . . . . . . . . 47

5

Sobre distâncias de Banach-Mazur entre espaços C(ω) e C(α), ω ≤ α < ωω

53

5.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2

Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3

Cotas inferiores para as distâncias entre C(K) e C(L), L(2) = ∅ . . . . . . . . . . . . 56

xi

xii

SUMÁRIO

5.4

Cotas superiores para as distâncias entre C(ω) e C(ωnk), 1 ≤ n, k < ω . . . . . . . . 59

Referências Bibliográficas

65

Lista de Símbolos

N

o conjunto dos números naturais.

Q

o conjunto dos números racionais.

R

o conjunto dos números reais.

+

R

o conjunto dos números reais positivos.

C

o conjunto dos números complexos.

K

o conjunto R ou C.

[0, 1]

o conjunto {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

[1, α]

o conjunto dos ordinais {γ : 1 ≤ γ ≤ α} munido da topologia da

ordem.

ω

o primeiro ordinal infinito.

ω1

o primeiro ordinal não enumerável.

|K|

a cardinalidade de um conjunto K.

.

K1 ∪ K2

a união disjunta dos conjuntos K1 e K2.

K1 ≈ K2

os espaços topológicos K1 e K2 são homeomorfos.

BX

a bola unitária fechada de um espaço normado X.

SX

a esfera unitária de um espaço normado X.

Br(x)

a bola aberta de centro x e raio r.

L(X, Y )

o espaço dos operadores lineares contínuos de X em Y .

X∗

o espaço L(X, K).

X ⊕ Y

o espaço X × Y munido da norma (x, y) = max{ x , y }.

ln

n

o espaço K munido da norma do máximo.

C0(K, X)

espaço das funções contínuas de K em X que se anulam no infinito,

munido da norma do supremo.

C0(K)

o espaço C0(K, K).

C(K, X)

o espaço C0(K, X) se K é compacto.

C(K)

o espaço C(K, K).

C(α)

o espaço C([1, α]), ω ≤ α < ω1.

c

o espaço C(ω).

c0

o espaço C0(N).

B(K)

a menor σ-álgebra de subconjuntos de um espaço topológico K

contendo todos os abertos de K.

rcabv (K, X)

o espaço de Banach das medidas vetoriais µ : B(K) → X regulares,

σ-aditivas e de variação limitada, munido da norma da variação.

xiii

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS

✶A

a função característica de um conjunto A.

X ∼ Y

os espaços de Banach X e Y são isomorfos .

λ

X ∼ Y

existe um isomorfismo linear sobrejetor T de X em Y tal que

T

T −1 < λ, para algum 1 < λ < ∞.

X → Y

o espaço de Banach Y contém um subespaço isomorfo a X.

Introdução

Neste trabalho estudamos alguns aspectos da teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K, X).

Um desses aspectos remonta ao clássico teorema de Banach-Stone:

Teorema (Banach-Stone). Sejam K1 e K2 espaços compactos de Hausdorff. Se C(K1) e C(K2)

são isometricamente isomorfos, então K1 e K2 são homeomorfos.

Este resultado, obtido em 1932 por Banach [4] para compactos métricos e estendido em 1937 por Stone [50] para espaços compactos, foi generalizado em 1965 por Amir [3] para espaços compactos e, de forma independente, em 1967 por Cambern [13] para espaços localmente compactos. O resultado estabelece que se K1 e K2 são espaços localmente compactos de Haudorff e T é um isomorfismo

linear sobrejetor de C0(K1) em C0(K2), se T

T −1 < 2, então K1 e K2 são homeomorfos.

O teorema de Banach-Stone também foi generalizado para a classe dos espaços de Banach

C0(K, X). Para espaços de Banach reais, a maior generalização até o presente momento, foi obtida

em 1988 e é devida a Behrends e Cambern [6]. O resultado propõe que se X é uniformemente não-quadrado, ver [33, Definição 1.1], existe 1 < λ ≤ 2 tal que se K1 e K2 são espaços localmente compactos de Haudorff e T é um isomorfismo linear sobrejetor de C0(K1, X) em C0(K2, X) com

T

T −1 < λ, então K1 e K2 são homeomorfos.

No que se refere às relações conjuntísticas preservadas entre espaços localmente compactos de

Hausdorff K1 e K2 sob um isomorfismo sobrejetor T de C0(K1) em C0(K2), um resultado não

trivial obtido em 1978 por Cengiz [16], que de certa forma pode ser considerado uma versão fraca do teorema de Banach-Stone, estabelece que se os espaços C0(K1) e C0(K2) são isomorfos, então

K1 e K2 têm a mesma cardinalidade.

Os resultados de Cengiz [16], Behrends e Cambern [6] sugerem o seguinte problema: Problema. Sejam X um espaço de Banach uniformemente não-quadrado, K1 e K2 espaços localmente compactos de Hausdorff. Suponha que C0(K1, X) e C0(K2, X) sejam isomorfos. Nessas

condições o que pode ser dito sobre as cardinalidades de K1 e K2?

No Capítulo 2 respondemos completamente esta questão, mais ainda, obtemos um resultado envolvendo uma classe mais geral de espaços de Banach, os espaços de cotipo finito, ver [21, p. 218].

Ainda nesta linha de pesquisa devemos recordar um resultado de Gordon de 1970, ver [31]. Para uma certa classe de espaços compactos, o autor estabelece outra extensão para o Teorema de Banach-Stone. Mais precisamente, se K1 e K2 são compactos métricos enumeráveis e T é um isomorfismo

linear sobrejetor de C(K1) em C(K2) com T

T −1 < 3, então K1 e K2 são homeomorfos.

xv

xvi

INTRODUÇÃO

No Capítulo 3, inspirado em Gordon [31], buscamos extensões de seu resultado para C(K, X), onde K é um compacto homeomorfo a um intervalo de ordinal e X é um espaço de Banach. Nosso

objetivo é resolver o seguinte problema:

Problema. Sejam K1 e K2 espaços compactos métricos enumeráveis e X um espaço de Banach

de cotipo finito. Suponha existir um isomorfismo sobrejetor T de C(K1, X) em C(K2, X) com

T

T −1

< 3. Nestas condições, o que pode ser dito a respeito de K1 e K2? Para algum desses

espaços X seria possível concluir que K1 e K2 são homeomorfos?

No Capítulo 4 abordamos outro aspecto da teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K, X).

Desta vez, dado um isomorfismo sobrejetor T de C0(K1) em C0(K2), sabendo que os espaços K1

e K2 não são homeomorfos procuramos quantificar a distorção T

T −1 . Estudamos inicialmente

o caso K2 = N. Nesse sentido, voltamos nossa atenção para um tabalho de Cambern de 1968, ver

[14], no qual foi estabelecido que a distância de Banach-Mazur entre os espaços c e c0 é exatamente 3. Recorde que para espaços de Banach isomorfos X e Y a distância de Banach-Mazur é definida

por

d(X, Y ) = inf

T

T −1

T

onde T percorre todos os isomorfismos sobrejetores de X em Y . O resultado de Cambern [14] sugere o seguinte problema:

Problema. Quais são os valores de d(C([1, ωnk]), c0), 1 ≤ n, k < ω?

Mais geralmente, se Γ é um espaço topológico discreto e K é um espaço localmente compacto

de Hausdorff não discreto, a intuição sugere que um isomorfimo sobrejetor T de C0(K) em C0(Γ )

deve “destruir” os pontos de acumulação de K e, por isso, é razoável pensar que T

T −1

cresce

conforme aumenta a altura de K. De fato, no Capítulo 4 demonstramos que para um espaço de Banach X de cotipo finito, se T é um isomorfismo sobrejetor de C0(K, X) em C0(Γ, X) e se o n-

ésimo derivado de K for não vazio, então T

T −1 ≥ 2n + 1. Também apresentamos uma solução

completa para o problema anterior.

No Capítulo 5, seguindo a mesma linha de trabalho do Capítulo 4, estudamos os espaços de Banach C(α), ω ≤ α < ω1. A classificação isomorfa destes espaços foi obtida em 1960 por Bessaga

e Pełczyński [7]. Eles estabeleceram que se ω ≤ α ≤ β < ω1, então C(α) é isomorfo a C(β) se e somente se existe 1 ≤ n < ω tal que αn ≤ β < αn+1. Na ocasião, também foram obtidas estimativas

para as distâncias de Banach-Mazur entre estes espaços: n ≤ d(C(α), C(β)) ≤ 4n+3.

Bessaga e Pełczyński [7, p. 59] consideram o problema de se obter funções G, H :

+

N → R

satisfazendo

sup(H(n)/G(n)) < ∞

e

G(n) ≤ d(C(α), C(β)) ≤ H(n), n ∈ N.

Inspirado em resultados de Cambern [14] e utilizando técnicas desenvolvidas no Capítulo 4,

apresentamos estimativas como acima para o caso α = ω. Estas estimativas nos levam a conjecturar

os valores exatos das distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωnk), 1 ≤ n, k < ω.

Capítulo 1

Medidas vetoriais e integração vetorial

1.1

Introdução

Nosso objetivo neste capítulo é reunir algumas ferramentas técnicas necessárias para abordar o

estudo de funcionais lineares definidos sobre espaços de funções a valores vetoriais. Vamos apresentar

algumas definições e propriedades básicas em teoria de medidas vetoriais e espaços de funções

contínuas que serão utilizadas ao longo deste trabalho. Para um estudo mais detalhado sobre estes

tópicos recomendamos [20], [22] e [23].

1.2

Medidas Vetoriais

Em princípio, utilizaremos a notação e a terminologia para teoria de medida e teoria de espaços

de Banach que podem ser encontradas em [20] e [35]. Iniciamos com a seguinte definição: Definição 1.1. Sejam K um conjunto não vazio, A uma álgebra de subconjuntos de K e X um

espaço normado. Uma função µ : A → X é denominada medida vetorial finitamente aditiva se

verificar para quaisquer A, B ∈ A, com A ∩ B = ∅,

µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) .

Uma função µ : A → X é denominada medida vetorial σ-aditiva se para toda sequência (Ai)i∈N

de elementos mutuamente disjuntos de A com união em A, verificar

µ

Ai

=

µ (Ai) .

i=1

i=1

Observação 1.2. Estaremos focados principalmente em medidas vetoriais σ-aditivas definidas em

σ-álgebras. Contudo, o conceito de medida finitamente aditiva é fundamental na investigação de

operadores lineares definidos sobre espaços de funções a valores vetoriais. Por simplicidade e sem

possibilidade de confusão, por medida vetorial estaremos nos referindo tanto a uma medida finita-

mente aditiva quanto a uma medida σ-aditiva nas condições da Definição 1.1.

Um par ordenado (K, Σ), onde K é um conjunto e Σ é uma σ-álgebra sobre K, será chamado

espaço mensurável.

Muitos dos resultados obtidos neste trabalho dependem do conceito de variação que recordare-

mos em seguida.

Definição 1.3. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável, X um espaço de Banach e µ : Σ → X uma

1

2

MEDIDAS VETORIAIS E INTEGRAÇÃO VETORIAL

1.2

medida vetorial. A variação de µ é a aplicação |µ| definida sobre Σ por

n

|µ| (A) = sup

µ (Ak) , A ∈ Σ,

k=1

onde o supremo é tomado sob todas as partições finitas {A1, . . . , An} de A em Σ. Sempre que uma

medida vetorial µ satisfizer |µ| (K) < ∞, diremos que µ tem variação limitada.

Proposição 1.4. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Se µ : Σ → X é

uma medida vetorial de varição limitada e σ-aditiva (finitamente aditiva), sua variação |µ| : Σ → R

é uma medida positiva e σ-aditiva (finitamente aditiva). Mais ainda, |µ| é a menor de todas as

medidas positivas que cumprem µ(A) ≤ |µ|(A) para todo A ∈ Σ.

Demonstração. Claramente |µ|(A) ≥ 0 para todo A ∈ Σ e |µ|(A) ≤ |µ|(B) sempre que A, B ∈ Σ e

A ⊆ B.

Vamos verificar o caso em que µ é σ-aditiva. Para µ finitamente aditiva, a demonstração pode

ser obtida com um argumento análogo.

Seja (Ai)i∈ uma sequência de elementos mutuamente disjuntos de Σ. Dado

> 0 arbitrário,

N

para cada i ∈ N, seja {Bi , . . . , Bi } uma partição de A

1

n

i em Σ satisfazendo

i

ni

µ(Bij) ≥ |µ|(Ai) −

.

2i

j=1

Então, para qualquer subconjunto finito J ⊂ N podemos escrever

ni

|µ|

Ai

≥ |µ|

Ai

|

µ(Bij) 

µ|(Ai) − .

i=1

i∈J

i∈J

j=1

i∈J

Isso implica

|µ|

Ai

|µ|(Ai).

i=1

i=1

Por outro lado, dado

> 0 arbitrário, seja {B1, . . . , Bn} uma partição de

A

i=1

i verificando

n

µ(Bj) ≥ |µ|

Ai

− .

j=1

i=1

Claramente, para cada i ∈ N, a coleção {Ai ∩ B1, . . . , Ai ∩ Bn} forma uma partição de Ai em

Σ. Podemos escrever

µ(Bj) = µ

(Ai ∩ Bj)

=

µ(Ai ∩ Bj) ≤

µ(Ai ∩ Bj) , 1 ≤ j ≤ n.

i=1

i=1

i=1

Consequentemente

n

n

|µ|

Ai

− ≤

µ(Bj) ≤

|

µ(Ai ∩ Bj) 

µ|(Ai).

i=1

j=1

i=1

j=1

i=1

1.3

INTEGRAÇÃO VETORIAL

3

Como

> 0 é arbitrário, deduzimos que

|µ|

Ai

|µ|(Ai).

i=1

i=1

Para a segunda parte, seja λ outra medida positiva satisfazendo

µ(A)

≤ λ(A) para todo

A ∈ Σ. Então, dada uma partição {A1, . . . , An} arbitrária de A em Σ, temos

n

n

µ(Ai) ≤

λ(Ai) = λ(A),

i=1

i=1

logo,

|µ|(A) ≤ λ(A).

1.3

Integração vetorial

Apresentaremos brevemente nesta seção um conceito simples de integração vetorial que terá

um papel importante em nosso trabalho. Trata-se de um conceito de integração sobre medidas

vetoriais a valores em duais de espaços normados. Para um estudo mais detalhado sobre este tópico

recomendamos [22].

Nesta seção e ao longo deste trabalho, para um conjunto arbitrário A, denotaremos por ✶A a

função característica de A.

Definição 1.5. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Uma função

f : K → X será chamada de simples se existirem v1, . . . , vn ∈ X e A1, . . . , An ∈ Σ tais que

n

f =

vi · ✶A .

i

i=1

Observação. É possível verificar que toda função simples f : K → X pode ser escrita como

n

f =

vi · ✶A ,

i

i=1

onde v1, . . . , vn ∈ X e A1, . . . , An formam uma partição de K em Σ.

Para um espaço mensurável (K, Σ) e um espaço de Banach X, o conjunto de todas as funções

simples de K em X, munido das operações usuais de adição de funções e multiplicação de função

por escalar, é um espaço vetorial. A aplicação f → f

= supx∈K f (x) define uma norma sobre

este espaço. Este espaço normado será denotado por S (Σ, X).

Definição 1.6. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Dizemos que uma

função f : K → X é mensurável se existe uma sequência (fn)n∈

em S(Σ, X) tal que f

N

n → f

pontualmente.

Teorema 1.7. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Se (fn)n∈ é uma

N

sequência de funções de K em X, mensuráveis e convergindo pontualmente a f , então o limite f é

mensurável.

Demonstração. Ver N. Dinculeanu [22, Teorema 10, p. 6].

4

MEDIDAS VETORIAIS E INTEGRAÇÃO VETORIAL

1.3

Medidas vetoriais a valores em duais topológicos de espaços normados desempenham papel

fundamental no estudo de funcionais lineares contínuos sobre espaços de funções a valores vetoriais.

A este tipo de medida dedicaremos nosso subsequente estudo neste capítulo.

Para um espaço de Banach X denotamos X∗ seu dual topológico, i.e., o espaço de todos os

funcionais lineares contínuos em X. A dualidade entre X∗ e X será denotada por v∗, v , v, v∗ ou

v∗(v).

Proposição 1.8. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Se µ : Σ → X∗

é uma medida vetorial de variação limitada, então

n

|µ| (A) = sup

µ (Ai) , vi , A ∈ Σ,

i=1

onde o supremo é tomado sob todas as partições finitas {A1, . . . , An} de A em Σ e v1, . . . , vn ∈ BX .

Demonstração. Fixe A ∈ Σ arbitrário. Da definição de variação temos

n

|µ| (A) ≥ sup

µ (Ai) , vi .

i=1

Resta apenas demonstrar a desigualdade contrária. Fixe

> 0 e uma partição qualquer {B1, . . . , Bm}

de A. Para cada 1 ≤ j ≤ m existe uj ∈ BX satisfazendo

µ (Bj) −

≤ µ (Bj) , uj .

m

Então

m

m

n

µ (Bj) − ≤

µ (Bj) , uj ≤ sup

µ (Ai) , vi

j=1

j=1

i=1

e deduzimos que

n

|µ| (A) ≤ sup

µ (Ai) , vi

+ .

i=1

Por

> 0 ser arbitrário concluímos que

n

|µ| (A) ≤ sup

µ (Ai) , vi .

i=1

Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e µ : Σ → X∗ uma medida vetorial de variação limitada.

Para cada f =

n

v

∈ S (Σ, X) defina

i=1

i · ✶Ai

n

Sµf =

µ (Ai) , vi .

(1.1)

i=1

Em virtude de µ ser finitamente aditiva, o valor de Sµf independe da particular representação

de f como uma função simples. Não é difícil verificar que a fórmula (1.1) define um funcional linear contínuo em S (Σ, X) e que, de acordo com a Proposição 1.8, verifica

Sµ = |µ| (K) .

1.3

INTEGRAÇÃO VETORIAL

5

Denotando por M (Σ, X) o completamento de S (Σ, X), espaço cujos os elementos serão de-

nominados funções totalmente mensuráveis, o funcional Sµ admite uma única extensão de mesma

norma a M (Σ, X) que será denotada por

f dµ, f ∈ M (Σ, X) .

Da mesma forma, dado A ∈ Σ, a aplicação µA (B) = µ (B ∩ A), define uma medida sobre Σ. O

funcional linear associado a µA tem norma |µ| (A) e pode ser denotado

f dµ =

f dµA, f ∈ M (Σ, X) .

A

Se A, B ∈ Σ são disjuntos, então µA∪B = µA + µB. Com a notação acima podemos escrever

f dµ =

f dµA∪B =

f dµA +

f dµB =

f dµ +

f dµ, f ∈ M (Σ, X) .

A∪B

A

B

No caso escalar, no qual X = R ou X = C, para funções totalmente mensuráveis a integração

definida acima coincide com a integração abstrata usual desenvolvida em teoria da medida. A

proposição seguinte combina esses dois conceitos.

Proposição 1.9. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e µ : Σ → X∗ uma medida vetorial de

variação limitada. Para cada f ∈ M (Σ, X) temos

f dµ ≤

f (x) d |µ| (x).

Demonstração. Seja f ∈ M (Σ, X). Se f é simples, suponha f =

n

v

onde A

i=1

i · ✶Ai

1, . . . , An ∈ Σ

são mutuamente disjuntos. Então

n

n

n

f dµ =

µ (Ai) , vi

| µ (Ai) , vi | ≤

µ (Ai)

vi

i=1

i=1

i=1

n

vi |µ| (Ai) =

f (x) d |µ| (x).

i=1

Para o caso geral, seja (fn)n∈ uma sequência em S (Σ, X) convergindo uniformemente a f . Da

N

continuidade do funcional g →

gdµ temos

lim

fndµ =

f dµ

(1.2)

n→+∞

e como claramente ( fn )n∈ converge uniformemente a f podemos escrever

N

lim

fn(x) d |µ| (x) =

f (x) d |µ| (x).

(1.3)

n→+∞

Já verificamos a proposição para funções simples. Assim,

fndµ ≤

fn(x) d |µ| (x), n ∈ N.

(1.4)

Combinando as relações (1.2), (1.3) e (1.4) temos

6

MEDIDAS VETORIAIS E INTEGRAÇÃO VETORIAL

1.4

f dµ =

lim

fndµ ≤ lim

fn(x) d |µ| (x) =

f (x) d |µ| (x).

n→+∞

n→+∞

1.4

Representação de funcionais em C0(K, X)

Nossa meta nesta seção é apresentar um breve estudo sobre funcionais lineares definidos em de-

terminados espaços de funções contínuas. Como veremos na sequência, este estudo está intimamente

ligado com o conceito de integração apresentado na Seção 1.3.

Definição 1.10. Sejam K um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff e X um espaço

de Banach. Dizemos que uma função f : K → X se anula no infinito se para cada

> 0 existe um

compacto J ⊂ K tal que f (x) <

para todo x ∈ K \ J .

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, o conjunto de

todas as funções contínuas f : K → X que se anulam no infinito, munido das operações usuais de

adição de funções e multiplicação de função por escalar, formam um espaço vetorial, mais ainda,

a aplicação f → f

= supx∈K f (x) define uma norma completa sobre este espaço. Este espaço

de Banach será denotado por C0(K, X). Se X for R ou C, este espaço será denotado por C0(K).

Quando K for compacto estes espaços serão denotados por C(K, X) e C(K) respectivamente.

Observação 1.11. Sejam K um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff não com-

.

pacto, K = K ∪ {∞} o compactificado de Aleksandrov de K e X um espaço de Banach. O espaço

C0(K, X) pode ser identificado de maneira natural com o subespaço de C(K, X) das funções con-

tínuas f : K → X satisfazendo f (∞) = 0.

Teorema 1.12 (Lema de Urysohn). Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff, U um

aberto em K, F ⊂ U e F é compacto. Então existe f ∈ C0(K) tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1 para todo

x ∈ K, f (x) = 1 se x ∈ F e f (x) = 0 se x ∈ K \ U .

Demonstração. Se K for compacto, por K ser de Hausdorff, então K é normal. Podemos aplicar

o Lema de Urysohn para espaços topológicos normais [25, Teorema 1.5.11] e concluir que existe f ∈ C(K) tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1 para todo x ∈ K, f (x) = 1 se x ∈ F e f (x) = 0 se x ∈ K \ U .

Se K for não compacto, como na Observação 1.11, identificamos o espaço C0(K) com o subespaço de C(K) das funções contínuas f : K → K satisfazendo f (∞) = 0. Por K ser localmente compacto

de Hausdorff, seu compactificado de Aleksandrov K é normal. Por F ⊂ K ser compacto, o conjunto

F é fechado em K. Podemos aplicar novamente o [25, Teorema 1.5.11] e obter uma função f ∈ C(K) tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1 para todo x ∈ K, f (x) = 1 se x ∈ F e f (x) = 0 se x ∈ K \ U . Por f (∞) = 0,

temos que f ∈ C0(K).

Para um espaço topológico K, a menor σ-álgebra contendo todos os abertos de K é chamada

σ-álgebra de Borel e será denotada por B(K). Os elementos de B(K) serão chamados de borelianos

de K. Uma medida vetorial ou escalar µ definida sobre B(K) será chamada de medida de Borel.

Para medidas de Borel, um conceito fundamental em nosso trabalho é o de regularidade que

recordaremos em seguida.

Definição 1.13. Seja K um espaço topológico. Uma medida positiva µ : B(K) → R será denomi-

nada regular se para todo boreliano B, satisfizer

µ(B) = inf{µ(U ) : B ⊂ U, U é aberto} = sup{µ(L) : L ⊂ B, L é compacto}.

1.4

REPRESENTAÇÃO DE FUNCIONAIS EM C0(K, X)

7

Se µ for uma medida vetorial de Borel, diremos que µ é regular quando |µ| for regular no sentido

acima.

Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e X um espaço de Banach. O conjunto

de todas medidas µ : B(K) → X regulares, σ-aditivas e de variação limitada, munido das oper-

ações usuais de adição de medidas e multiplicação de medida por escalar, é um espaço vetorial. A

aplicação µ → µ = |µ|(K) define uma norma completa sobre este espaço que será denotado por

rcabv(K, X). Se X for R ou C este espaço será denotado simplesmente por rcabv(K).

Observação 1.14. Por simplicidade, para um espaço topológico K localmente compacto de Haus-

dorff estaremos assumindo de maneira implícita a σ-álgebra B(K). Também por simplicidade, para

o espaço mensurável (K, B(K)) e um espaço de Banach X, o espaço das funções simples mensu-

ráveis munido da norma do supremo, introduzido na Seção 1.3, será denotado por S(K, X) e seu completamento por M(K, X).

Proposição 1.15. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e X um espaço de

Banach. Para toda função f ∈ C0(K, X) existe uma sequência (fn)n∈

em S(K, X) convergindo

N

uniformemente a f e tal que fn ≤ f para todo n ∈ N.

Demonstração. Seja f ∈ C0(K, X) e sem perda de generalidade vamos supor que f = 1. Fixado

n ∈ N, considere o conjunto Ln = {x ∈ K : f (x) ≥ 1 } que é não vazio e compacto, pois a função

n

f é contínua e se anula no infinito. Para cada x ∈ Ln defina

Ux = f −1 B 1 (f (x)) .

n

Note-se que {Ux : x ∈ K} é um recobrimento aberto de Ln. Por compacidade, existem pontos

distintos x1, . . . , xm ∈ Ln tais que

Ln ⊂ Ux ∪ . . . ∪ U

.

1

xm

Em seguida, para cada 1 ≤ i ≤ m defina

m

Ai = Ux \

U

e

f

f (x

.

i

xj

n =

i) · ✶Ai

j<i

i=1

Para cada x ∈ K, se x ∈ K \ (Ux ∪ . . . ∪ U

), então x /

∈ L

1

xm

n e fn(x) = 0, logo

1

f (x) − fn(x) = f (x) <

.

n

Por outro lado, se x ∈ Ux ∪ . . . ∪ U

, então existe um único 1 ≤ i ≤ m tal que x ∈ A

1

xm

i. Temos

1

f (x) − fn(x) = f (x) − f (xi) <

.

n

Portanto f − fn ≤ 1 e dessa forma, podemos construir uma sequência (f

de funções simples

n

n)n∈N

convergindo uniformemente a f . Mais ainda, segue imediatamente da construção de cada fn que

fn ≤ f .

Teorema 1.16. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e µ ∈ rcabv(K, X∗). Para

cada aberto U ⊆ K seja FU = {f ∈ C0(K, X) : f ≤ 1 e f (x) = 0 se x ∈ K \ U }. Então

|µ| (U ) = sup

f dµ .

FU

8

MEDIDAS VETORIAIS E INTEGRAÇÃO VETORIAL

1.4

Demonstração. Seja U ⊆ K um aberto não vazio. Dado

> 0, de acordo com a Proposição 1.8,

existe uma função simples g =

n

v

, onde v

i=1

i · ✶A

1, . . . , vn ∈ BX e A1, . . . , An formam uma

i

partição de U em B(K), satisfazendo

n

|µ| (U ) <

+

µ (Ai) , vi

=

+

gdµ .

(1.5)

2

2

i=1

Devido à regularidade de |µ|, existem abertos U1, U2, . . . , Un e compactos J1, J2, . . . , Jn satis-

fazendo

Ji ⊂ Ai ⊂ Ui ⊂ U e |µ| (Ui \ Ji) <

, 1 ≤ i ≤ n.

2n( vi + 1)

Aplicando o Lema de Urysohn 1.12, podemos obter funções hi ∈ C0(K), 1 ≤ i ≤ n, tais que 0 ≤ hi(x) ≤ 1 para todo x ∈ K, hi(x) = 1 se x ∈ Ji e hi(x) = 0 se x ∈ K \ Ui. Como os

compactos J1, . . . , Jn são mutuamente disjuntos, as funções h1, . . . , hn podem ser escolhidas com

suportes mutuamente disjuntos. Defina h : K → X por

n

h(x) =

vi · hi(x).

i=1

Claramente h ∈ FU . Utilizando a Proposição 1.9 podemos escrever

n

gdµ −

hdµ =

(g − h)dµ ≤

g − h d |µ| ≤

vi

|✶A − h

i

i| d |µ|

i=1

n

n

vi

✶(U

( v

i\Ki)d |µ|

i

· |µ|(Ui \ Ki))

i=1

i=1

n

v

i

<

.

2n( vi + 1)

2

i=1

Então, retomando a relação (1.5), deduzimos

|µ| (U ) <

+

gdµ <

+

hdµ ≤

+ sup

f dµ .

2

FU

Por

ser arbitrário, resulta

|µ| (U ) ≤ sup

f dµ .

FU

Por outro lado, fixe f ∈ FU arbitrária. Se f não for a função nula, podemos supor sem perda de

generalidade que f

= 1. Neste caso, seja (fn)n∈ uma sequência em S(K, X), construída como

N

na demonstração da Proposição 1.15, que converge uniformemente a f e que satisfaz fn ≤ 1 para todo n ∈ N.

Dado n ∈ N, por fn(x) = 0 se x ∈ K \U , podemos escrever fn =

rn v

, onde v

i=1

i · ✶A

1, . . . , vr

i

n

BX e A1, . . . , Ar formam uma partição de U em B(K). Assim,

n

rn

fndµ =

µ (Ai) , vi

≤ |µ|(U ).

i=1

1.5

O TEOREMA DE RADON-NIKODÝM

9

Passando-se ao limite na expressão acima para n tendendo ao infinito obtemos

f dµ ≤ |µ|(U ).

Por f ∈ FU ser arbitrária, temos

sup

f dµ ≤ |µ|(U )

FU

.

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, de acordo

com a Proposição 1.15, temos C0(K, X) ⊂ M (K, X). Assim, dado um funcional linear contínuo ϕ

sobre C0(K, X), por uma aplicação do teorema Hahn-Banach, ϕ se estende a um funcional linear

contínuo ϕ sobre M (K, X) de mesma norma. Note-se que ao funcional ϕ podemos associar a

aplicação µ : B(K) → X∗ definida para cada A ∈ B(K) e cada v ∈ X por

µ(A), v = ϕ(✶A · v).

Não é difícil verificar que µ é uma medida vetorial finitamente aditiva e que satisfaz

ϕ = |µ|(K)

e

ϕ(f ) =

f dµ, f ∈ C0(K, X).

(1.6)

Naturalmente, a extensão ϕ não está univocamente determinada assim como a medida µ cor-

respondente. Para medidas escalares, o clássico Teorema de Representação de Riesz [45, Teorema 6.19] estabelece que o dual de C0(K) pode ser identificado com rcabv(K) via teoria de integração.

Um resultado de I. Singer determina que dentre todas as medidas µ que cumprem (1.6) existe uma única em rcabv(K, X∗). Trata-se de uma extensão do Teorema de Representação de Riesz para os

espaços C0(K, X).

Teorema 1.17 (Representação de Riesz-Singer). Existe um isomorfismo isométrico entre C0(K, X)∗

e rcabv(K, X∗), onde cada funcional ϕ ∈ C0(K, X)∗ e a medida µ ∈ rcabv(K, X∗) correspondente

se relacionam pela seguinte fórmula integral

ϕ(f ) =

f dµ , f ∈ C0(K, X),

com ϕ = |µ|(K).

Para a demonstração deste teorema, no caso em que K é compacto, recomendamos [32] e também

[48, Lema 1.6, p. 193]. Para K localmente compacto, o teorema pode ser obtido do caso compacto como explicado em [11, p. 2]. Para uma demonstração detalhada do caso localmente compacto recomendamos [40].

Observação 1.18. A demonstração original do Teorema 1.17 descoberta por I. Singer em [49]

é incompleta. Este resultado, até onde sabemos, foi completado pela primeira vez por J. Gil de

Lamadrid em [30].

1.5

O Teorema de Radon-Nikodým

Nesta seção apresentaremos um teorema tipo Radon-Nikodým para medidas vetoriais. Este

resultado terá importantes aplicações nos subsequentes capítulos.

10

MEDIDAS VETORIAIS E INTEGRAÇÃO VETORIAL

1.5

Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Recordamos que uma medida

vetorial µ : Σ → X é absolutamente contínua com relação a uma medida positiva λ : Σ → R e

escrevemos µ

λ, se

lim µ(A) = 0.

λ(A)→0

Observação. Devemos notar que µ

λ não significa que µ(A) = 0 sempre que λ(A) = 0, a menos

que µ e λ sejam ambas σ-aditivas.

Recordamos em seguida um teorema clássico, [45, Teorema 6.10].

Teorema 1.19 (Radon-Nikodým). Sejam λ : Σ → R uma medida positiva e σ-aditiva, µ : Σ → K

uma medida σ-aditiva de variação limitada satisfazendo µ

λ. Então existe uma função γ : K → K

mensurável, integrável e satisfazendo

µ(A) =

γdλ

e

|µ|(A) =

|γ|dλ, A ∈ Σ.

A

A

Para medidas vetoriais µ : Σ → X sabemos que não existem, em geral, densidades γ mensuráveis

satisfazendo conclusão semelhante a do Teorema 1.19, isto só ocorre quando X tem a propriedade de Radon-Nikodým.

Um espaço de Banach X tem a propriedade de Radon-Nikodým (ou P.R.N.) se para qualquer

espaço mensurável (K, Σ), qualquer medida positiva e σ-aditiva λ : Σ → R e qualquer medida

vetorial σ-aditiva de variação limitada µ : Σ → X tal que µ

λ, existir uma função γ : K → X

mensurável, Bochner integrável e que verifica, para todo A ∈ Σ, a relação

µ(A) =

γdλ. (Bochner)

A

Exemplos de espaços de Banach com essa propriedade são: espaços reflexivos [20, Corolário 13, p. 76] e espaços duais separáveis [20, Teorema 1, p. 79].

Inspirado em [22, Teorema 34, p. 37], apresentaremos uma versão do teorema de Radon-Nikodým para medidas a valores em X∗ sem a imposição dos espaços envolvidos possuirem a propriedade de

Radon-Nikodým. Todavia, a densidade γ obtida é apenas w∗-mensurável.

Definição 1.20. Sejam (K, Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Dizemos que uma

função f : K → X∗ é w∗-mensurável se para todo v ∈ X a função numérica

x → f (x), v

for mensurável no sentido usual.

Recordamos que uma propriedade P (x) definida para cada x ∈ K é dita verdadeira µ-qs ou

µ-quase sempre se o conjunto N = {x ∈ K : P (x) é falsa} está contido em algum A ∈ Σ tal que

µ(A) = 0.

Teorema 1.21. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff, X um espaço de Banach

separável e µ ∈ rcabv(K, X∗). Existe uma função γ : K → X∗ w∗-mensurável, tal que γ(x) = 1

para todo x ∈ K e que verifica

µ(A), u =

γ(x), u d|µ|(x), A ∈ B(K) e u ∈ X.

A

Demonstração. Para cada v ∈ X defina a aplicação µv : B(K) → K por

µv(A) = µ(A), v , A ∈ B(K).

1.5

O TEOREMA DE RADON-NIKODÝM

11

Claramente µv ∈ rcabv(K) e µv

|µ|. De acordo com o Teorema de Radon-Nikodým 1.19, existe

uma função γv : K → K mensurável, integrável e satisfazendo

µv(A) =

γvd|µ| e |µv|(A) =

|γv|d|µ|, A ∈ B(K).

(1.7)

A

A

Seja N (v) = {x ∈ K : |γv|(x) > v } e defina para cada n ∈ N o conjunto

1

An =

x ∈ K : |γv|(x) ≥ v +

.

n

Temos N (v) =

A

n∈N

n e

1

v +

|µ|(An) ≤

|γv|d|µ| = |µv|(An) ≤ v · |µ|(An), n ∈ N.

n

An