Um Esquema Eficiente de Amostragem em Modelos Dinâmicos Generalizados com Aplicações em Funções de T por Romy Elena Rodríguez Ravines - Versão HTML

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

UM ESQUEMA EFICIENTE DE AMOSTRAGEM EM MODELOS DIN ÂMICOS

GENERALIZADOS COM APLICAC¸ ˜OES EM FUNC¸ ˜OES DE TRANSFER ÊNCIA

Romy Elena Rodr´ıguez Ravines

2006

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UFRJ

UM ESQUEMA EFICIENTE DE AMOSTRAGEM EM MODELOS DIN ÂMICOS

GENERALIZADOS COM APLICAC¸ ˜OES EM FUNC¸ ˜OES DE TRANSFER ÊNCIA

Romy Elena Rodr´ıguez Ravines

Tese de Doutorado submetida ao Programa de P ós-

graduac¸˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matemática

da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários para obtenc¸˜ao do

grau de Doutor em Ciências Estat´ısticas.

Orientador: Prof. Helio S. Migon

Co-orientadora: Profa. Alexandra M. Schmidt

Rio de Janeiro, Dezembro de 2006

UM ESQUEMA EFICIENTE DE AMOSTRAGEM EM MODELOS DIN ÂMICOS

GENERALIZADOS COM APLICAC¸ ˜OES EM FUNC¸ ˜OES DE TRANSFER ÊNCIA

Romy Elena Rodr´ıguez Ravines

Orientador: Prof. Helio S. Migon

Co-orientadora: Profa. Alexandra M. Schmidt

Tese de Doutorado submetida ao Programa de P ós-graduac¸˜ao em Estat´ıstica do Ins-

tituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requi-

sitos necessários para obtenc¸˜ao do grau de Doutor em Ciências Estat´ısticas.

Presidente, Prof. Helio S. Migon

Profa. Alexandra M. Schmidt

IM-UFRJ

IM-UFRJ

Prof. Dani Gamerman

Prof. Hedibert F. Lopes

IM-UFRJ

GSB-UC, EUA

Prof. Nikolai V. Kolev

Prof. Francisco Cribari Neto

IME-USP

DE-UFPE

Rio de Janeiro, Dezembro de 2006

Ravines, Romy Elena Rodr´ıguez

Um Esquema Eficiente de Amostragem em Modelos Dinâmicos

Generalizados com Aplicac¸ ˜oes em Func¸ ˜oes de Transferência/ Romy

Elena Rodr´ıguez Ravines.- Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006.

xiii, 130f.: il.; 31cm.

Orientadores: Helio S. Migon, Alexandra M. Schmidt

Tese (doutorado) - UFRJ/IM/ Programa de P ós-graduac¸˜ao em Es-

tat´ıstica, 2006.

Referências Bibliográficas: f.131-136.

1. MCMC. 2. Inferência Bayesiana. 3. Modelos Espac¸o-Temporais.

I. Migon, Helio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto

de Matemática. III. T´ıtulo.

Agradecimentos

Esta tese foi poss´ıvel grac¸as ao apoio financeiro da CAPES, à valiosa

colaborac¸˜ao e à atenc¸˜ao dedicada a este trabalho por meus orientadores

Helio S. Migon e Alexandra M. Schmidt, ao incentivo de todos os

meus amigos do DME, ao apoio incondicional de minha fam´ılia e, em

especial, de meu querido Ralph.

A todos, muito obrigada.

RESUMO

UM ESQUEMA EFICIENTE DE AMOSTRAGEM EM MODELOS DIN ÂMICOS

GENERALIZADOS COM APLICAC¸ ˜OES EM FUNC¸ ˜OES DE TRANSFER ÊNCIA

Romy Elena Rodr´ıguez Ravines

Orientador: Prof. Helio S. Migon

Co-orientadora: Profa. Alexandra M. Schmidt

Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de P ós-graduac¸˜ao em Estat´ıstica do Instituto de

Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para obtenc¸˜ao

do grau de Doutor em Ciências Estat´ısticas.

Os principais objetivos desta tese foram: (i) propor um esquema de amostragem eficiente para

fazer inferência em modelos dinâmicos n˜ao normais e n˜ao lineares, usando o enfoque bayesiano, e

(ii) mostrar a sua aplicac¸˜ao em modelos de alta complexidade, em particular os modelos de func¸˜ao

de transferência.

O esquema de amostragem aqui proposto é denominado CUBS, abreviac¸˜ao do inglês Conjugate

Updating Backward Sampling. Este esquema combina duas propostas previamente estabelecidas na

literatura: o Conjugate Updating ou Linear Bayes de West et al. (1985) e o FFBS de Fr ühwirth-Schnater

(1994). Os resultados obtidos mostram que o esquema proposto é eficiente no sentido de reduzir

significativamente o tempo computacional e ser de fácil implementac¸˜ao. Milhares de iterac¸ ˜oes do

MCMC s˜ao realizadas em minutos e as cadeias geradas apresentam menos autocorrelac¸˜ao que as

geradas com métodos de amostragem individual.

Utilizamos o esquema proposto na modelagem estocástica conjunta da chuva e vaz˜ao prove-

nientes de m últiplas bacias. A modelagem utilizada é outra proposta desta tese. A classe dos

modelos dinâmicos de func¸˜ao de transferência foi a escolhida para representar a relac¸˜ao entre am-

bas variáveis e um modelo espac¸o-temporal com troca de suporte foi escolhido para representar a

chuva. Os resultados mostraram que nossa abordagem é bastante flex´ıvel e parcimoniosa no sen-

tido de ter poucos parâmetros para representar (bem) todos os processos f´ısicos envolvidos nessa

relac¸˜ao.

Palavras-chave: Chuva-vaz˜ao; Defasagens Distribu´ıdas; Inferência Bayesiana; Func¸ ˜oes de Trans-

ferência; Linear Bayes; Markov chain Monte Carlo; Modelos Dinâmicos; Troca de Suporte; WinBUGS.

ABSTRACT

AN EFFICIENT SAMPLING SCHEME FOR DYNAMIC GENERALIZED MODELS WITH

APPLICATIONS IN TRANSFER FUNCTIONS

Romy Elena Rodr´ıguez Ravines

Orientador: Prof. Helio S. Migon

Co-orientadora: Profa. Alexandra M. Schmidt

Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de P ós-graduac¸˜ao em Estat´ıstica do Instituto de

Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para obtenc¸˜ao

do grau de Doutor em Ciências Estat´ısticas.

The main goals of this thesis were: (i) to propose an efficient sampling scheme to make inference

on non-normal and non-linear dynamic models, under the Bayesian framework, and (ii) to show

its application to complex models, in particular, the transfer function models.

The sampling scheme proposed here is called CUBS, short for Conjugate Updating Backward Sam-

pling. This scheme combines two algorithms previously established in the literature: the Conjugate

Updating or Linear Bayes from West et al. (1985) and, the FFBS from Fr ühwirth-Schnater (1994).

The results showed that CUBS is efficient because its implementation is quite simple and has low

demand of computational time. Thousands of iterations can be performed in seconds and the

autocorrelation of its chains is lower than those from chains generated with simple move schemes.

CUBS was used in a particular approach, proposed here, for modelling rainfall and runoff

jointly. The class of dynamic models of transfer functions was chosen to represent the relationship

between both variables. A spatio-temporal model with change of support was used to model

the rainfall. The results showed that our approach is flexible and parsimonious, this because it

simplifies the physical processes involved in this relationship, in a function with few parameters

all with a clear physical interpretation.

Key-words: Bayesian inference; Change of support; Distributed Lag; Dynamic Models; Linear

Bayes; Transfer functions; Monte Carlo Markov chain, Rainfall-Runoff; WinBUGS.

SUM ´

ARIO

Lista de Tabelas

xi

Lista de Figuras

xii

Cap´ıtulo 1:

Introduç˜ao

1

1.1

Modelos de Func¸˜ao de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Relac¸˜ao Chuva-Vaz˜ao

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Objetivos da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Organizac¸˜ao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Cap´ıtulo 2:

Inferência Bayesiana em Modelos de Defasagens Distribu´ıdas

5

2.1

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Modelos de Defasagens Distribu´ıdas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.1

Defasagens Distribu´ıdas Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.2

Defasagens Distribu´ıdas Finitas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Modelos Lineares Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.1

Definic¸˜ao

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.2

Modelos de Func¸˜ao de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.3

Func¸ ˜oes de Transferência e Defasagens Distribu´ıdas . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4

Procedimento de Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5

Aplicac¸˜ao: uma Func¸˜ao Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5.1

Dados e Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5.2

Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5.3

Selec¸˜ao de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5.4

Comparac¸˜ao com uma Abordagem Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5.5

Bondade de Ajuste e Previs˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5.6

Tratamento da Endogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

viii

2.6

Considerac¸ ˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.7

Apêndice: Exemplo de c ódigo usado em WinBUGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Cap´ıtulo 3:

Um Esquema de Amostragem Eficiente para Modelos Dinâmicos Genera-

lizados

26

3.1

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Esquema de Amostragem Proposto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Comparac¸˜ao de Esquemas de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3.1

Estudo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.3.2

Dados Reais: Precipitac¸˜ao em Tokyo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3.3

Dados Reais: Chuva e Vaz˜ao no Rio Fartura (SP)

. . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4

Considerac¸ ˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5

Apêndice: Algumas Equac¸ ˜oes para os Parâmetros a Priori e a Posteriori . . . . . . .

50

3.6

Apêndice: O Caso da Distribuic¸˜ao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Cap´ıtulo 4:

Uma Abordagem Bayesiana da Relaç˜ao Chuva-Vaz˜ao

53

4.1

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.2

Bacia do Rio Grande (BA), Brasil.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3

Abordagem Proposta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.3.1

Um Modelo Dinâmico de Func¸˜ao de Transferência

. . . . . . . . . . . . . . .

56

4.3.2

Modelando a Chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.4

Procedimento de Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.5

Modelagem na Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.5.1

Distribuic¸ ˜oes a Priori e Condicionais Completas . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.5.2

Principais Aspectos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.5.3

Resultados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.5.4

Interpolac¸ ˜oes Espaciais e Previs ˜oes Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.6

Considerac¸ ˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.7

Apêndice: Verossimilhanc¸a - Mudanc¸a de Suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.8

Apêndice: Postos Fluviométricos e Pluviométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

ix

Cap´ıtulo 5:

Modelagem de M últiplas Séries de Vaz˜ao

75

5.1

Colocac¸˜ao do Problema

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.2

Modelo conjunto proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.2.1

Especificac¸˜ao Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.2.2

Efeito da Chuva: func¸˜ao de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.3

Procedimento de Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.4

Aplicac¸˜ao

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.4.1

Modelando a Chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.4.2

Modelando a Vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.5

Considerac¸ ˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.6

Apêndice I: Algumas Estat´ısticas da Distribuic¸˜ao Log-Normal Multivariada . . . . .

91

Cap´ıtulo 6:

Consideraç ˜oes Finais e Trabalhos Futuros

95

6.1

Considerac¸ ˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.2

Trabalhos Futuros

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2.1

Sobre o Esquema Proposto para Modelos Generalizados Dinâmicos

. . . . .

97

6.2.2

Sobre a Relac¸˜ao Chuva-Vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Apêndice A:

Abreviaç ˜oes e Definiç ˜oes

104

Apêndice B:

Distribuiç ˜oes Condicionais Completas e Métodos de Amostragem

109

B.1 Modelo Linear Normal de Func¸˜ao de Transferência N˜ao Estocástica

. . . . . . . . . 109

B.2 Modelo Linear Normal de Func¸˜ao de Transferência Estocástica

. . . . . . . . . . . . 111

B.3 Modelo Linear Gama de Func¸˜ao de Transferência N˜ao Estocástica

. . . . . . . . . . 115

B.3.1

A Distribuic¸˜ao Gama

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

B.3.2

Condicionais Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

B.4 Modelo Linear Gama de Func¸˜ao de Transferência Estocástica

. . . . . . . . . . . . . 120

B.4.1

Alternativa de Amostragem para Et, t = 1, . . . , T

. . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.5 Modelo de Func¸˜ao de Transferência N˜ao Estocástica com Estrutura Hierárquica

. . 124

Apêndice C:

CUBS na Fam´ılia Exponencial K−Paramétrica

128

x

LISTA DE TABELAS

2.1

Estat´ısticas a posteriori no modelo (2.15) com Erro I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Estat´ısticas a posteriori no modelo (2.15) com Erro II . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Comparac¸˜ao de modelos: DIC e EPD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

Elasticidades de longo e curto prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Estat´ısticas a posteriori no modelo (2.16) com Erro II e AR(1) para a renda . . . . . .

23

3.1

RMSE, tempo computacional e taxas de aceitac¸˜ao no estudo de Monte Carlo . . . . .

38

3.2

RMSEY e taxas de aceitac¸˜ao para a Chuva em Tokyo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.3

Estat´ısticas a posteriori de W para a chuva em Tokyo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4

Comparac¸˜ao para a vaz˜ao no Rio Fartura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5

PSRF e fatores de ineficiência para a Vaz˜ao no Rio Fartura . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.6

Equac¸ ˜oes para calcular momentos a priori e a posteriori no CUBS. . . . . . . . . . . .

50

4.1

Estat´ısticas a posteriori para o modelo de chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2

Comparac¸˜ao de modelos: DIC, EPD, MSE, MAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.3

Postos fluviométricos e pluviométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.1

Postos fluviométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.2

Estat´ısticas a posteriori do modelo conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.3

Correlac¸˜ao no modelo conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.4

Estat´ısticas a posteriori nos modelos univariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.5

Comparac¸˜ao de estimativas médias: conjunto vs univariados . . . . . . . . . . . . . .

89

5.6

Comparac¸˜ao de estimativas pontuais: conjunto vs univariados . . . . . . . . . . . . .

90

5.7

Comparac¸˜ao de modelos: conjunto vs univariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

xi

LISTA DE FIGURAS

2.1

Dados de renda e consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

k e λ no o modelo (2.15) com Erro I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

k e λ no modelo (2.15) com Erro II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4

Elasticidades de longo e curto prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Valores replicados e previs˜ao do consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1

Box plots das ineficiências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2

Box plots das medianas a posteriori de W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3

Autocorrelogramas para a Chuva em Tokyo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4

Box plots das ineficiências e amostras de W para a Chuva em Tokyo. . . . . . . . . . .

44

3.5

Box plots e autocorrelogramas para a Vaz˜ao no Rio Fartura . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.6

Correlogramas cruzados para a Vaz˜ao no Rio Fartura . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.1

Dados da bacia do Rio Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.2

Hip óteses nas func¸ ˜oes de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.3

Trajet ória estimada para os parâmetros do modelo da chuva . . . . . . . . . . . . . .

64

4.4

Médias a posteriori da chuva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.5

Chuva na bacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.6

Modelo da vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.7

Func¸˜ao resposta-impulso da vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.8

Valores ajustados de vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.9

Valores previstos de chuva e vaz˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.1

Hidrografia do Rio Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.2

Sub-bacias do Rio Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.3

Dados das sub-bacias do Rio Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.4

Chuva acumulada por sub-bacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.5

Vaz˜ao no modelo condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

xii

1

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO

A modelagem estocástica da relac¸˜ao entre chuva e vaz˜ao, duas das mais importantes variáveis

hidrol ógicas, envolve alguns desafios estat´ısticos que motivaram a realizac¸˜ao desta tese. Um deles

é a modelagem conjunta de ambas variáveis utilizando modelos que representem adequadamente

os processo f´ısicos envolvidos. A classe dos modelos dinâmicos de func¸ ˜oes de transferência foi a

escolhida para abordar esta relac¸˜ao. A inferência sobre os parâmetros dos modelos foi realizada

sob o paradigma bayesiano e a ênfase foi dada à eficiência dos métodos de amostragem das distri-

buic¸ ˜oes a posteriori dos parâmetros de estado dos modelos dinâmicos.

Desta forma, esta tese teve como objetivos gerais: (i) propor um esquema de amostragem efi-

ciente para fazer inferência em modelos dinâmicos n˜ao normais e n˜ao lineares, usando o enfoque

bayesiano, e (ii) mostrar a sua aplicac¸˜ao em modelos de alta complexidade, em particular os mo-

delos de func¸˜ao de transferência, aplicados à modelagem conjunta de chuva e vaz˜ao.

Esta introduc¸˜ao está organizada da seguinte forma. As sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 apresentam um resumo dos principais temas abordados nesta tese: modelos de func¸˜ao de transferência e a relac¸˜ao chuva-vaz˜ao. Na sec¸˜ao 1.3 s˜ao estabelecidos os objetivos gerais e espec´ıficos desta tese. A sec¸˜ao 1.4

descreve a organizac¸˜ao dos outros cap´ıtulos desta tese.

1.1

Modelos de Funç˜ao de Transferência

Os modelos de func¸˜ao de transferência (FT) est˜ao entre os mais utilizados na modelagem de séries

temporais em diversas áreas como Engenharia, Economia, Meio Ambiente, etc. Seja {Yt, t = 1, 2, . . .}

a série de interesse (dependente, resposta ou output) e sejam {Xit, t = 1, 2, . . .} k séries exógenas

(inputs), onde i indexa a i−ésima série, i = 1, . . . , k. O modelo de FT (na representac¸˜ao polinomial)

relaciona as séries através da seguinte equac¸˜ao:

k

k

Yt =

Eit + υt =

νi(B)Xit + υt,

(1.1)

i=1

i=1

2

onde Eit representa o efeito da FT da i−ésima variável exógena, νi(B) =

ν

j=−∞ ijBj, B é o operador

de defasagens, isto é, BYt = Yt−1, e υt é uma série de ru´ıdos independente de {Xit}. O termo υt pode

tomar diferentes especificac¸ ˜oes o que faz este tipo de modelagem muito flex´ıvel e versátil.

Nesta tese optamos por utilizar a representac¸˜ao de modelos de func¸˜ao de transferência apre-

sentada em West & Harrison (1997, p. 281), mas para o caso mais geral em que a variável resposta, Yt, segue uma distribuic¸˜ao na fam´ılia exponencial; isto é,

Yt ∼ p(Yt|µt, λt)

(1.2a)

k

f (µt) =

Eit

(1.2b)

i=1

Eit = g(Ei,t−1, . . . , Ei0, Xit, . . . , Xi1),

(1.2c)

onde p(Yt|µt, λt) denota uma distribuic¸˜ao normal, ou binomial, ou Poisson, ou gama, etc., e µt

denota a média de p(Yt|µt, λt). A func¸˜ao f (µt) é conhecida e, na linguagem de modelos generali-

zados, é denominada func¸˜ao de ligac¸˜ao. A func¸˜ao g(·) também é conhecida e descreve os efeitos

da covariável Xi sobre Yt. O modelo em (1.2) é um modelo n˜ao-linear e inclui importantes casos

particulares, por exemplo, os coeficientes da func¸˜ao g(·) podem variar suavemente ao longo do

tempo e/ou f (µt) pode incluir um termo de erro aleatório.

Sob o ponto de vista bayesiano, o modelo em (1.2) fica completamente especificado depois da

especificac¸˜ao da distribuic¸˜ao a priori dos parâmetros do modelo. A estimac¸˜ao de seus (hiper)pa-

râmetros pode n˜ao ser uma tarefa fácil pois n˜ao é poss´ıvel fazer inferência anal´ıtica. Alves (2005)

estuda a inferência usando o método Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC), mostrando

que esse método, embora computacionalmente intensivo, permite a obtenc¸˜ao de bons resulta-

dos. Neste sentido, um esquema que permita reduzir o tempo computacional e que seja de fácil

implementac¸˜ao é um produto que pode auxiliar na modelagem de problemas cada vez mais com-

plexos e/ou incentivar o uso destes modelos por parte de pesquisadores de outras áreas.

1.2

Relaç˜ao Chuva-Vaz˜ao

Das fases do ciclo hidrol ógico, talvez a mais importante seja a do escoamento superficial que

tem origem, fundamentalmente, nas precipitac¸ ˜oes. A vaz˜ao, ou volume escoado por unidade de

tempo, é a principal grandeza que caracteriza um escoamento e normalmente é expressa em metros

c úbicos por segundo. Sabe-se que a vaz˜ao do per´ıodo atual depende da vaz˜ao do per´ıodo ante-

rior e do volume da chuva passada e atual, sendo modelos do tipo auto-regressivo (AR) ou média

3

m óvel (MA), como os descritos em Sales (1989), comumente utilizados para a previs˜ao de vaz ˜oes.

Contudo, estes tipos de modelos s˜ao ajustados sob as hip óteses de normalidade e estacionarie-

dade. Além disso, a relac¸˜ao chuva-vaz˜ao é basicamente n˜ao linear. Nesse sentido, s˜ao necessários

modelos estocásticos que descrevam essa relac¸˜ao e permitam o ajuste de séries n˜ao estacionárias

com distribuic¸˜ao para variáveis reais positivas como, por exemplo, o modelo em (1.2).

Por outro lado, os modelos tradicionais de chuva-vaz˜ao consideram que a chuva é dada, isto

é, que existe uma única medida de precipitac¸˜ao numa bacia. Porém, na maioria dos casos, a

precipitac¸˜ao é medida em mais de uma estac¸˜ao meteorol ógica dentro de uma mesma bacia, por-

tanto é necessário algum método para usar a informac¸˜ao de todos os postos e estimar a precipitac¸˜ao

de toda a bacia. Existem métodos que prop ˜oem uso de pol´ıgonos para determinar a área de in-

fluência de cada posto na bacia e representar a precipitac¸˜ao total como uma média ponderada das

medidas em cada posto. O principal problema com este tipo de método é que a incerteza associada

com este processo n˜ao é considerada no processo de inferência.

Do descrito nesta sec¸˜ao nota-se a importância da modelagem conjunta da chuva e da vaz˜ao,

considerando que a medic¸˜ao de ambas variáveis é realizada de forma diferente. Também, o modelo

proposto deve ser capaz de fornecer boas previs ˜oes da quantidade d’água dispon´ıvel, informac¸˜ao

de vital importância para a gest˜ao d’águas.

1.3

Objetivos da Tese

Com base na breve exposic¸˜ao realizada nas duas sec¸ ˜oes anteriores, formulamos como objetivos

gerais desta tese: (1) propor um esquema de amostragem eficiente para obter amostras das distri-

buic¸ ˜oes a posteriori das quantidades desconhecidas nos modelos dinâmicos generalizados; (2) es-

tudar os modelos de func¸˜ao de transferência dentro da classe dos modelos dinâmicos n˜ao normais,

usando o enfoque bayesiano; e (3) aplicar o esquema proposto em modelos de alta complexidade

com dados reais. Como objetivos espec´ıficos temos: (i) re-estimar os modelos de chuva-vaz˜ao

estudados em Migon & Monteiro (1997), incluindo poss´ıveis extens ˜oes dentro da especificac¸˜ao de modelos dinâmicos, (ii) implementar diversos algoritmos MCMC para amostrar da distribuic¸˜ao a posteriori e comparar os resultados obtidos, (iii) modelar dados de chuva considerando sua

correlac¸˜ao espacial, e (iv) combinar a informac¸˜ao de vaz ˜oes medidas em diferentes pontos de uma

bacia ou de várias bacias num único modelo.

4

1.4

Organizaç˜ao da Tese

Esta tese está dividida em mais cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 apresentamos os resultados de

um exerc´ıcio no qual foram explorados alguns modelos básicos de func¸˜ao de transferência, uti-

lizando métodos de amostragem implementados no software WinBUGS (Spiegelhalter et al., 2003).

No cap´ıtulo 3 apresentamos, em detalhe, o esquema de amostragem, via MCMC, proposto para a

classe de modelos dinâmicos generalizados. Nos cap´ıtulos 4 e 5 apresentamos os resultados da modelagem proposta nesta tese para a relac¸˜ao chuva-vaz˜ao, aplicada a dados da bacia do Rio Grande

(BA). No último cap´ıtulo apresentamos as conclus ˜oes e apontamos as poss´ıveis extens ˜oes desta

tese. Do segundo ao quinto, cada cap´ıtulo corresponde a um artigo preparado com resultados

obtidos ao longo do doutorado. Alguns termos estat´ısticos e algumas das distribuic¸ ˜oes condi-

cionais completas dos parâmetros envolvidos nos modelos estudados, necessárias para o proce-

dimento de inferência via o método MCMC denominado amostrador de Gibbs, s˜ao apresentados

como apêndices ao final deste documento.

5

Cap´ıtulo 2

INFER ÊNCIA BAYESIANA EM MODELOS DE DEFASAGENS DISTRIBUÍDAS

O objetivo deste cap´ıtulo é mostrar a flexibilidade e a facilidade com que é poss´ıvel implemen-

tar o paradigma bayesiano nos modelos de defasagens distribu´ıdas quando considerados dentro

da classe dos modelos dinâmicos. Os modelos de defasagens distribu´ıdas s˜ao utilizados quando se

acredita que, no tempo t, uma covariável, por exemplo Xt, causa um impacto sobre o valor médio

de uma variável resposta, por exemplo, Yt. Especificamente, quando se sabe que o efeito de X

sobre Y persiste por um per´ıodo e decai para zero ao longo do tempo. Na literatura existem vários

modelos para lidar com este tipo de situac¸˜ao. Neste cap´ıtulo revisamos algumas dessas propostas

e mostramos que sob uma re-parametrizac¸˜ao relativamente simples, os modelos de defasagens

distribu´ıdas podem ser vistos como um caso particular dos modelos lineares dinâmicos (DLM),

em particular, os modelos de func¸˜ao de transferência. Sendo assim, utilizamos inferência baye-

siana e utilizamos o método Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) para obter amostras das

distribuic¸ ˜oes a posteriori de todos os parâmetros. A implementac¸˜ao desses métodos foi realizada

no software WinBugs (Spiegelhalter et al., 2003).

Para ilustrar a abordagem proposta, analisamos uma func¸˜ao consumo usando a transformac¸˜ao

de Koyck e um modelo de func¸˜ao de transferência. Comparamos os resultados com os obtidos

mediante técnicas clássicas de co-integrac¸˜ao.

2.1

Introduç˜ao

As func¸ ˜oes de transferência s˜ao freq üentemente utilizadas na área de econometria para que os

coeficientes do modelo representem o comportamento de uma variável resposta Y sob o impacto

de uma covariável X. Estas func¸ ˜oes s˜ao necessárias quando a variável dependente responde a

mudanc¸as numa ou várias variáveis independentes somente depois de um per´ıodo de tempo. Esta

resposta retardada sugere a inclus˜ao no modelo de variáveis explicativas defasadas (distribuindo o

impacto da variável X em vários per´ıodos de tempo), tendo como resultado um modelo dinâmico.

Um dos objetivos deste cap´ıtulo é ajustar modelos de func¸˜ao de transferência usando uma abor-

dagem inteiramente bayesiana mediante o uso de métodos MCMC. Especificamente comparamos

6

diferentes modelos de defasagens distribu´ıdas e mostramos que eles podem ser representados,

depois de alguma re-parametrizac¸˜ao, como uma classe particular dos modelos lineares dinâmicos.

De forma geral, um modelo é dinâmico toda vez que as variáveis est˜ao indexadas pelo tempo e

aparecem com diferentes defasagens. Por exemplo, Yt = β0Xt + β1Xt−1 + t é um modelo dinâmico

simples conhecido como modelo de defasagens distribu´ıdas. Nele a estrutura dinâmica aparece

na variável ex ógena, Xt, porém também pode aparecer na variável end ógena, por exemplo, Yt =

αYt−1 + t, que é o modelo conhecido como auto-regressivo de ordem 1, AR(1). Os modelos

com defasagens tanto nas variáveis ex ógenas como end ógena s˜ao conhecidos como modelos auto-

regressivos com defasagens distribu´ıdas (ARDL). Por outro lado, a estrutura dinâmica pode tam-

bém aparecer no termo de erro ou nos parâmetros do modelo.

Os modelos de defasagens distribu´ıdas têm um papel importante em numerosas aplicac¸ ˜oes na

economia e na agricultura. Alguns dos primeiros exemplos incluem os estudos de Nerlove (1958)

sobre a resposta da oferta agr´ıcola ao prec¸o, o estudo de apropriac¸ ˜oes de capital e despesas de

Almon (1965) e a resposta do investimento de capital a vários aspectos do ambiente econ ômico

(Koyck, 1954; Jorgenson, 1966). Mais recentemente, Frances & van Oest (2004) os utilizaram para estabelecer uma relac¸˜ao entre vendas e publicidade, enquanto Bentzen & Engsted (2001) estu-daram equac¸ ˜oes de demanda de energia. Na verdade os modelos de defasagens distribu´ıdas têm

sido utilizados também nas áreas ambientais e epidemiol ógicas. Alguns exemplos de aplicac¸ ˜oes

nessas áreas s˜ao apresentados em Huang et al. (2004) e Welty & Zeger (2004). Além disso, muitos livros texto de econometria incluem um cap´ıtulo sobre esta classe de modelos, entre eles Berndt

(1991, Cap. 6), Greene (1999, Cap. 17), Gujarati (2000, Cap. 17) e Zellner (1971, Cap. 6).

Ao utilizar os modelos de defasagens distribu´ıdas pode ser necessário assumir que o efeito

dos valores passados diminui conforme a passagem do tempo. Essa forma funcional, denominada

modelo de Koyck devido a Koyck (1954), comemorou o seu 500 aniversário em 2004 e, como men-

cionado por Frances & van Oest (2004), este modelo é um pouco mais complicado do que aparenta

ser. Em primeiro lugar, a transformac¸˜ao de Koyck envolve uma restric¸˜ao paramétrica que deve

ser considerada por raz ˜oes da sua eficiência e, em segundo lugar, a estat´ıstica t para o efeito da